专题05 基本立体图形和直观图10考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题05 基本立体图形和直观图10考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，基本立体图形和直观图是立体几何的重要基础内容。从知识体系来看，它是后续学习空间几何体的表面积、体积计算，以及空间点、线、面位置关系的基石。通过对各类立体图形结构特征的考查，能检验学生对空间图形的认知和理解能力；而直观图的相关内容，涉及到平面图形与空间图形的相互转换，有助于培养学生的空间想象能力和图形转化能力。这些知识在高考中常以选择题、填空题的形式出现，有时也会融入解答题中，是高考数学重点考查的知识点之一。 【处理角度】 1. 定义与性质的理解：深入理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等基本立体图形的定义、结构特征和性质，以及直观图的画法规则和相关性质，这是解决此类问题的核心。 2. 图形的分析与想象：面对题目中的文字描述或图形，要能够在脑海中构建出清晰的立体图形，分析其各部分的位置关系和数量关系。对于组合体，要能将其拆解为基本立体图形，找出它们之间的联系。 3. 运用几何定理和结论：结合立体几何中的相关定理和结论，如相似三角形、勾股定理等，来推导和计算图形中的边长、角度、面积、体积等相关量。 4. 直观图与原图的转换：掌握斜二测画法的规则，明确直观图与原图在长度、角度、面积等方面的变化规律，从而实现两者之间的准确转换。 【解法策略】 1. 棱柱的结构特征题型：判断关于棱柱说法的正误时，依据棱柱的定义和性质，分析侧面形状、侧棱关系以及面的平行情况等。涉及棱柱顶点数相关问题，根据不同棱柱顶点数的特点进行计算和判断。对于判断棱柱类型的题目，严格按照直棱柱、正棱柱等的定义，从底面形状、侧棱与底面的关系等方面进行分析。 2. 棱锥、棱台的结构特征题型：判断棱锥是否为正棱锥，不仅要看底面是否为正多边形，还要看顶点在底面的射影位置。判断多面体是否为棱台，关键在于检查上、下底面是否平行且相似，侧棱延长线是否交于一点。对于已知面数判断几何体类型的题目，根据常见棱锥、棱台、棱柱的面数特点进行判断。 3. 圆柱、圆锥、圆台的结构特征题型：判断关于圆柱、圆锥、圆台说法的正误，依据各自的定义和性质，分析母线与轴的关系、截面形状以及侧面展开图等特征。计算圆锥、圆台相关量，如母线长、底面半径等，常借助相似三角形的性质，通过比例关系求解。对于圆柱截面问题，根据圆柱的结构特征和截面的位置来确定截面形状。 4. 球的结构特征题型：计算球中截面相关问题，先根据截面圆的面积求出半径，再利用球的半径、截面圆半径和球心到截面距离的关系进行求解，注意分情况讨论球心与截面的位置关系。涉及球与其他几何体的组合问题，如圆锥内切球，通过画出轴截面，分析图形中的几何关系，利用相似三角形、勾股定理等求解相关量。 5. 简单组合体的结构特征题型：分析简单组合体的结构，将其分解为基本立体图形，找出它们之间的连接方式和数量关系。对于涉及组合体的计算问题，如轨迹长度、体积等，根据基本立体图形的性质和几何关系进行计算。遇到与欧拉公式相关的问题，先确定几何体的顶点数、棱数和面数，再代入公式求解。 6. 空间几何体的展开图题型：求正方体等几何体展开图中相对面的问题，通过将展开图还原为立体图形，利用立体图形中面的位置关系来判断。计算空间几何体表面上两点间的最短路径问题，将几何体的表面展开成平面图形，根据两点之间线段最短，在展开图中计算两点间的距离。对于涉及展开图的其他问题，如根据展开图判断几何体形状等，结合展开图的特征和常见几何体的展开图特点进行分析。 7. 空间几何体的截面问题：求空间几何体截面面积，先确定截面的形状，再根据已知条件求出截面图形的边长、高或半径等关键量，进而计算面积。判断截面形状的可能性，结合几何体的结构特征和截面的位置进行分析，利用正方体等几何体的性质，通过假设和推理来判断某些形状是否可能。对于求截面周长的问题，确定截面图形的各边长度，再求和得到周长。 8. 平面图形的直观图画法题型：判断平面图形直观图的形状，依据斜二测画法的规则，分析图形中线段的长度、角度在直观图中的变化情况。对于斜二测画法中线段关系的判断，根据斜二测画法中平行性不变、相交性不变、垂直关系可能改变等性质进行判断。画平面图形的直观图，按照斜二测画法的步骤，先确定坐标轴，再根据原图中线段的长度和位置关系，在直观图中确定相应线段的长度和位置。 9. 空间几何体的直观图画法题型：画空间几何体的直观图，先确定坐标轴，按照斜二测画法的规则，依次画出几何体的各个部分，注意不同部分在直观图中的位置和形状变化。对于给定空间几何体，根据其结构特征，先画出主要的轮廓，再逐步细化各部分，将被遮挡的部分改为虚线。在画组合体的直观图时，要注意各组成部分之间的相对位置和连接关系。 10. 直观图的还原与计算题型：由直观图还原为原图并计算相关量，根据斜二测画法中长度、角度、面积的变化规律，将直观图中的量还原为原图中的量，再进行计算。对于求原图面积的问题，先求出直观图的面积，再根据原图与直观图面积的倍数关系计算原图面积。在计算过程中，要准确运用斜二测画法的规则，注意长度和角度的还原。 考点1 棱柱的结构特征 1．（25-26高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 2．【多选】（24-25高二上·广西柳州·开学考试）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 3．（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 4．（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．【多选】（23-24高一下·山东青岛·期中）下列有关平行六面体的命题正确的是（   ） A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B．平行六面体的八个顶点在同一球面上 C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 考点2 棱锥、棱台的结构特征 6．（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 7．【多选】（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山东淄博·期中）给出下列四个命题，正确的是（   ）． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 9．（24-25高一下·陕西·期中）一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．五棱锥 10．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．三棱柱 考点3 圆柱、圆锥、圆台的结构特征 11．（22-23高一下·河南·期中）下列说法正确的是（ ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有个面 12．（23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 13．（24-25高一下·河北·期中）如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 14．（2025高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述不正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 15．【多选】（24-25高一下·陕西西安·期中）下列命题中，不正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 16．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 17．【多选】（24-25高一下·安徽·期中）下列选项中说法正确的是（    ） A．以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转所得的旋转体是圆锥 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台 考点4 球的结构特征 18．