第9讲 方程(组)与不等式(组)的实际应用（讲义本）（PPT课件）-【中考拐点】2025年中考数学复习讲练测（南充专用）

第二单元　 方程(组)与不等式(组) 第9讲　方程(组)与不等式(组)的实际应用 《中考拐点》 2025南充数学 1 1 2 3 目 录 课堂反馈·落实学业要求 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 依标扣本·掌握必备知识 01 3 能针对具体问题列出方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 课标要求 1 一次方程(组)的实际应用 步骤：(1)审题；(2)设未知数(直接设，间接设)；(3)找等量关系(一般几个未知数就有几个等量关系)；(4)列方程(组)；(5)解方程(组)；(6)检验；(7)答 类型 利润问题：利润＝售价－进价＝进价×利润率，售价＝标价×折扣 利息问题：利息＝本金×利率×期数 工程问题：工作量＝工作效率×① __________ 工作时间 行程 问题 相遇：甲路程②________乙路程＝总路程  追及：快车路程③________慢车路程＝两地间距离  ＋ － 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 【温馨提示】列一元二次方程解应用题时，一般会产生两个解，必须检验，把不合题意的解舍去. 一元二次方程的实际应用 步骤 常见类型 变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 5 步骤： 实际 问题 列一元二 次方程 解一元二 次方程 一元二次 方程的根 实际问 题的解 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 设原来的量为a，变化后的量为b.　 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有a(1－x)2＝b 易错 一月份产量为a件，平均每月增长率为x，第一季度产量为b件，则有a＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＝b. 变化率问题 在求解时一般使用直接开平方法 传播问题：与变化率问题类似，若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a＋ax＋(a＋ax)x＝b，即a(1＋x)2＝b 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 7 (1)平移问题 ①如图1，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝④ ______________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) 图1 图2 ②如图2，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑤_________________ (a－x)(b－x)  (2)围栏靠墙问题： 这里注意：BC≤a(或AD≤a) 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 8 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，如单价每涨a元，少卖b件.若单 价涨价y元，则少卖的数量为⑥___________件  利润问题 (“每每型”) ×b 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 9 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑦______ ＝ m  (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m 握手(单循环赛)与送礼物问题 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 10 一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程； (5)解方程；(6)检验；(7)答 分式方程的实际应用 常见类型 易错 求出方程的根后忘记检验. 【提分点拨】检验：如果列出分式方程，则需要检验是否是分式方程的解.所有方程(组)或不等式的解需要检验是否符合实际意义，如人数是自然数，边长不能为负，增长率不能为负，下降率不能超过1，等等. [双检验：(1)检验是否是分式方程的解；(2)检验是否符合题意] 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 工程问题：总工作量为1，工作效率＝ 行程问题：时间＝＝速度 销售(盈利)问题：＝数量，＝单价，折扣＝，标价＝ 常见类型 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题 课标要求 2 一元一次不等式(组) 的实际应用 一般步骤：审题→设一个未知数→找出题中的数量关系，列出不等式→解不等式→检验不等式的解集是否合理，是否符合实际情况. 常见关键词 大于，多于，超过，高于 小于，少于，不足，低于 至少，不低于，不小于，不少于 至多，不高于，不大于，不超过 符号 ＞ ＜ ⑧ ______ ⑨ ______ ≥ ≤ 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 聚焦中考·培育核心素养 02 14 又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽.今年端午节前，某校开展”学党史、感党恩、悟思想“活动，打算购买蛋黄、豆沙两种口味的粽子送给镇上养老院的老人品尝. (1)若一个蛋黄粽子比一个豆沙粽子贵4元，用36元购买蛋黄粽子的个数与用24元购买豆沙粽子的个数相同，求蛋黄、豆沙两种口味粽子的 单价； 例 1 命题点 方程(组)与不等式(组)的实际应用 (课标要求1，2) ▶类型一　销售问题 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 解：设豆沙粽子的单价为x元，则蛋黄粽子的单价为(x＋4)元. 由题意，得＝.解得x＝8. 经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意.∴8＋4＝12(元). 答：蛋黄、豆沙粽子的单价分别是12元、8元. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)若购买20个蛋黄粽子和10个豆沙粽子一共需要400元；购买30个蛋黄粽子和16个豆沙粽子一共需要610元.求蛋黄、豆沙两种口味粽子的单价； 解：设蛋黄、豆沙粽子的单价分别是m元、n元. 由题意，得解得 答：蛋黄、豆沙粽子的单价分别是15元、10元. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (3)在(1)的条件下，商场促销，所有粽子一律八折出售，若打算购买蛋黄、豆沙两种粽子共50个，经预算，购买资金不超过400元，请问最多购买蛋黄粽子多少个？ 解：设购买蛋黄粽子y个，则购买豆沙粽子(50－y)个.　 由题意，得0.8[12y＋8(50－y)]≤400. 解得y≤25.　 答：最多购买蛋黄粽子25个. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式1 (2021·南充)端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为(　 　) A.10x＋5(x－1)＝70 B.10x＋5(x＋1)＝70 C.10(x－1)＋5x＝70 D.10(x＋1)＋5x＝70 A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式2 (2024·重庆A)为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 解：设该企业甲、乙两类生产线分别有x条、y条.根据题意，得 解得 答：该企业甲、乙两类生产线分别有10条、20条. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 解：设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m＋5)万元.根据题意，得 ＝.解得m＝45. 经检验，m＝45是所列方程的解，且符合题意. ∴10(m＋5)＋20m－70＝10×(45＋5)＋20×45－70＝1 330. 答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ▶类型二　行程问题 数学文化(2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要_____天. 例 2 20 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 (2016·南充)某次列车平均提速20 km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400 km，提速后比提速前多行驶100 km.设提速前列车的平均速度为x km/h，下列方程正确的是(　 　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ A 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ▶类型三　工程问题 例 3 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25％，设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题： (1)更新设备后每天生产_______件产品(用含x的式子表示)； 解析：更新设备前每天生产 x 件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了25％，更新设备后每天生产产品数量为(1＋25％) x＝1.25x(件). 1.25x 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品. 解：由题意，得－2＝. 解得x＝100. 经检验，x＝100是所列分式方程的解，且符合题意. 1.25×100＝125(件). 答：更新设备后每天生产125件产品. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 (2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间. 解：设这次小峰打扫了xh，则爸爸打扫了(3－x)h.根据题意，得 ＋＝1.解得x＝2. 答：这次小峰打扫了2h. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ▶类型四　图形问题 (2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为(　 　) A.5 m或6 m B.2.5 m或3 m C.5 m D.3 m 例 4 C 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 如图，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为 多少？ 解：设道路的宽应为x m.根据题意，得 (50－2x)(38－2x)＝1 260. 解得x1＝4，x2＝40(不合题意，舍去). 答：道路的宽应为4 m. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ▶类型五　利润问题 例 4 (2024·成都)推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共1 500 kg进行销售，其中A种水果收购单价为10元/kg，B种水果收购单价为15 元/kg. (1)求A，B两种水果各购进多少千克； 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 解：设A种水果购进x kg，B种水果购进y kg.根据题意，得 解得 答：A种水果购进1 000 kg，B种水果购进500 kg. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4％，若合作社计划A种水果至少要获得20％的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价. 解：设A种水果的销售单价为m元/kg.根据题意，得1 000×(1－4％)m－10×1 000≥10×1 000×20％.解得m≥12.5. ∴m的最小值为12.5. 答：A种水果的最低销售单价为12.5元/kg. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 某店只销售某种进价为40元/kg的特产山药.已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100 kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10 kg.若该店销售这种特产山药计划平均每天获利2 240元. (1)每千克该特产山药应降价多少元？ 解：设每千克该特产山药应降价x元.根据题意，得 (60－x－40)(100＋10x)＝2 240.　 解得x1＝4，x2＝6. 答：每千克该特产山药应降价4元或6元. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？ 解：由(1)知每千克山药可降价4元或6元. 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克山药应降价6元，此时售价为60－6＝54(元)， ＝0.9. 答：该店应按原售价的九折出售. 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 课堂反馈·落实学业要求 03 1.数学文化 (2024·南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗”我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.“诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人y人，则可列方程组为(　 　) 南充中考夯实力 D A. B. C. D. 首页 目录 1 2 3 4 5 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 2.数学文化 (2023·南充)《孙子算经》记载：”今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？“(尺、寸是长度单位，1尺＝10寸).意思是，现有一根长木，不知道其长短.用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为(　 　) A.(x＋4.5)＝x－1 B.(x＋4.5)＝x＋1 C.(x－4.5)＝x＋1 D.(x－4.5)＝x－1 A 首页 目录 1 2 3 4 5 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 3.(2020·南充)笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔____支. 10 首页 目录 1 2 3 4 5 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 4.(2017·南充)学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人.已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1 240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1 760元. (1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元； 解：设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元.依题意，得 解得 答：1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元. 首页 目录 1 2 3 4 5 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？ 解：设租用甲种客车x辆.依题意，得 45x＋30(8－x)≥330.解得x≥6. ∵x＜8，且x为正整数， ∴x可以为6或7. ∴共有2种租车方案，即 首页 目录 1 2 3 4 5 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 方案一：租用甲种客车6辆，租用乙种客车2辆，所需费用为400×6＋280×2＝2 400＋560＝2 960(元)； 方案二：租用甲种客车7辆，租用乙种客车1辆，所需费用为400×7＋280＝2 800＋280＝3 080(元). ∵2 960＜3 080，∴最节省的租车费用是2 960元. 首页 目录 1 2 3 4 5 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 5.(2024·齐齐哈尔)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有(　 　) A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 全国中考新视野 B 首页 目录 1 2 3 4 5 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 请完成《练测本》P16～17素养综合练测9 本讲内容结束 $$