专题04 复数11考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题04 复数11考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，复数是重要的考查内容之一。复数的概念、运算、分类、相等以及与复平面内的点和向量的对应关系等知识，构建起复数知识体系。这些知识点不仅能考查学生对数学概念的理解，还能检验学生综合运用数学知识进行运算、推理和解决问题的能力。复数与其他数学知识（如方程、函数、几何等）也存在着紧密联系，其考查方式灵活多样，既可以单独命题，也能与其他知识点融合，是高考中区分学生数学水平的关键考点。 【处理角度】 1. 理解概念本质：深入理解复数的相关概念，如虚部、实部、纯虚数、复数相等、共轭复数等，明确它们的定义和性质，这是解决复数问题的基础。 2. 运用运算规则：熟练掌握复数的加、减、乘、除、乘方等运算规则，通过准确的运算来化简复数表达式，为后续分析和求解问题做准备。 3. 借助几何意义：利用复数与复平面内的点、向量的对应关系，将复数问题转化为几何问题，借助图形的直观性辅助解题，有助于更清晰地理解问题和找到解题思路。 4. 建立方程求解：当涉及复数相等、在复数范围内解方程等问题时，通过建立方程（组），利用复数的实部与虚部分别相等的条件来求解未知量。 【解法策略】 1. 复数的概念题型：求解复数虚部、实部相关问题时，依据复数虚部和实部的定义，直接从给定的复数表达式中提取相应信息。对于已知复数实部和虚部的关系求参数的题目，将实部和虚部用含参数的式子表示出来，再根据已知关系建立等式求解。 2. 复数的分类题型：判断复数是否为纯虚数，根据纯虚数的定义，即实部为 0 且虚部不为 0，列出相应的等式和不等式求解参数。若已知复数为实数，说明其虚部为 0，据此建立方程求解。 3. 复数相等题型：当两个复数相等时，根据复数相等的充要条件，即实部与实部相等，虚部与虚部相等，建立方程组求解未知量。对于涉及集合中复数相等的问题，先确定交集元素，再利用复数相等的条件求出参数值，最后要检验结果是否符合题意。 4. 复数与复平面内的点的对应关系题型：已知复数判断其在复平面内对应点所在象限，先求出该复数对应点的坐标，根据横、纵坐标的正负确定所在象限。若已知复数对应点的位置求参数范围，则根据对应点坐标满足的条件列出不等式（组）求解。 5. 复数与向量的对应关系题型：求向量对应的复数，先确定向量起点和终点对应的复数，再通过向量运算规则求出向量坐标，进而得到其对应的复数。若涉及向量对称等问题，根据对称点的坐标关系，结合复数的几何意义确定所求复数。 6. 复数的模题型：计算复数的模，根据复数模的计算公式进行计算。判断与复数模相关的条件关系时，分别分析充分性和必要性，通过计算复数模来确定条件是否成立。已知复数模的值求参数，利用模的定义建立方程求解。 7. 复数的加、减运算题型：进行复数加、减运算时，直接按照运算法则，将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。若已知复数加、减运算的结果求复数，可设出所求复数，代入运算式，根据复数相等的条件求解。判断与复数加、减运算相关的条件关系，依据纯虚数、复数相等的定义进行推理判断。 8. 复数的乘、除运算题型：进行复数乘、除运算，乘法按照多项式乘法法则展开，再合并同类项；除法通过乘以分母的共轭复数将分母实数化后进行运算。求复数乘、除运算结果的虚部，先化简复数，再根据虚部定义确定。判断复数在复平面内对应点的位置，先计算出复数，再确定其对应点坐标，进而判断所在象限。 9. 复数的乘方运算题型：计算复数的乘方，利用虚数单位的乘方周期性，结合复数的乘法法则进行计算。判断复数乘方结果在复平面内对应点的位置，先化简乘方结果，再根据复数的几何意义判断。已知复数乘方的等式求共轭复数，先求出原复数，再根据共轭复数的定义得到结果。 10. 在复数范围内解方程题型：已知方程的一个复数根求方程的相关参数，利用实系数一元二次方程的虚根成对原理，结合根与系数的关系建立方程求解。求解方程的根，根据实系数一元二次方程的求根公式进行计算。 11. 与复数模相关的轨迹 (图形) 问题题型：求满足条件的复数模的最值，先根据复数模的定义确定所表示的图形（如圆、线段等），再分析复数模的几何意义（如两点间距离），结合图形的性质（如圆心到某点的距离、线段的长度等）求出最值。判断复数对应点的位置，根据已知条件确定复数对应点的轨迹方程，进而判断其所在位置。 考点1 复数的概念 1．（24-25高一下·贵州黔南·期中）若复数，则z的虚部为（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】C 【分析】根据复数虚部的定义求解即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：C. 2．（24-25高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，如果复数z满足，则z的虚部为（   ） A．2i B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简复数，再求其虚部. 【详解】因为，所以，其虚部为2. 故选：C 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（  ） A．7 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】根据复数实部和虚部的定义求出的值，进而求解即可. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 【答案】 【分析】根据复数的概念计算即可. 【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以. 故答案为： 5．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知， 所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 考点2 复数的分类 6．（22-23高一下·上海奉贤·期末）“”是“复数是纯虚数”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据纯虚数定义，得到a，b条件，可解. 【详解】复数是纯虚数，则.则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：A. 7．（2024高三·全国·专题练习）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】将代入，根据为实数，则虚部为零求解. 【详解】因为为实数, 所以，解得, 所以有序实数对可以是(答案不唯一) 故答案为：(答案不唯一) 8．