（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 19．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 20．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 21．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 考点5 简单组合体的结构特征 22．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 24．（20-21高一下·湖南张家界·期中）数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard  Euler）发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为 25．（23-24高三上·北京西城·期末）如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（    ） A．47m B．48m C．49m D．50m 26．（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    考点6 空间几何体的展开图 27．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 28．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 29．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 30．（22-23高一下·天津河北·期中）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 31．（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 32．（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    33．（24-25高三上·河北承德·期中）将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 考点7 空间几何体的截面问题 34．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 . 35．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 36．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 . 37．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知正方体的棱长为2，过体对角线的平面分别交棱，于F，E（如下图所示），则四边形面积的最小值为 ． 38．（23-24高一下·陕西西安·期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（    ） A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形 39．（2020高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 41．【多选】（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过A、、的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论正确的是（    ）    A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 考点8 平面图形的直观图画法 42．（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．【多选】（24-25高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 44．（23-24高一下·湖南株洲·期中）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是（    ） A．B． C． D． 45．（23-24高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）    A．   B．   C．   D．   考点9 空间几何体的直观图画法 46．（20-21高一·江苏·课后作业）一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图. 47．（20-21高一下·广东惠州·期末）如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图； （不需要写步骤及作图过程） （2）求该正四棱锥形容器的体积． 48．（16-17高一·全国·课后作业）若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 考点10 直观图的还原与计算 49．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 50．【多选】（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 51．（北京市大兴区2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题）如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ． 52．（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为菱形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 54．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为（   ） A． B．10 C． D．20 55．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A．4 B．8 C． D． 56．（河北省邯郸市五校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一下·广西防城港·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 58．（24-25高一下·山西晋城·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（   ） A． B． C．12 D． 59．（24-25高一下·山西·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形ABCD的高为（   ）    A． B． C．10 D．20 一、单选题 1．（河北省邯郸市五校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）下列四个命题中正确的是（   ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 2．（河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）下列命题正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C．所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 3．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知四边形是边长为2的正方形，在斜二测画法下，其直观图的面积为（   ） A．4 B． C． D．2 4．（24-25高一下·陕西·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为（   ） A． B．10 C． D．20 5．