10.1.2 事件的关系和运算（教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 10 章 概率 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 10.1.2 事件的关系和运算 学习目标 1.理解事件的关系和运算. 2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念． 3.了解随机事件的并、交与互斥的含义. 4.能结合实例进行随机事件的并、交运算． 目录 CATALOG 01.事件的关系和运算 03.题型强化训练 02.互斥事件和对立事件 04.小结及随堂练习 01 事件的关系和运算 10.1.2 事件的关系和运算 学习新知 随机试验：对随机现象的实现和对它的观察． 样本点：随机试验E的每个可能的基本结果． 样本空间：全体样本点的集合． 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示． 随机事件（事件）：样本空间Ω的子集． 基本事件：只包含一个样本点的事件． 事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现． 有限样本空间与随机事件 学习新知 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算． 【探究】 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件：Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”； E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”； F＝“点数为偶数”； G＝“点数为奇数”；…………… 你还能写出这个试验中其他一些事件吗? 请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗? 学习新知 如：H1 =“点数小于7”；H2=“点数大于4”………… ． 事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法． 下面我们按照这一思路展开研究． 学习新知 事件的包含关系 用集合的形式表示事件C1="点数为1"和事件G="点数为奇数"， 它们分别是C1={1}和G={1，3，5}． 显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1}⊆{1，3，5}，即C1⊆G． 这时我们说事件G包含事件C1． 一般地，若事件A发生则必有事件B发生， 则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)， 记为B⊇A(或A⊆B)． 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B， 则称事件A与事件B相等，记作A=B． 学习新知 并事件（和事件） 用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，E1＝“点数为1或2”和 E2＝“点数为2或3”；， 它们分别是D1={1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}． 可以发现，事件E1和事件 E2至少有一个发生，相当于事件D1发生． 事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1，2}∪{2，3}={1，2，3}， 即E1∪E2＝D1，这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件． 学习新知 并事件（和事件） 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．可以用图 10.1-5 中的绿色区域和蓝色区域表示这个并事件． 02 互斥事件和对立事件 10.1.2 事件的关系和运算 学习新知 交事件（积事件） 用集合的形式表示事件C2＝“点数为2”，E1＝“点数为1或2”和 E2＝“点数为2或3”， 它们分别是C2={2}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}． 可以发现，事件E1和事件 E2同时发生，相当于事件C2发生．事件之间 的这种关系用集合的形式表示，就是{1，2}∩{2，3}={2}，即E1∩E2＝C2， 这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件． 学习新知 交事件（积事件） 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．可以用图中的蓝色区域表示这个交事件． 学习新知 互斥事件 用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”，C4＝“点数为4”， 它们分别是C3={3}，C4＝{4}． 可以发现，事件C3和事件C4不可能同时发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{3}∩{4}=Ø，即C3∩C4＝Ø， 这时我们称事件C3和事件C4互斥． 一般地，事件A与事件B不可能同时发生， 也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Ø， 我们称事件为事件A与事件B互斥(或互不相容)． 可以用图表示两个事件互斥． 学习新知 对立事件 用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，G＝“点数为奇数”， 它们分别是F={2，4，6}，G＝{1，3，5}． 在一次试验中，事件F和事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中一个．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是 {2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，{2，4，6}∩{1，3，5}=Ø， 即F∪G＝ Ω ，F ∩G＝Ø，此时我们称事件F和事件G互为对立事件． 学习新知 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Ø，那么称事件A与事件B互为对立． 事件A的对立事件记为A，可以如图表示． “事件A和事件B互斥”是“事件A和事件B对立”的什么条件？ 学习新知 事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示： 事件的关系或运算 含义 符合表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B或B⊇A 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Ø 互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B=Ø，A∪B=Ω 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件． 例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C (或A＋B+C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C (或ABC)发生当且仅当 A，B，C同时发生，等等． 学习新知 例5： 学习新知 【解析】 学习新知 【变式】 学习新知 学习新知 【反思感悟】 事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有的样本点，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有的样本点，把这些结果在图中列出，进行运算． 