（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【答案】④ 【分析】由复数的基本概念求解即可. 【详解】解：对于①，当时，则为实数，不是纯虚数，则①错误； 对于②，由于复数不能比较大小，故②错误； 对于③，则，解得，故④错误； 对于④，显然正确， 故答案为：④ 考点3 复数相等 10．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的结果，结合复数相等求出值，验证即得. 【详解】由集合，，且， 得，因此，所以， 当时，，因，故，符合题意. 故选：C 11．（24-25高一下·天津·阶段练习）若实数满足，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】利用复数相等来计算即可. 【详解】根据复数相等可得：，解得：，所以. 故答案为：. 12．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若，则（   ） A．6 B．5 C．-6 D．-5 【答案】A 【分析】根据复数相等得出，计算求值. 【详解】因为，所以，，. 故选:A. 13．（24-25高一下·陕西·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据易知结合复数相等的充要条件化简可得.进而换元，结合二次函数的性质，即可得出的最值. 【详解】因为，所以， 则， 所以，． 令， 所以，. 根据二次函数的性质可知，当时，有最小值； 当时，有最小值. 所以，． 故选：D. 14．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据复数相等的充要条件可得，即可求解. 【详解】由可得，所以5， 故选：C 考点4 复数与复平面内的点的对应关系 15．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限， 则，解得. 故选：C. 16．（24-25高一下·天津河西·期中）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项. 【详解】复数对应的坐标为，在第三象限. 故选：C. 17．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由共轭复数，及复数几何意义可得答案. 【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 18．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可. 【详解】由题意知对应的点为， 对应的点为，． 故选：C. 考点5 复数与向量的对应关系 19．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 . 【答案】 【分析】首先得到，，即可求出的坐标，从而写出其对应的复数. 【详解】因为复平面内的点，分别对应的复数为和， 所以，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故答案为： 20．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ． 【答案】 【分析】由对称性结合复数的几何意义得出点对应的复数． 【详解】设向量对应的复数为，对应复平面的坐标为， 因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为， 因为与关于轴对称，所以． 即向量对应的复数为，因为点为坐标原点，所以点对应的复数是． 故答案为：. 21．（21-22高一下·北京·阶段练习）在复平面内，点对应的复数分别为. (1)求向量及的坐标； (2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长. 【答案】(1), (2),. 【分析】（1）根据复数的几何意义及点与向量的坐标关系即可求解； （2）根据复数的几何意义及平行四边形的定义，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为点对应的复数分别为， 所以， 所以，. （2）由（1）知，， 设顶点的坐标为，则， 由题意可知，，所以， 即，解得，所以. 所以点对应的复数为， 所以. 所以的长为. 22．（24-25高一下·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【答案】/ 【分析】根据复数与向量的对应关系以及向量的运算法则来求解向量对应的复数. 【详解】已知向量，对应的复数分别为，. 根据向量运算法则，那么向量对应的复数为向量对应的复数减去向量对应的复数.即，化简得：. 故答案为：. 考点6 复数的模 23．（24-25高一下·山西太原·期中）已知复数，则的模长为 ． 【答案】5 【分析】根据复数的模长公式求解即可. 【详解】因为复数， 所以. 故答案为：. 24．（24-25高二下·浙江·期中）已知复数则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数模的运算，来判断是否可以推出即可. 【详解】当时，，所以，故“”是“”的充分条件； 当时，由，解得：， 故“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 25．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 26．（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模. 【详解】由复数对应的向量，则， 所以. 故选：A 27．（2025·浙江台州·二模）已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数模的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】复数，，则 ，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 考点7 复数的加、减运算 28．（24-25高一下·河南许昌·期中）复数的虚部为（    ） A． B．4 C． D．4i 【答案】A 【分析】利用复数的减法及复数的有关概念求解. 【详解】依题意，，其虚部为. 故选：A 29．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若复数满足，则 . 【答案】 【分析】设，代入化简，利用复数相等的定义可得，即可求得. 【详解】设，则， 所以， 则，即，，所以. 故答案为： 30．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可得为纯虚数，则，解得. 故选：C. 31．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项. 【详解】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 考点8 复数的乘、除运算 32．（24-25高一下·山东·期中）已知，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用复数的四则运算求出复数，再确定其虚部即可. 【详解】由，可知的虚部为. 故选：D. 33．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数满足，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部. 【详解】因为，则， 因此，复数的虚部为. 故选：A. 34．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数运算和虚部的概念可得结果. 【详解】，故的虚部为. 故选：C. 35．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】应用复数乘法计算得出复数，再得出对应点即可. 【详解】复数， 对应的点为，点在第二象限. 故选：B. 36．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，为的共轭复数，若，则的虚部为 【答案】7 【分析】由复数乘法运算及共轭复数概念即可求解. 【详解】， 所以， 所以的虚部为7， 故答案为：7 考点9 复数的乘方运算 37．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：A. 38．（24-25高一下·陕西·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的乘法（乘方）运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D 39．（24-25高一下·河北·期中）已知复数，则 ． 【答案】 【分析】根据虚数的性质，求得，结合，得到，再由共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由虚数乘方的性质，可得，其中，可得， 所以，所以. 故答案为：. 40．（24-25高一下·江苏连云港·期中）设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第 象限 【答案】一 【分析】由虚数单位的乘方周期性，根据复数除法与共轭复数，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，则，即， 所以，其在复平面上的点为，则该点在第一象限. 故答案为：一. 考点10 在复数范围内解方程 41．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【答案】26 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解. 【详解】由题意，是方程的一个根，则是其另一个根， 所以. 故答案为：26. 42．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在复数范围内，下列为方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程的求根公式求解. 【详解】因为，所以， 所以的根为. 故选：B. 43．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可. 【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根， 所以，即，所以. 故选：B. 44．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 所以复数也是关于x的方程的一个根， 则，所以， 所以. 故选：C. 45．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则 ． 【答案】1 【分析】确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案. 【详解】由题意知是关于的方程的一个根， 则是该方程的另一个根，则， 即，则， 故答案为：1 考点11 与复数模相关的轨迹(图形)问题 46．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【详解】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 47．（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值. 【详解】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为. 故选：A 48．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）复数满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 49．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】设，化简得到，复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆，得到答案. 【详解】设，则， 所以，故， 所以复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆， 则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 50．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】由图可得，所以，所以. 故选：C 2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）复数（）表示纯虚数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据纯虚数定义列式计算即可求解. 【详解】复数（）表示纯虚数， 则且不是3，所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·天津南开·期中）若复数满足（是虚数单位），则下列说法不正确的是（   ） A．复数在复平面内对应点在第一象限 B．的模为 C．的共轭复数为 D．复数的虚部为 【答案】D 【分析】根据复数的相关概念，逐项判断即可. 