（24-25高一下·安徽·期中）如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD 的直观图为等腰梯形，已知 ，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南洛阳·期中）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（山东省临沂市部分县区2024-2025学年高一下学期学科素养水平（期中）监测数学试卷）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一下·山西临汾·期中）下列说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B．棱柱至少有五个面 C．棱台的侧棱延长后必交于一点 D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 11．（24-25高一下·贵州黔南·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．长方体是直四棱柱 B．圆柱的每个轴截面都是全等的矩形 C．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．有两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 12．（24-25高一下·陕西安康·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 13．（24-25高一下·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 14．（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 三、填空题 15．（24-25高一下·福建福州·期中）用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比为 .    16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 . 17．（24-25高一下·浙江·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是 . 18．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 19．（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为 . 20．（24-25高一下·福建福州·期中）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．    21．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为 四、解答题 22．（2024高一下·全国·专题练习）（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 23．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 24．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．    (1)求这条绳长的最小值； (2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题05 基本立体图形和直观图10考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，基本立体图形和直观图是立体几何的重要基础内容。从知识体系来看，它是后续学习空间几何体的表面积、体积计算，以及空间点、线、面位置关系的基石。通过对各类立体图形结构特征的考查，能检验学生对空间图形的认知和理解能力；而直观图的相关内容，涉及到平面图形与空间图形的相互转换，有助于培养学生的空间想象能力和图形转化能力。这些知识在高考中常以选择题、填空题的形式出现，有时也会融入解答题中，是高考数学重点考查的知识点之一。 【处理角度】 1. 定义与性质的理解：深入理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等基本立体图形的定义、结构特征和性质，以及直观图的画法规则和相关性质，这是解决此类问题的核心。 2. 图形的分析与想象：面对题目中的文字描述或图形，要能够在脑海中构建出清晰的立体图形，分析其各部分的位置关系和数量关系。对于组合体，要能将其拆解为基本立体图形，找出它们之间的联系。 3. 运用几何定理和结论：结合立体几何中的相关定理和结论，如相似三角形、勾股定理等，来推导和计算图形中的边长、角度、面积、体积等相关量。 4. 直观图与原图的转换：掌握斜二测画法的规则，明确直观图与原图在长度、角度、面积等方面的变化规律，从而实现两者之间的准确转换。 【解法策略】 1. 棱柱的结构特征题型：判断关于棱柱说法的正误时，依据棱柱的定义和性质，分析侧面形状、侧棱关系以及面的平行情况等。涉及棱柱顶点数相关问题，根据不同棱柱顶点数的特点进行计算和判断。对于判断棱柱类型的题目，严格按照直棱柱、正棱柱等的定义，从底面形状、侧棱与底面的关系等方面进行分析。 2. 棱锥、棱台的结构特征题型：判断棱锥是否为正棱锥，不仅要看底面是否为正多边形，还要看顶点在底面的射影位置。判断多面体是否为棱台，关键在于检查上、下底面是否平行且相似，侧棱延长线是否交于一点。对于已知面数判断几何体类型的题目，根据常见棱锥、棱台、棱柱的面数特点进行判断。 3. 圆柱、圆锥、圆台的结构特征题型：判断关于圆柱、圆锥、圆台说法的正误，依据各自的定义和性质，分析母线与轴的关系、截面形状以及侧面展开图等特征。计算圆锥、圆台相关量，如母线长、底面半径等，常借助相似三角形的性质，通过比例关系求解。对于圆柱截面问题，根据圆柱的结构特征和截面的位置来确定截面形状。 4. 球的结构特征题型：计算球中截面相关问题，先根据截面圆的面积求出半径，再利用球的半径、截面圆半径和球心到截面距离的关系进行求解，注意分情况讨论球心与截面的位置关系。涉及球与其他几何体的组合问题，如圆锥内切球，通过画出轴截面，分析图形中的几何关系，利用相似三角形、勾股定理等求解相关量。 5. 简单组合体的结构特征题型：分析简单组合体的结构，将其分解为基本立体图形，找出它们之间的连接方式和数量关系。对于涉及组合体的计算问题，如轨迹长度、体积等，根据基本立体图形的性质和几何关系进行计算。遇到与欧拉公式相关的问题，先确定几何体的顶点数、棱数和面数，再代入公式求解。 6. 空间几何体的展开图题型：求正方体等几何体展开图中相对面的问题，通过将展开图还原为立体图形，利用立体图形中面的位置关系来判断。计算空间几何体表面上两点间的最短路径问题，将几何体的表面展开成平面图形，根据两点之间线段最短，在展开图中计算两点间的距离。对于涉及展开图的其他问题，如根据展开图判断几何体形状等，结合展开图的特征和常见几何体的展开图特点进行分析。 7. 空间几何体的截面问题：求空间几何体截面面积，先确定截面的形状，再根据已知条件求出截面图形的边长、高或半径等关键量，进而计算面积。判断截面形状的可能性，结合几何体的结构特征和截面的位置进行分析，利用正方体等几何体的性质，通过假设和推理来判断某些形状是否可能。对于求截面周长的问题，确定截面图形的各边长度，再求和得到周长。 8. 平面图形的直观图画法题型：判断平面图形直观图的形状，依据斜二测画法的规则，分析图形中线段的长度、角度在直观图中的变化情况。对于斜二测画法中线段关系的判断，根据斜二测画法中平行性不变、相交性不变、垂直关系可能改变等性质进行判断。画平面图形的直观图，按照斜二测画法的步骤，先确定坐标轴，再根据原图中线段的长度和位置关系，在直观图中确定相应线段的长度和位置。 9. 空间几何体的直观图画法题型：画空间几何体的直观图，先确定坐标轴，按照斜二测画法的规则，依次画出几何体的各个部分，注意不同部分在直观图中的位置和形状变化。对于给定空间几何体，根据其结构特征，先画出主要的轮廓，再逐步细化各部分，将被遮挡的部分改为虚线。在画组合体的直观图时，要注意各组成部分之间的相对位置和连接关系。 10. 直观图的还原与计算题型：由直观图还原为原图并计算相关量，根据斜二测画法中长度、角度、面积的变化规律，将直观图中的量还原为原图中的量，再进行计算。对于求原图面积的问题，先求出直观图的面积，再根据原图与直观图面积的倍数关系计算原图面积。在计算过程中，要准确运用斜二测画法的规则，注意长度和角度的还原。 考点1 棱柱的结构特征 1．（25-26高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【分析】根据棱柱的定义依次判断选项即可. 