精品解析：北京燕山地区2024一2025学年下学期八年级期中练习 数学试卷

燕山地区2024—2025学年第二学期八年级期中练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页，三道大题，28道小题满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷、答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹笔作答． 4．所有试题均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 3，4，6 D. 6，8，10 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，已知平行四边形的面积是1，E、F分别为、的中点，G是上的任一点，则和分别等于（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点E、F分别是边的中点，量得米，则的长是______米． 11. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 12. 已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为______． 13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：______，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）． 14. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 15. 如图，矩形的对角线相交于点O，，，则的长是________． 16. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______． 三、解答题（本题共68分，第17题8分；第18题4分；第19题~第25题每题各5分；第26题6分；第27题7分；第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算：． 19. 如图是一块地，已知，，，，且，求这块地的面积． 20. 已知，求的值． 21. 已知：为锐角三角形，． 求作：菱形． 作法：如图， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，； 四边形就是所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明： 证明：∵平分， ∴__________． ∵， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）． 22. 如图，在中，点E，F分别在，上，．求证：． 23. 如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？ 24. 如图，在中，M、N是上两点，，连接、、、，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 25. “在中，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小燕同学解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积________； （2）若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． 26. 在二次根式的运算中，小燕同学发现以下等式具有某种规律： ① ② ③ …… 请你观察这些等式，利用你发现的规律，回答以下问题： （1）化简：________，________ （2）计算： （3）化简：________． 27. 如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． （1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数； （2）在（1）的条件下，用等式表示之间的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出线段的长． 28. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，对于点和，给出如下定义：如果三边上存在三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点是的“平行连接点”，例如，图1中，、两点的坐标分别为，，三边上存在，和三个点，使得四边形是平行四边形，故点是的“平行连接点”． （1）如图2，当点的坐标为时， ①点，，，中，是的“平行连接点”的是________； ②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点和三边上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为________，的取值范围为________； （2）如图3，当点的坐标为时，若是的“平行连接点”，在图3中画出所有满足条件的点组成的图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 燕山地区2024—2025学年第二学期八年级期中练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页，三道大题，28道小题满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷、答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹笔作答． 4．所有试题均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等，得到，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：中，， 故， 故选：A． 2. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 3，4，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可． 【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，能构成直角三角形，故本选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式满足的条件是∶被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不能是小数或分数；分母中不能出现二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解决本题的关键是要熟练掌握满足最简二次根式的条件． 4. 如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，能根据直角三角形斜边上中线的性质得出 是解此题的关键． 【详解】解：在中，，点为的中点，， ， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． 7. 如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点A的坐标为，得到，解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据点A的坐标为，得到， 故选：B． 8. 如图，已知平行四边形的面积是1，E、F分别为、的中点，G是上的任一点，则和分别等于（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据 的底和高与平行四边形的底和高的关系即可得出答案． 【详解】解：的底为的一半，高也为平行四边形高的一半； 的底为的一半，高等于平行四边形的高. ∴可得和分别等于平行四边形的面积的和 ， 即，， 故选C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 10. 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点E、F分别是边的中点，量得米，则的长是______米． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意知，是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是的中位线， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了中位线．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质，平行于底边且等于底边的一半． 11. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12. 已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 则． 要使也是一个正整数， 则n可取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：______，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）． 【答案】AD=BC． 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案． 【详解】当AD∥BC，AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形． 故答案是AD=BC（答案不唯一）． 14. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A表示的实数． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴ ∴在数轴上点A表示的实数是． 15. 如图，矩形的对角线相交于点O，，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，判断出是等边三角形是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 16. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，根据题意可得图2中阴影小正方形的边长为，再由图2中阴影小正方形的面积为49即可求出答案． 