【详解】由复数满足，所以复数的实部为1，虚部也为1， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确； ，故B正确； 的共轭复数为，故C正确； 复数的虚部为1，故D错误. 故选：D. 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由纯虚数概念得到求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以， 解得. 故选：A. 5．（24-25高一下·河北沧州·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等可得，结合三角函数及二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以 则． 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以． 故选：. 6．（24-25高一下·福建福州·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 7．（24-25高一下·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用复数相等建立方程求出即可得解. 【详解】设， 则， 即，解得， 所以，， 故选：A 8．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值. 【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）在复平面内，若复数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，复数的虚部为 B．当时， C．当时，复数对应的点在第一象限 D．当时，为纯虚数 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合复数的概念和几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，复数的虚部为，所以A正确； 对于B中，当时，复数，可得，所以，所以B正确； 对于C中，当时，可得，此时复数对应的点为， 此时复数对应的点在第一象限或轴的正半轴上，所以C错误； 对于D中，当时，可得复数，此时复数为纯虚数，所以D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·湖南长沙·期中）关于复数z，下面是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BD 【分析】对于AC，通过举特特例可判断选项正误；对于BD，设，由题意结合复数模计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A， 当 时，，故A错误； 对于B，设，由题可得，则.故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，设，则 ，故D正确. 故选：BD 11．（24-25高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A．的模长为定值 B．为纯虚数 C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为 【答案】AD 【分析】A选项，，故模长为，A正确；B选项，，B错误；C选项，对应的点坐标为，C错误；D选项，计算出，根据共轭复数的概念得到答案. 【详解】A选项，，故的模长为，A正确； B选项，，为实数，B错误； C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误； D选项，，共轭复数为，D正确. 故选：AD 12．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（   ）. A．复数的虚部为 B． C． D．复数满足，则的最大值为 【答案】BD 【分析】对于A：根据虚部的概念分析判断；对于B：根据虚数单位的性质运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的几何意义结合圆的性质分析判断. 【详解】对于选项A：复数的虚部为，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：例如，则，此时，故C错误； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，即，其中为坐标原点，可知点在标准单位圆上， 可得， 所以的最大值为，故D正确； 故选：BD. 13．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则 B．若，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 【答案】AB 【分析】根据纯虚数、复数的模、共轭复数的定义以及复平面内点所在象限的特征，分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A选项， 已知为纯虚数，则，则，A选项正确. 对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即， 由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确. 对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误. 对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误. 故选：AB. 三、填空题 14．（24-25高三上·上海·期中）若复数，则其共轭复数的虚部为 . 【答案】 【分析】写出共轭复数，再根据复数定义求解． 【详解】由已知，虚部为， 故答案为：． 15．（2024·甘肃白银·一模）复数的实部与虚部之和为 . 【答案】5 【分析】根据复数模长可得，即可根据虚部和实部定义求解. 【详解】由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5. 故答案为：5 16．（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 【答案】3 【分析】由纯虚数的定义计算可得. 【详解】由题意可得，解得所以. 故答案为：3. 17．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，复数对应的点，表示点与点的距离为1， 因此点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，又表示点与点的距离， ，所以的最小值. 