【详解】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 2．【多选】（24-25高二上·广西柳州·开学考试）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【答案】AD 【分析】根据题意，结合空间几何体的结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 故选：AD. 3．（24-25高一下·广东潮州·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【答案】C 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，正四棱柱是平行六面体，故C正确； 对于D，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】底面是矩形，侧棱和底面不一定垂直，①为假命题；棱长都相等，底面可能为菱形，②是假命题；当侧棱垂直于底面两条平行的边时不能得到侧棱和底面垂直，③是假命题；由对角线相等可得侧棱.和底面垂直，④是真命题. 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 5．【多选】（23-24高一下·山东青岛·期中）下列有关平行六面体的命题正确的是（   ） A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B．平行六面体的八个顶点在同一球面上 C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 【答案】AD 【分析】由平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱, 可判断选项A；由圆内接四边形对角互补，可判断选项B；只有平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，可判断选项C；根据平行六面体定义， 可判断选项D. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱,所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形,故A正确； 若平行六面体的8个顶点在同一球面上，则平行四边形四个顶点在一个圆周上， 而圆的内接四边形对角互补，而平行四边形对角不一定互补，故B错误； 平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，故C错误； 根据平行六面体定义可知，平行六面体中任意两个相对的面都可以当作它的底面，故D正确. 故选：AD. 考点2 棱锥、棱台的结构特征 6．（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 7．【多选】（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据棱台的定义可知，棱台上、下底面为两个平行且相似的多边形，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 8．（24-25高一下·山东淄博·期中）给出下列四个命题，正确的是（   ）． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【答案】D 【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 9．（24-25高一下·陕西·期中）一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．五棱锥 【答案】C 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的结构特性，即可得出每个几何体的面数. 【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成． 故选：C. 10．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】C 【分析】由棱台和棱锥的结构特征判断即可. 【详解】如图，在三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥. 故选：C. 考点3 圆柱、圆锥、圆台的结构特征 11．（22-23高一下·河南·期中）下列说法正确的是（ ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有个面 【答案】A 【分析】根据多面体和旋转体的定义判断即可. 【详解】对于A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台,故选项A正确； 对于B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误； 对于C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误； 对于D，多面体至少有个面，所以D错误. 故选：A. 12．（23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】由题意可得，几何体如下图所示： 取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， 即原圆锥的母线长为. 故选：A. 13．（24-25高一下·河北·期中）如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，即可作出判断，得到答案. 【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时， 可得分别为圆柱的母线，所以且， 又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以， 所以截面为矩形. 故选：B. 14．（2025高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述不正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【答案】C 【分析】对A，根据正四棱柱和长方体的概念判断；对B，根据圆柱的母线的概念判断；对C，根据棱锥的定义判断；对D，根据棱柱的定义判断. 【详解】对于A，正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故A正确； 对于B，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故B正确． 对于C，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故C错误； 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确． 故选：C. 15．【多选】（24-25高一下·陕西西安·期中）下列命题中，不正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ACD 【分析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 【详解】对于A, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B, 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故B正确； 对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误； 对于D, 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点,有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：ACD 16．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 17．【多选】（24-25高一下·安徽·期中）下列选项中说法正确的是（    ） A．