【详解】解：由题意得，图2中阴影小正方形的边长为， ∵图2中阴影小正方形的面积为49， ∴图2中阴影小正方形的边长为7， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本题共68分，第17题8分；第18题4分；第19题~第25题每题各5分；第26题6分；第27题7分；第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再根据二次根式加减法法则进行计算即可． （2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ）解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，完全平方公式展开计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 19. 如图是一块地，已知，，，，且，求这块地的面积． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理及勾股定理的逆定理可以得出和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积． 【详解】解：连接， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 答：这块地的面积是． 20. 已知，求的值． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式，先整理，再代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 21. 已知：为锐角三角形，． 求作：菱形． 作法：如图， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，； 四边形就是所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明： 证明：∵平分， ∴__________． ∵， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图，菱形ABDC即为所求作； （2）OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据所给几何语言画出对应的图形即可； （2）先根据等腰三角形的性质得到CO=OB，再根据平行四边形和菱形的判定解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤，熟知平行四边形的判定和菱形的判定是解答的关键. 22. 如图，在中，点E，F分别在，上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质.由平行四边形的性质得到，，进而得到，证明四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】略 23. 如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？ 【答案】尺 【解析】 【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长． 本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木桩高为尺， ∴在中，，， ∴根据勾股定理，得， 解得． ∴绳索长为尺． 24. 如图，在中，M、N是上两点，，连接、、、，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，含角的直角三角形的性质和勾股定理，掌握举行的判定方法是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，，然后根据，，得到，即可证明结论； （2）根据角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 25. “在中，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小燕同学解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积________； （2）若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积： （1）利用割补法求解即可； （2）根据题意，结合勾股定理画出，利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 图中：，，， 的面积为， 故答案为：3． 26. 在二次根式的运算中，小燕同学发现以下等式具有某种规律： ① ② ③ …… 请你观察这些等式，利用你发现的规律，回答以下问题： （1）化简：________，________ （2）计算： （3）化简：________． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，根据规律求解即可． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 27. 如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． （1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数； （2）在（1）的条件下，用等式表示之间的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出线段的长． 【答案】（1） 补全图形如下， ； （2） 当时，，证明如下： 作，交与点H，垂足为点，如图， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由对称的性质可得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ． （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，补全图形即可得到答案；根据题意，由对称性可知，再结合正方形性质得出，可以得到是等腰三角形，由于，则，在中，利用三角形外角和定理即可得到答案； （2）线段之间的数量关系为．证明如下：过点C做作，交与点H，由题意可知：，得到，再根据直角关系得到，再证明，得到，由（1）可知是等腰直角三角形，，，即可得到． （3）需要对不同情况进行讨论． ①当时，参照（2）中的结论求解； ②当时，过点C做作，交与点H，由题意可知：，得到，再根据直角关系得到，再证明，得到，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，如图， 四边形是正方形， ， 由对称的性质可得， ， ， 是的一个外角， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，由（2）可知，是等腰直角三角形， ， ， 由对称的性质可得， 是等腰直角三角形，， ． ②当时，如下图，作，交与点H，垂足为点， 四边形是正方形， ， ， ， 由对称的性质可得， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ． 综上所述，为或． 【点睛】本题考查了正方形性质、轴对称的性质、等腰三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理等，熟练掌握知识点进行证明推理，分情况讨论是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，对于点和，给出如下定义：如果三边上存在三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点是的“平行连接点”，例如，图1中，、两点的坐标分别为，，三边上存在，和三个点，使得四边形是平行四边形，故点是的“平行连接点”． （1）如图2，当点的坐标为时， ①点，，，中，是的“平行连接点”的是________； ②若是的“平行连接点”，请在图2中画出一个以点和三边上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为________，的取值范围为________； （2）如图3，当点的坐标为时，若是的“平行连接点”，在图3中画出所有满足条件的点组成的图形． 【答案】（1）①、； ②如下图即为所求（答案不唯一）；1； （2） 如图所示即为所求： 【解析】 【分析】（1）①根据的“平行连接点”的定义，利用网格的特点画出相应图形即可判断；②找到一个合适的点，写出其对角线交点的纵坐标即可，延长交轴于点，延长交轴于点，则，，当时，且，满足题意；当时，上一定存在点，使得是平行四边形，满足条件；当时，上一定存在一点，使得是平行四边形，满足条件，从而得到的范围； （2）根据（1）②的方法，将延长交于点，延长交于点，过点直线于点，当点在（不包含）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，此时四边形为平行四边形；当点在（不包含和）这一段运动时，过点过交于，过点过交于， 四边形为平行四边形，那么当点在（不包含和）这一段运动时，都能在三边上找到三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，为所求． 【小问1详解】 解：①将点，，，在图中画出 由图可知，，，，能组成平行四边形；，，，能组成平行四边形， 和是的“平行连接点”， 故答案为：、； ②由图像可知为该平行四边形的对角线，且点在上， ，， 这个平行四边形对角线交点的纵坐标为1， 延长交轴于点，延长交轴于点，如图所示： 则，， 当时，且，满足题意； 当时，上一定存在点，使得是平行四边形，满足条件； 当时，上一定存在一点，使得是平行四边形，满足条件； 的取值范围为：， 故答案为：1，； 【小问2详解】 解： 根据（1）②的方法，将延长交于点，延长交于点，过点作直线于点，如下图所示， 当点在（不包含）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，如图所示： ，， 四边形为平行四边形 当点在（不包含和）这一段运动时，过点过交于，过点过交于，如图所示： ， ， 四边形为平行四边形． 那么当点在（不包含和）这一段运动时，都能在三边上找到三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了“平行连接点”，平行四边形的判定与性质，网格作图，熟练掌握以上知识点，读懂题意，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $