第6讲 一元二次方程及其解法（讲义本）（PPT课件）-【中考拐点】2025年中考数学复习讲练测（南充专用）

第二单元　 方程(组)与不等式(组) 第6讲　一元二次方程及其解法 《中考拐点》 2025南充数学 1 1 2 3 目 录 课堂反馈·落实学业要求 聚焦中考·培育核心素养 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 依标扣本·掌握必备知识 01 3 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 课标要求 1 一元二次方程及其解法 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①______的整式方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 解法   适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ≥0)→(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝ 因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 课标要求 2 一元二次方程根的判别式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔一元二次方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔一元二次方程没有实数根 不能说只有一个根 易错 (1)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况，注意a≠0； 　　 (2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0注意分类讨论，方程有实数根 ⇔ ①a＝0； ②a≠0，且Δ≥0. 如关于x的方程ax2＋5x－2＝0有实数根，则a②__________.  ≥－ 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 课标要求 3 了解一元二次方程的根与系数的关系 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝③_____， x1x2＝④______  一元二次方 程的根与系 数的关系 运用 易错 [注意：Δ≥0是前提条件] － 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 平方型：＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型： 绝对值型：|x1－x2|＝ 因式分解型：x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 题目中涉及根与系数的关系，一定要考虑Δ≥0，如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中， 两根x1，x2同为正数，则Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0； 两根x1，x2都大于1，则Δ≥0，(x1－1)＋(x2－1)＞0，(x1－1)(x2－1)＞0. 易错 素养积累 素养提升 依标扣本·素养储备 素养发展 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 聚焦中考·培育核心素养 02 9 (2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　 　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. 例 1 命题点 一元二次方程的有关概念 1 (课标要求1) A 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 (2024·南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为______.　 －4 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 已知方程的根，求与未知数有关的代数式的值： (1)已知一根，直接代入原方程，得到一个关于未知数(参数)的方程，解方程求出未知数的值. (2)已知两根，要么把两个根直接代入原方程，列出关于未知系数的方程组，解方程组求出未知系数，要么利用根与系数的关系求解. 提 分 拨 点 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 一题多解法 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0； ③x2－4x＝4；④x2－4＝0. 命题点 一元二次方程的解法 2 (课标要求1) 例 2 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 解：①利用公式法：x2＋2x－1＝0， Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8， ∴x＝＝－1±. ∴x1＝－1＋，x2＝－1－； ②利用因式分解法：x2－3x＝0， ∴x(x－3)＝0.∴x1＝0，x2＝3； 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ③利用配方法：x2－4x＝4， 两边都加上4，得x2－4x＋4＝8， ∴(x－2)2＝8.∴x－2＝±2. ∴x1＝2＋2，x2＝2－2； ④利用因式分解法：x2－4＝0， ∴(x＋2)(x－2)＝0.∴x1＝－2，x2＝2. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式1 用公式法解一元二次方程，得x＝，则该一元二次方程可以是________________. ☞变式2 (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　 　) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 5x2＋3x－2＝0 C 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式3 关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－3，x2＝2(a，m，b均为常数，a≠0)，则关于x的方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是(　 　) A.x1＝－3，x2＝2 B.x1＝－5，x2＝0 C.x1＝－1，x2＝－4 D.无法求解 B 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2024·自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　 　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 命题点 一元二次方程根的判别式 3 (课标要求2) 例 3 A 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 已知关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　 　) A.a≥－4 B.a＞－4 C.a≥－4且a≠0 D.a＞－4且a≠0 D 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 运用一元二次方程根的判别式时，一定要注意二次项系数a≠0. 提 分 拨 点 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2023·南充)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 命题点 一元二次方程的根与系数的关系 4 (课标要求3) 例 4 证明：∵Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值. 解：由题意，得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵＋＝＝－2＝－， ∴－2＝－. 整理，得5m2－7m＋2＝0. 解得m＝1或m＝. 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 ☞变式 (2024·泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是____. 14 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 首页 目录 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 课堂反馈·落实学业要求 03 1.(2018·南充)若2n(n≠0)是关于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根，则m－n 的值为___. 南充中考夯实力 首页 目录 1 2 3 4 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 2.(2024·南充)已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0. 解得k＞1. 首页 目录 1 2 3 4 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值. 解：∵1＜k＜5，∴整数k的值可以为2，3，4. 当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3； 当k＝3或4时，此时方程的解不是整数. 综上所述，k的值为2. 首页 目录 1 2 3 4 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 3.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程可以是(　 　) A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0 C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0 全国中考新视野 B 首页 目录 1 2 3 4 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 4.(2024·青海) (1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0； 解：因式分解，得(x－1)(x－3)＝0. ∴x－1＝0或x－3＝0. 解得x1＝1，x2＝3. 首页 目录 1 2 3 4 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长. 解：当3是直角三角形的斜边长时，第三边长为＝2；当1和3是直角三角形的两直角边长时，第三边长为＝. ∴第三边的长为2或. 首页 目录 1 2 3 4 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 依标扣本·掌握必备知识 请完成《练测本》P11～12素养综合练测6 本讲内容结束 $$