以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将该三角形旋转所得的旋转体是圆锥 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行且是相似的矩形，其他各个面都是梯形的多面体是四棱台 【答案】BC 【分析】根据空间几何体的几何特征逐项判断即可. 【详解】对于A，以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故A 错误； 对于B，等腰三角形底边上的中线与底边垂直，由圆锥的特征易知B正确； 对于C，棱锥的侧面都为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D，如图所示，四边形和是相似的矩形， 但显然该几何体不是四棱台，故D错误. 故选：BC. 考点4 球的结构特征 18．（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 19．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图    设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得， 故选：B. 20．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】B 【分析】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论. 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 21．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 【答案】19 【分析】结合半球的知识计算出正确答案. 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 考点5 简单组合体的结构特征 22．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，设球冠的半径为，根据几何性质可得，从而可得，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得的值. 【详解】 设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得， 因为与圆弧相切于点，所以， 在中，， 又，所以， 由对称性知，，则， 所以， 故选：D. 23．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分析出P在半球面形成的轨迹为圆周，再由三点共线及勾股定理解出，最后按照圆的周长求得即可. 【详解】 由于，因此P在半球面形成的轨迹为圆周， 如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线， ，设，， 在和中使用勾股定理有， 解得，于是点P的轨迹的长度. 故选:D. 24．（20-21高一下·湖南张家界·期中）数学中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard  Euler）发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为 【答案】12 【分析】根据几何体的结构特征结合“欧拉公式”运算求解. 【详解】因为二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用， 所以棱数，面数，顶点数. 故答案为：12. 25．（23-24高三上·北京西城·期末）如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（    ） A．47m B．48m C．49m D．50m 【答案】A 【分析】根据梯形中位线求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意可知六点共面， 设正六边形的中心为，连接， 平面且平面， 依题意可知相交于， 连接交于，连接交于， 根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分， 则相互平分，根据梯形中位线有， 即， 在梯形中，是的中点，则是的中点， 所以， 同理可得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点睛：研究空间图形的结构，关键点在于利用空间平行、垂直、中点等知识.在本题中，柱子与地面垂直，柱子之间相互平行.柱子之间高度不相同，则构成了梯形，则可考虑利用中位线来对问题进行求解. 26．（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 考点6 空间几何体的展开图 27．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【答案】C 【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，结合正方体的结构特征，即可求解． 【详解】根据正方体的表面展开图，翻折成正方体，如图所示： 其中“成”在最下面，“拼”在最上面，构成对面关系． 故选：C． 28．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 【详解】若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故.      故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为. 故选：C 29．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 30．（22-23高一下·天津河北·期中）一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【答案】 前 程 【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案. 【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”. 故答案为：前；程. 31．（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 32．（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    33．（24-25高三上·河北承德·期中）将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为： 考点7 空间几何体的截面问题 34．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 . 【答案】 【分析】由，，从而截面为梯形求解. 【详解】解：如图所示： 因为，所以，所以截面为梯形， 因为正方体的棱长为2，则， 梯形的高为， 所以梯形的面积为：， 故答案为： 35．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断. 【详解】如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 36．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 . 【答案】 【分析】在正方体中确定五边形即为所求截面，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】如图，连接，并延长交的延长线于，连接，交于， 延长交的延长线于，连接，交于点， 连接，则五边形即为所求截面. 易知分别是的三等分点， 则，， 所以该五边形的周长为. 故答案为： 37．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知正方体的棱长为2，过体对角线的平面分别交棱，于F，E（如下图所示），则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作交于，设，通过求解即可. 【详解】过点作交于， 设.由题意知正方体棱长为2，即得. 因为正方体对面平行， 所以截面为平行四边形， 则， 当取最小值时四边形的面积最小. 