第13讲 二次函数的图象与性质（讲义本）（PPT课件）-【中考拐点】2025年中考数学复习讲练测（南充专用）

第三单元　函数 第13讲　二次函数的图象与性质 《中考拐点》 2025南充数学 1 1 2 3 目 录 课堂反馈·落实学业要求 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 依标扣本·掌握必备知识 01 3 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 课标要求 1 二次函数的图象与性质 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 二次函数的图象与a，b，c的关系 表达式求法 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 4 图象与性质 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x增大而减小；对称轴右侧，y随x增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x增大而增大；对称轴右侧，y随x增大而减小 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 5 图象与性质 对称轴 直线x＝0 (y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 图象 (a＞0) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或 代数式 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 |a|越大，开 口越② ______ a＜0 开口向①_____ b b＝0 对称轴为③________轴  ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 下 小 y 简称“左同” 简称“右异” 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 7 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 c c＝0 经过④________点  c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴⑤________半轴相交  特殊 关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝⑥_________ 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0； 若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y⑦________0  原 负 a－b＋c ＜ 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 表达式求法 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴的交点坐标 平移变换 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：左加右减，上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反. 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 9 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值 课标要求 2 与方程、 不等式的关系 与方程的关系 与x轴有⑧________个交点⇔对应方程有两个不相等的实数根⇔Δ＞0  与x轴有⑨________个交点⇔对应方程有两个相等的实数根⇔ Δ⑩________0  与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑪________0  2 1 ＝ ＜ 结合函数图象 分析取值范围 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 聚焦中考·培育核心素养 02 11 (2024·贵州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是 (　 　) A.二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x＜－1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 例 1 命题点 二次函数的图象与性质 1 (课标要求1) D 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式1 (2024·泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　 　) A.1≤a＜ B.0＜a＜ C.0＜a＜ D.1≤a＜ A 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式2 (2022·南充)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线y＝mx2－2m2x＋n(m≠0)上，当x1＋x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为 (　 　) A.0＜m≤2 B.－2≤m＜0 C.m＞2 D.m＜－2 A 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2024·乐山)已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是 (　 　) A.0＜t≤2 B.0＜t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 例 2 C 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 已知二次函数y＝mx2－4m2x－3(m为常数，m≠0)，P(xP，yP)是该函数图象上一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，则m的取值范围是(　 　) A.m≥1或m＜0 B.m≥1 C.m≤－1或m＞0 D.m≤－1 A 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 给定自变量取值范围的二次函数值的大小比较，其本质是比较自变量与对称轴的位置关系. 1.当抛物线开口向上时，自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远，函数值越大(如图①). 提 分 拨 点 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 2.当抛物线开口向下时，自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远，函数值越小(如图②). 3.若所给的自变量的取值范围含有参数，则在求最值时先要讨论抛物线对称轴的横坐标是否在自变量的取值范围内. 提 分 拨 点 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (1)已知抛物线y＝2x2＋c经过点(1，－2)，求抛物线的解析式； 命题点 用待定系数法求二次函数的表达式 2 (课标要求1) 例 3 解：将点(1，－2)代入y＝2x2＋c，得－2＝2×12＋c.解得c＝－4. ∴抛物线的解析式为y＝2x2－4. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)若抛物线y＝x2＋bx＋c经过(1，0)和(3，0)两点，求抛物线的解析式； 解：将(1，0)和(3，0)代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. 另解：∵抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)两点，且二次项系数为1， ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (3)已知抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(－1，0)，求抛物线的解析式； 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴－＝1，可得a＝1. 将点(－1，0)代入y＝x2－2x＋c，得 1＋2＋c＝0.解得c＝－3. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (4)已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)顶点的纵坐标为1，且与x轴正半轴的交点为A，且OA＝2，求抛物线的解析式； 解：由题意知A(2，0)，抛物线过原点(0，0). ∵顶点坐标的纵坐标为1，∴顶点坐标为(1，1). ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2023·凉山州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(　 　) A.abc＜0 B.4a－2b＋c＜0 C.3a＋c＝0 D.am2＋bm＋a≤0(m为实数) 命题点 二次函数的图象与系数的关系 3 (课标要求1) 例 4 C 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 (2014·南充)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③当m≠1时，a＋b＞am2＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若a＋bx1＝a＋bx2，且x1≠x2，则x1＋x2＝2.其中正确的有 (　 　) A.①②③ B.②④ C.②⑤ D.②③⑤ D 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2024·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为__________. 命题点 二次函数与方程、不等式的关系 4 (课标要求2) 例 5 x －4 －3 －1 1 5 y 0 5 9 5 －27 ①②④ 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 课堂反馈·落实学业要求 03 1.(2016·南充)抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(　 　) A.直线x＝1 B.直线x＝－1 C.直线x＝－2 D.直线x＝2 南充中考夯实力 B 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 2.(2023·南充)若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　 　) A.(m，n＋1) B.(m＋1，n) C.(m，n－1) D.(m－1，n) D 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 3.(2017·南充)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是(　 　) A.4ac＜b2 B.abc＜0 C.b＋c＞3a D.a＜b D 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 4.(2023·南充)抛物线y＝－x2＋kx＋k－与x轴的一个交点为A(m，0)，若－2≤m≤1，则实数k的取值范围是(　 　) A.－≤k≤1 B.k≤－或k≥1 C.－5≤k≤ D.k≤－5或k≥ B 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 5.(2019·南充)在平面直角坐标系xOy中，点A(3m，2n)在直线y＝－x＋1上，点B(m，n)在双曲线y＝上，则k的取值范围为______________. k≤且k≠0 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 6.(2024·广西)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出a＝－4，求二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最小值. ①请你写出对应的函数解析式； 全国中考新视野 解：当a＝－4时， y＝x2＋2ax＋a－3＝x2－8x－7. 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 解：当x＝－＝4时，y最小＝16－32－7＝－23. 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理成如表： 注：*为②的计算结果. a … －4 －2 0 2 4 … x … * 2 0 －2 －4 … y的最小值 … * －9 －3 －5 －15 … 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝－a，就能得到y的最小值.” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.” 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)请结合函数解析式y＝x2＋2ax＋a－3，解释甲同学的说法是否合理？ 解：合理.∵1＞0，∴函数有最小值. 当x＝－＝－a时，y取得最小值. 故甲同学的说法合理. 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由. 解：正确.当x＝－a时， y＝x2＋2ax＋a－3＝－a2＋a－3. ∵－1＜0，∴y有最大值. 当a＝时，y最大＝－＋－3＝－. 首页 目录 1 2 3 4 5 6 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 请完成《练测本》P24～25素养综合练测13 本讲内容结束 $$