学习新知 例6： 学习新知 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 图10.1-10 学习新知 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 图10.1-10 学习新知 学习新知 【变式】 学习新知 学习新知 学习新知 【反思感悟】 辨析互斥事件与对立事件的思路 (1)从发生的角度看 ①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生． ②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例． (2)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件． 03 题型强化训练 10.1.2 事件的关系和运算 能力提升 题型一　事件关系的判断 【练习1】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 能力提升 能力提升 题型一　事件关系的判断 【反思感悟】 1.判断事件间关系的方法 判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系． (1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的． (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．　　 2.包含关系、相等关系的判定 (1)事件的包含关系与集合的包含关系相似． (2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生． 能力提升 题型二、事件的运算 【点睛】本题主要考查了事件的运算理解,属于基础题. 能力提升 题型二、事件的运算 【感悟提升】 事件运算应注意的2个问题 (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析． (2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理． 能力提升 题型三　互斥事件与对立事件的判断 【练习3】用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342” （ ） A．是互斥但不对立事件 B．不是互斥事件 C．是对立事件 D．是不可能事件 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系. 【分析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案. 【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有： {234,243,324,342,423,432}，其中偶数有{234, 324,342, 432}，大于342的有{423,432}.所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件. 故选：B. 能力提升 题型三　互斥事件与对立事件的判断 【感悟提升】 判断互斥事件、对立事件的两种方法 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥； (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 04 小结及随堂练习 10.1.2 事件的关系和运算 课堂总结1 1．知识清单： (1)事件的包含关系与相等关系． (2)并事件和交事件． (2)互斥事件和对立事件． 2．方法归纳：列举法、Venn图法． 3．常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆． 课堂总结2 事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示： 事件的关系或运算 含义 符合表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Ø 互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B=Ø，A∪B=Ω 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． 课堂总结3 作业 10.1.2 事件的关系和运算 练习（第233页）第1，2,3题 练习（第233页） 1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ) (A)至多一次中靶 (B)两次都中靶 (C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶 D “至少一次中靶”表示两次射击中一次中靶，另一次没中靶或两次都中靶，其对立事件为两次都没有中靶．故选D． 正确 错误 正确 正确 正确 正确 正确 正确 正确 正确 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 下列给出的命题中，错误的命题有（     ）个 ①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； ②事件 与事件 中至少有一个发生的概率一定比 与 中恰有一个发生的概率大； ③若 ， ，则事件 ， 相互独立与 ， 互斥可以同时成立； ④对于事件 ， ， ，若 成立，则 ， ， 两两独立. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】①根据互斥事件与对立事件的定义可知，正确； ②当 是对立事件时，事件A与事件 中至少有一个发生的概率和A与 中恰有一个发生的概率相等，故错误； ③若A， 互斥，结合 ， ，则 ， 则A， 不相互独立，故错误； ④对于事件A， ， ，若 ， ， ，以及 成立，则A， ， 两两独立，缺一不可，故错误.故选：C 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件 =“第一次摸到红球”， =“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”. （1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与 ，R与G，M与N之间各有什么关系？ （3）事件R与事件G的并事件与事件M有 什么关系？事件 与事件 的交事件与事件 R有什么关系？ 【详解】（1）所有的试验结果如图所示,  用数组 表示可能的结果, 是第一次摸到的球的标号, 是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间 事件 =“第一次摸到红球”,即 或2,于是 ； 事件 =“第二次摸到红球”,即 或2,于是 .同理,有 , , , . （2） 因为 ,所以事件 包含事件R；因为 ,所以事件R与事件G互斥；因为 , ,所以事件M与事件N互为对立事件. （3）因为 ,所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为 ,所以事件R是事件 与事件 的交事件. 【详解】由题可知，事件1可表示为： ,事件2可表示为： , 事件3可表示为： ,事件4可表示为： ,因为 ，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为 为不可能事件， 为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确； 因为 ，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为 为不可能事件， 不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误； 故选：B. 【练习2】打靶3次，事件 “击中 发”，其中 .那么 表示（     ） A．全部击中 B．至少击中1发 C．至少击中2发 D．全部未击中 【详解】 表示的是 这三个事件中至少有一个发生, 即可能击中1发、2发或3发. 故选：B. $$