易知的最小值为直线与直线间的距离. 当为的中点时，, 与取等，即, 所以为等腰三角形， 所以为中点. 即. 取中点,连接. 所以， 且, 所以, 所以四边形为矩形. 所以 所以 所以. 取得最小值，， 所以. 故四边形面积的最小值为. 故答案为：. 38．（23-24高一下·陕西西安·期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（    ） A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据题意可得无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心，再分别讨论液面与底面平行，液面过正方体对角线的两个顶点和液面过正方体六条棱的中点即可判断B，C和D是正确的，进而即可得到答案． 【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的有颜色溶液，无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心． 对于B，当过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，即静止时液面如图（1），故B正确； 对于C，当过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，即静止时液面如图（2），故C正确； 对于D，当过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，即静止时液面如图（3），故D正确；                                                                            故选：A． 39．（2020高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次分析各个选项中截面出现的情况即可. 【详解】对于A，当截面平行于正方体的一个侧面时，可得A中截面； 对于B，当截面不平行于任何侧面，也不经过正方体的体对角线时，可得B中截面； 对于C，当截面过正方体的体对角线时，可得C中截面； 对于D，截面中的四边形为正方形，且四个顶点均在球的表面；过球心的截面不可能作出D中截面. 故选：D. 40．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 【答案】6 【分析】根据平面的性质作出截面六边形，然后可计算出周长． 【详解】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6. 故答案为：6. 41．【多选】（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过A、、的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论正确的是（    ）    A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 【答案】ABD 【分析】对于A、B，延长交于点，连接并延长交于，连接.即可得出截面形状，判断A、B；对于C项，延长交于点，连接并延长交于点，交延长线于，连接，即可得出截面形状；对于D项，作出截图，求出平行四边形的边长与夹角，根据面积公式，即可得出答案. 【详解】对于A，如图1，延长交于点，连接并延长交于，连接.    因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 则四边形即为所求截面，故A项正确； 对于B项，如图2，延长交于点，连接并延长交于，连接.      因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为分别为的中点，所以. 又，所以点与点重合， 所以，截面即为梯形. 又，，， 所以，，所以， 所以，截面四边形为等腰梯形，故B项正确； 对于C项，如图3，延长交于点，连接并延长交于点，交延长线于，连接，交于点，连接.        可知，截面为五边形，故C项错误； 对于D项，如图4，截面即为四边形.    易知. 又， 在中，， 所以，， 所以，的面积为，故D正确. 故选：ABD. 考点8 平面图形的直观图画法 42．（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】按照直观图的概念依次判断即可. 【详解】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 43．【多选】（24-25高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】ACD 【分析】根据斜二测画法的要求和结论理解辨析即可． 【详解】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确. 故选：ACD． 44．（23-24高一下·湖南株洲·期中）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直观图的性质求解即可. 【详解】由直观图的性质得原正方形的横向长度不变，纵向长度减半，横纵夹角变为，显然C正确. 故选：C 45．（23-24高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】作出直角梯形的直观图，即可得出合适的选项. 【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示：    A选项满足要求. 故选：A. 考点9 空间几何体的直观图画法 46．（20-21高一·江苏·课后作业）一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图. 【答案】答案见解析 【分析】这个几何体是一个简单的组合体，可以先画下面的圆柱，再画出上面的圆锥，按照斜二测画法的步骤进行作图即可. 【详解】（1）如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3cm. （3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3cm. （4）成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关利用斜二测画法画出几何体的直观图的问题，解题的关键是熟练掌握斜二测画法的步骤和原则. 47．（20-21高一下·广东惠州·期末）如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图； （不需要写步骤及作图过程） （2）求该正四棱锥形容器的体积． 【答案】（1）作图见解析；（2）． 【分析】（1）利用斜二测画法画出四棱锥的直观图即可． （2）根据图中数据计算正四棱锥形容器的体积即可． 【详解】（1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下： （2）设加工后的正四棱锥为，易得地面是边长为的正方形，斜高为50，所以棱锥高 正四棱锥形容器的体积为． 故所求正四棱锥形容器的体积为． 48．（16-17高一·全国·课后作业）若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【分析】根据斜二测画法，即可判断选项. 【详解】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 故选：A 考点10 直观图的还原与计算 49．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 50．【多选】（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 51．（北京市大兴区2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题）如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ． 【答案】 2 3 【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空先由直观图求出梯形的高和面积，再由原图与直观图的面积关系计算可得. 【详解】由斜二测画法可知； 由图可得梯形的高为， 所以梯形的面积， 则平面图形的面积为. 