专题5 二次函数综合题（讲义本）（PPT课件）-【中考拐点】2025年中考数学复习讲练测（南充专用）

专题5　二次函数综合题 《中考拐点》 2025南充数学 1 1 2 目 录 精讲精练 专题分析 考点综述 专题分析 01 3 南充近几年中考压轴题，一直是二次函数与运动、存在性结合生成的探究性题目.题目三问，第一问基本上是求解析式，属于基础题；第二问是计算线段、角、面积、坐标等，属于中档题；第三问基本上是结合动态几何、分类思想设置的最值探究或存在性探究.这类题的特点是涉及知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活，偏重于考查学生分析问题、探究问题、综合运用数学知识解决问题的能力.如2024年与三角形、线段综合； 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 精讲精练 专题分析 2023年与平行四边形、线段综合；2022年与平行四边形、角度问题综合；2021年与线段、三角形、四边形综合；2020年与一次函数、锐角三角函数综合；2019年与三角形、矩形综合；2018年与正方形综合；2017年与三角形、图形变换综合；2016年与平行四边形综合.2015年与矩形、一元二次方程根与系数关系综合；2014年与三角形、一次函数综合.需要熟练掌握三角形、四边形、圆、三角函数、方程、函数等基础知识，熟练运用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、运动变换思想，能建立函数关系，将实际问题模型化，挖掘隐含条件，发现数量关系、位置关系，关注变化中的不变数量关系和不变位置关系，在复杂图形中发现典型的基本图形、在复杂的数量关系中发现基本的数量关系，通过规律性的方法构建图形或式子，联系所学知识、突破思维障碍、合理分类解答. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 精讲精练 专题分析 考点综述 精讲精练 02 6 (2024·南充)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0). (1)求抛物线的解析式； 例 1 类型 1　二次函数与线段、面积及最值问题 解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2)如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点(不与端点重合)，直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD的面积为S1，△PBE的面积为S2，求的值； 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：设P(0，p)，直线AP的解析式为y＝k1x＋b1. 把A(－1，0)，P(0，p)代入y＝k1x＋b1，得 解得 ∴直线AP的解析式为y＝px＋p. 联立 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解得或 ∴E(3－p，－p2＋4p). 同理可得D(，－＋). ∴S1＝S△ABD－S△ABP＝AB·(yD－yP)＝2(－＋－p)＝(3p－p2)， S2＝S△ABE－S△ABP＝AB·(yE－yP)＝2(－p2＋4p－p)＝2(3p－p2). ∴＝＝. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (3)如图2，点K是抛物线的对称轴与x轴的交点，过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点.求QM＋QN的最小值. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：如图，作点N关于直线l的对称点N'，连接MN'，过点M作MF⊥NN'于点F. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1. ∴K(1，0). 设直线MN的解析式为y＝kx＋d，把K(1，0)代入， 得k＋d＝0，∴d＝－k. ∴直线MN的解析式为y＝kx－k. 设M(m，－m2＋2m＋3)，N(n，－n2＋2n＋3). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 联立得 x2＋(k－2)x－k－3＝0. ∴m＋n＝2－k，mn＝－k－3. ∵N，N'关于直线l：y＝4对称， ∴N'(n，n2－2n＋5). ∴QM＋QN＝QM＋QN'≥MN'. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ∵F(n，－m2＋2m＋3)， ∴N'F＝｜m2＋n2－2(m＋n)＋2｜，FM＝｜m－n｜. 在Rt△MFN'中， MN'2＝MF2＋N'F2＝(m－n)2＋[m2＋n2－2(m＋n)＋2]2＝ (m＋n)2－4mn＋[(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2]2＝(2－k)2 －4(－k－3)＋[(2－k)2－2(－k－3)－2(2－k)＋2]2＝k4＋ 17k2＋80. ∴当k＝0时，MN'2取最小值80，此时MN'＝4.∴QM＋QN≥4. ∴QM＋QN的最小值为4. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 1.(2015·南充)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1. (1)求抛物线的解析式； 针 对 训 练 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：由对称轴为l：x＝1，得 －＝1.∴b＝2. ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)， ∴－x2＋2x＋c＝0的解为m－2和2m＋1. ∴(m－2)＋(2m＋1)＝2.解得m＝1. 将m＝1代入(m－2)(2m＋1)＝－c，得c＝3. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1＜x2)，当｜x1－x2｜最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标； 解：联立 消去y，得x2＋(k－2)x－1＝0. ∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1. ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即｜x1－x2｜的最小值为2. ∴x2－1＝0. 由x1＜x2，得x1＝－1，x2＝1，即y1＝0，y2＝4. ∴当｜x1－x2｜最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值. 解：由(1)(2)可知，O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3). O，B，P，C构成多边形的周长L＝OB＋BP＋PC＋CO. ∵线段OB平移过程中，OB，PC长度不变， ∴要使L最小，只需BP＋CO最小. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 如图，平移线段OC到BC'，则四边形OBC'C是矩形.∴C'(3，3). 作点P关于x轴(或OB)的对称点P'(1，－4)，连接C'P'与x轴交于点B'. 设C'P'的解析式为y＝ax＋n，则 解得 ∴直线C'P'的解析式为y＝x－. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 当y＝0时，x＝.∴B'(，0). 又3－＝，故点B向左平移，平移到B'， 同时，点O向左平移，平移到O'(－，0)， 即线段OB向左平移时，周长L最小， 此时，线段BP，CO之和最短为P'C'＝ ＝，O'B'＝OB＝3，CP＝. ∴当线段OB向左平移，即点O平移到O'(－，0)，点B平移到B'(，0)时，周长L最小值为＋＋3. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 2.(2024·凉山州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的解析式； 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：把B(3，m)代入y＝x＋2，得m＝3＋2＝5.∴B(3，5). 把A(－2，0)，B(3，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与点A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； 解：设P(t，－t2＋2t＋8)，则E(t，t＋2)，D(t，0). ∵PE＝2DE，∴－t2＋2t＋8－(t＋2)＝2(t＋2). 解得t＝1或t＝－2(此时点P不在直线AB上方， 舍去).∴P点坐标为(1，9). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点M的坐标为(，)或(，)或(，)或(，). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2020·南充)已知二次函数图象过点A(－2，0)，B(4，0)， C(0，4). (1)求二次函数的解析式； 类型 2　二次函数与角度问题 例 2 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：∵二次函数的图象过点A(－2，0)，B(4，0)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－4). ∵二次函数图象过点C(0，4)， ∴4＝a(0＋2)(0－4).∴a＝－. ∴二次函数的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)，即y＝－x2＋x＋4. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2)如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在. 如图1，取BC中点Q，连接MQ. ∵点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，4)，点P是 AC中点，点Q是BC中点，∴P(－1，2)，Q(2，2)， BC＝＝4. 设直线BP的解析式为y＝kx＋b，则 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解得 ∴直线BP的解析式为y＝－x＋. ∵∠BMC＝90°， ∴点M在以BC为直径的圆上. 设点M(c，－c＋). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ∵点Q是Rt△BCM斜边的中点， ∴MQ＝BC＝2.∴MQ2＝8. ∴(c－2)2＋(－c＋－2)2＝8. 解得c＝4或－. 当c＝4时，点B，点M重合，不合题意，舍去，∴c＝－.∴点M坐标为 (－，). 故线段PB上存在点M(－，)，使得∠BMC＝90°. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (3)点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tan θ＝，求点K的坐标. 解：如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N. ∵点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，4)，点D是AB的中点， ∴点D(1，0)，OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3. ∴∠OBC＝45°. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°. ∴DE＝BE＝＝. ∵点B(4，0)，C(0，4)， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4. 设点E(n，－n＋4)， ∴－n＋4＝.∴n＝.∴点E(，). 在Rt△DNE中，NE＝＝＝. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ①若DK与射线EC交于点N(m，4－m). ∵NE＝BN－BE， ∴＝(4－m)－.∴m＝. ∴点N(，). ∴直线DK的解析式为y＝4x－4. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 联立 解得 ∴点K的坐标为(2，4)或(－8，－36). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ②若DK'与射线EB交于点N'(m，4－m). ∵N'E＝BE－BN'， ∴＝(4－m).∴m＝. ∴点N'(，). ∴直线DK'的解析式为y＝x－. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 联立 解得 ∴点K'的坐标为(，)或(，. 综上所述，点K的坐标为(2，4)或(－8，－36)或(，)或(，). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 3.(2022·南充)抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴分别交于点A，B(4，0)，与y轴交于点C(0，－4). (1)求抛物线的解析式； 针 对 训 练 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：将B(4，0)，C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－4. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2)如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标； 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于点E，作直线m∥BC且直线m 到BC的距离等于直线l到BC的距离. ∵BC的解析式为y＝x－4， ∴可设直线l的解析式为y＝x＋m. 令x2－x－4＝x＋m，得 x2－4x－3(m＋4)＝0. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ∵Δ＝0，∴16＋12(m＋4)＝0.∴m＝－. ∴x2－4x＋4＝0，y＝x－. ∴x＝2，y＝－.∴P1(2，－ ). ∵E(0，－ ) ，C(0，－4)，∴F(0，－ ). ∴直线m的解析式为y＝x－. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 由 解得或 ∴P2(2－2，－2 ) ，P3(2＋2，2. 综上所述，点P的坐标为(2，－ )或(2－2，－2 )或(2＋2，2 ). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB.MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：分别过点M，N，作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K. 设点D的横坐标为a. ∵BN＝DN，∴BD＝2BN，点N的横坐标为.∴OH＝. ∵NH∥DF，∴△BHN∽△BFD. ∴＝＝.∴DF＝2NH. 同理可得：△OMG∽△ONH. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ∴＝＝＝2. ∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a＋4. ∴KF＝MG＝DF，MK＝FG＝OG＋OF＝2a＋4. ∴DK＝2DF. ∵tan∠DEB＝2tan∠DBE， ∴＝2·.∴EF＝BF. ∵BF＝4－a，∴EF＝(4－a). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK. ∴＝，即＝.∴a＝0. ∴OG＝a＋4＝4.∴G(－4，0). 当x＝－4时，y＝×(－4)2－×(－4)－4＝. ∴点M的坐标为(－4，). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2023·南充)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； 类型 3　二次函数与特殊图形及定值问题 例 3 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：由题意，得抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)， 即－3a＝3.∴a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：设P(m，－m2＋2m＋3)，Q(x，0). ①当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式，得0＋3＝－m2＋2m＋3＋0.解得m＝0(舍去)或m＝2； ②当BQ为对角线时，可得0＋0＝－m2＋2m＋3＋3.解得m＝1±. 综上所述，点P的坐标为(2，3)，(1＋，－3)或(1－，－3). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K(1，3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N.试探究EM·EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明 理由. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：EN·EN是定值.易知D(1，4). ∵直线GH过点K(1，3)， ∴设直线GH的解析式为y＝k(x－1)＋3. 设G(m，－m2＋2m＋3)，H(n，－n2＋2n＋3). 令k(x－1)＋3＝－x2＋2x＋3，整理，得 x2＋(k－2)x－k＝0. ∴m＋n＝2－k，mn＝－k. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 由点G，D的坐标，得直线GD的解析式为y＝－(m－1)(x－1)＋4. 令y＝0，则x＝1＋， 即M (1＋，0). ∴EM＝1－1－＝－. 同理可得EN＝. ∴EM·EN＝－×＝＝＝16. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋4x＋5的顶点为点D，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足∠MDN＝90°.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标. 针 对 训 练 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 证明：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9， ∴顶点D(2，9). 设直线MN的解析式为y＝ax＋t，M(m，－m2＋4m＋5)， N(n，－n2＋4n＋5). 当－x2＋4x＋5＝ax＋t时，x2＋(a－4)x＋t－5＝0. ∴m＋n＝4－a，mn＝t－5. 过点D作GF∥x轴，过点M作MG⊥GF于点G，过点N作NF⊥GF于点F. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 ∵∠MDN＝90°，∴∠FDN＋∠GDM＝90°. ∵∠FDN＋∠DNF＝90°， ∴∠GDM＝∠DNF，∴△GDM∽△FND， ∴＝，∴GD·FD＝GM·FN， 即(2－m)(n－2)＝[9－(－m2＋4m＋5)][9－(－n2＋4n＋5)]. 整理，得mn－2(m＋n)＝－5，∴t＋2a＝8， ∴y＝ax＋8－2a＝a(x－2)＋8， ∴直线MN经过定点(2，8). 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 5.(2021·南充)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝. (1)求抛物线的解析式； 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：由题意，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4. 图1 图2 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由； 图1 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：四边形OCPQ是平行四边形. 理由：令y＝x2－5x＋4＝0，则x＝1或4. 令x＝0，则y＝4.∴B(4，0)，C(0，4). 设直线BC的解析式为y＝kx＋t， 则解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4. 图1 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 设P(x，－x＋4)，则Q(x，x2－5x＋4). ∴PQ＝(－x＋4)－(x2－5x＋4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4. ∵－1＜0，∴当x＝2时，PQ的最大值为4. 此时P(2，2)，Q(2，－2). ∵C(0，4)，∴PQ＝CO＝4，PQ∥OC. ∴四边形OCPQ为平行四边形. 图1 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 (3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 解：存在.∵D是OC的中点，∴D(0，2). 由点D，Q的坐标，得直线DQ的解析式为y＝－2x＋2. 过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH∥CO. ∴∠AQH＝∠ODA. 而∠DQE＝2∠ODQ，∴∠AQH＝∠EQH. ∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称， 图2 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 可设直线QE的解析式为y＝2x＋r. 将Q(2，－2)代入上式，得－2＝2×2＋r. 解得r＝－6. ∴直线QE的解析式为y＝2x－6. 联立解得或(舍去). ∴E(5，4). 图2 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 设F(0，m). 由点B，E的坐标，得BE2＝(5－4)2＋(4－0)2＝17， BF2＝16＋m2，EF2＝25＋(m－4)2. 当BE＝BF时，16＋m2＝17，解得m＝±1. ∴F(0，1)或F(0，－1)； 当BE＝EF时，25＋(m－4)2＝17，此方程无解； 当BF＝EF时，16＋m2＝25＋(m－4)2，解得m＝.∴F ( 0， ). 综上所述，点F的坐标为(0，1)或(0，－1)或( 0， ). 图2 类型1 类型2 类型3 首页 目录 精讲精练 专题分析 请完成《练测本》P82～86专题练测5 本讲内容结束 $$