故答案为：2；3. 52．（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为菱形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的原图与直观图面积公式，即可求解. 【详解】因为，，则菱形的面积为 ， 那么四边形的面积为. 故选：D. 53．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可. 【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且， 过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 54．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为（   ） A． B．10 C． D．20 【答案】C 【分析】求得直观图的高，再结合直观图与原图线段关系即可求解. 【详解】因为， 梯形的面积为30， 所以梯形的高为， 设与轴的交点为， 即到轴的距离为5， 易得， 所以梯形的高为． 故选：C 55．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面图形和直观图的关系，即可求解. 【详解】画出原平面图形， 根据平面图形和直观图的关系可知，， 则，则，， 所以这个平面图形的面积为. 故选：C 56．（河北省邯郸市五校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直观图得到平面图，再计算出相关线段的长，从而求出周长与面积，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，故， 则平面图形的面积为：，周长为：， 故原平面图形的周长的平方与面积的比值. 故选：C 57．（24-25高一下·广西防城港·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解. 【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，    原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B 58．（24-25高一下·山西晋城·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：C 59．（24-25高一下·山西·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形ABCD的高为（   ）    A． B． C．10 D．20 【答案】B 【分析】设梯形ABCD的高为，根据斜二测画法法则推导得出直观图下梯形的高为.然后根据已知条件，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】设梯形ABCD的高为， 根据斜二测画法的法则，该高线段在直观图中的长度为. 又，所以梯形的高为. 因为梯形的面积为， 所以. 故选：B. 一、单选题 1．（河北省邯郸市五校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）下列四个命题中正确的是（   ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】D 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误. 【详解】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确； 故选：D 2．（河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）下列命题正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C．所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 【答案】D 【分析】根据柱体，锥体，台体的定义和结构特征逐一判断即可. 【详解】对于A，正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面，则A错误； 对于B，正八面体的所有面都是三角形，则B错误； 对于C，底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，则C错误； 对于D，由棱台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知四边形是边长为2的正方形，在斜二测画法下，其直观图的面积为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】求出原图形的面积，进而原图形和直观图面积关系得到答案. 【详解】正方形的面积为， 故在斜二测画法下，其直观图的面积为. 故选：C 4．（24-25高一下·陕西·期中）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为（   ） A． B．10 C． D．20 【答案】C 【分析】先求出梯形的高，再利用平面图与直观图面积的数量关系计算即得. 【详解】因为，梯形的面积为30， 设梯形的高为，则，解得， 则梯形的高为． 故选：C. 5．（24-25高一下·安徽·期中）如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD 的直观图为等腰梯形，已知 ，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可. 【详解】如图，根据斜二测画法画性质可得，作于，于， 则三角形、为两个全等的等腰直角三角形，故. 则. 画出原四边形ABCD，可知 且 ，则四边形 ABCD 为直角梯形，其面积为 故选：D 6．（24-25高一下·河南洛阳·期中）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：A. 7．（山东省临沂市部分县区2024-2025学年高一下学期学科素养水平（期中）监测数学试卷）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽， 故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 8．（24-25高一下·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值． 【详解】因为圆锥的高是，母线长是，则底面半径， 设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E， 设， 则，， 可得截面SCD的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以截面积的最大值为2. 故选：C. 9．（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】沿展开，由平面图形结合余弦定理即可求解. 【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据余弦定理，. 故选：A. 二、多选题 10．（24-25高一下·山西临汾·期中）下列说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B．棱柱至少有五个面 C．棱台的侧棱延长后必交于一点 D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 【答案】BC 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台、圆台的概念以及性质，即可判断得出答案. 【详解】对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误； 对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确； 对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确； 对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误. 故选：BC. 11．（24-25高一下·贵州黔南·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．长方体是直四棱柱 B．圆柱的每个轴截面都是全等的矩形 C．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．有两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 【答案】AB 【分析】根据截面性质可判断BC，根据直棱柱、棱台的定义可判断AD. 【详解】对于A，根据直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，故A正确； 对于B，根据圆柱的特点可知，圆柱的每个轴截面都是全等的矩形，故B正确； 对于C，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分才是圆台，故C错误； 对于D，根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，且各条侧棱所在直线要交于一点，故D错误. 故选：AB. 12．（24-25高一下·陕西安康·期中）下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 【答案】AD 【分析】根据常见空间几何体的特征可判断. 【详解】选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 选项B：当截面与圆锥底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，故B错误； 选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如下图，故C错误； 选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确， 故选：AD 13．（24-25高一下·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法还原，然后求出三边即可得答案. 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，， 则，所以为正三角形. 所以. 故选：AD 14．（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】BCD 【分析】根据斜二测画法，分析直观图、及直观图与原图形关系，逐项分析即可得解. 【详解】由余弦定理，可得， 即，解得，（舍去），故A错误； 在直角梯形中，，， 由斜二测画法知，，故B正确； 因为直角梯形的面积为， 所以四边形的面积为，故C正确； 由斜二测画法可知，原图为直角梯形，其中， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 15．（24-25高一下·福建福州·期中）用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比为 .    【答案】 【分析】设正方体的棱长，再利用画直观图的规则求出直观图的周长即可. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为， 又直观图中，则其周长为， 所以正方形与直观图的周长之比为. 故答案为： 16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 . 【答案】 【分析】利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长，可求得圆锥的母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长， 则，解得. 故答案为：. 17．（24-25高一下·浙江·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，直角边，得斜边， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故答案为：. 18．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 19．（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为 . 【答案】 【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可. 【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面. 由为中点，为中点，得， ，则，同理. ，即，，同理，. ，，， 所以截面的周长为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·福建福州·期中）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．    【答案】 【分析】根据弧长公式求出扇形半径，得到母线，再根据勾股定理得到高. 【详解】解：∵直径为2的圆形，∴底面圆的半径为：1，周长为2π， 记扇形半径为，由扇形弧长得∴，即母线为4， ∴圆锥的高为： 故答案为： 21．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为 【答案】3 【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 【详解】若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故. 若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则. 若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则. 若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故. 综上，故沿棱柱的表面，从到的最短路径长度为. 故答案为： 四、解答题 22．（2024高一下·全国·专题练习）（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）3 【分析】（1）根据斜二测画法的规则进行作图即可； （2）根据斜二测画法的规则：平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度减半，由此可求出原的面积. 【详解】（1）画法：①画直角坐标系，在x轴上取，即； ②在题图中，过作轴，交轴于，在x轴上取，过D作 轴，并使； ③连接，则即为原来的图形，如图． （2）∵，∴. 又且， ∴,, ∴. 23．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ； （2）由斜二测画法规则知， 故原为直角三角形； （3）由已知可得在中，，， 故； （4）原三角形面积为，画直观图后，，， ． 24．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．    (1)求这条绳长的最小值； (2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 【答案】(1)50cm (2)4cm 【分析】（1）通过将圆台侧面展开并补成扇形，利用相似三角形求出相关线段长度，再根据弧长公式求出扇形圆心角，最后在直角三角形中求出绳长最小值； （2）在（1）的展开图基础上，通过三角形面积公式求出点到线段的距离，进而得到圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 【详解】（1）沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，如图所示．    易知，与相似，得， 由，解得． 因为的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为． 又扇形的半径， 设扇形的圆心角为，，解得，则． 在中，，所以， 即所求绳长的最小值为50cm． （2）如图所示，过点O作，垂足为C，交于点，则所求最短距离即为的长． 因为，所以， 即绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$