故答案为：2 18．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的坐标，进而列式求解. 【详解】复数在复平面上对应的点， 依题意，，所以. 故答案为：1 19．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 20．（24-25高一下·江苏南京·期中）设为实数，已知复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若为实数，且与复数相等，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由题设列出关于x的不等式组即可计算求解； （2）由复数相等得方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）由对应的点在第一象限得，解得， 所以的取值范围是； （2）由得，即， 所以，解得或． 21．（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)0 (2). 【分析】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】（1）由复数为纯虚数可得，所以； （2）易知， 则可知时，的最小值为. 22．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数（） (1)若，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围； (3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1)-1 (2) (3) 【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，求出答案； （2）由求出答案； （3）根据第四象限的坐标特征得到不等式，求出答案. 【详解】（1），故为实数， ，解得； （2）z为虚数，故，所以； （3）由题意得，解得 23．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可； （2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可. 【详解】（1）由，可得，解得或； （2）由对应的点在第一象限，可得， 解得且， 所以的取值范围为. 24．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. (1)若，求与的关系； (2)若不共线，三点共线，求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由三点共线，得，再结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 则. 所以. 又，所以， 即， . 因为，所以与的关系为. （2）若三点共线，则有且或1. 所以有， 即.① 又由，得， 即.② 由①②知解得且或1. 所以的值为1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题04 复数11考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，复数是重要的考查内容之一。复数的概念、运算、分类、相等以及与复平面内的点和向量的对应关系等知识，构建起复数知识体系。这些知识点不仅能考查学生对数学概念的理解，还能检验学生综合运用数学知识进行运算、推理和解决问题的能力。复数与其他数学知识（如方程、函数、几何等）也存在着紧密联系，其考查方式灵活多样，既可以单独命题，也能与其他知识点融合，是高考中区分学生数学水平的关键考点。 【处理角度】 1. 理解概念本质：深入理解复数的相关概念，如虚部、实部、纯虚数、复数相等、共轭复数等，明确它们的定义和性质，这是解决复数问题的基础。 2. 运用运算规则：熟练掌握复数的加、减、乘、除、乘方等运算规则，通过准确的运算来化简复数表达式，为后续分析和求解问题做准备。 3. 借助几何意义：利用复数与复平面内的点、向量的对应关系，将复数问题转化为几何问题，借助图形的直观性辅助解题，有助于更清晰地理解问题和找到解题思路。 4. 建立方程求解：当涉及复数相等、在复数范围内解方程等问题时，通过建立方程（组），利用复数的实部与虚部分别相等的条件来求解未知量。 【解法策略】 1. 复数的概念题型：求解复数虚部、实部相关问题时，依据复数虚部和实部的定义，直接从给定的复数表达式中提取相应信息。对于已知复数实部和虚部的关系求参数的题目，将实部和虚部用含参数的式子表示出来，再根据已知关系建立等式求解。 2. 复数的分类题型：判断复数是否为纯虚数，根据纯虚数的定义，即实部为 0 且虚部不为 0，列出相应的等式和不等式求解参数。若已知复数为实数，说明其虚部为 0，据此建立方程求解。 3. 复数相等题型：当两个复数相等时，根据复数相等的充要条件，即实部与实部相等，虚部与虚部相等，建立方程组求解未知量。对于涉及集合中复数相等的问题，先确定交集元素，再利用复数相等的条件求出参数值，最后要检验结果是否符合题意。 4. 复数与复平面内的点的对应关系题型：已知复数判断其在复平面内对应点所在象限，先求出该复数对应点的坐标，根据横、纵坐标的正负确定所在象限。若已知复数对应点的位置求参数范围，则根据对应点坐标满足的条件列出不等式（组）求解。 5. 复数与向量的对应关系题型：求向量对应的复数，先确定向量起点和终点对应的复数，再通过向量运算规则求出向量坐标，进而得到其对应的复数。若涉及向量对称等问题，根据对称点的坐标关系，结合复数的几何意义确定所求复数。 6. 复数的模题型：计算复数的模，根据复数模的计算公式进行计算。判断与复数模相关的条件关系时，分别分析充分性和必要性，通过计算复数模来确定条件是否成立。已知复数模的值求参数，利用模的定义建立方程求解。 7. 复数的加、减运算题型：进行复数加、减运算时，直接按照运算法则，将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。若已知复数加、减运算的结果求复数，可设出所求复数，代入运算式，根据复数相等的条件求解。判断与复数加、减运算相关的条件关系，依据纯虚数、复数相等的定义进行推理判断。 8. 复数的乘、除运算题型：进行复数乘、除运算，乘法按照多项式乘法法则展开，再合并同类项；除法通过乘以分母的共轭复数将分母实数化后进行运算。求复数乘、除运算结果的虚部，先化简复数，再根据虚部定义确定。判断复数在复平面内对应点的位置，先计算出复数，再确定其对应点坐标，进而判断所在象限。 9. 复数的乘方运算题型：计算复数的乘方，利用虚数单位的乘方周期性，结合复数的乘法法则进行计算。判断复数乘方结果在复平面内对应点的位置，先化简乘方结果，再根据复数的几何意义判断。已知复数乘方的等式求共轭复数，先求出原复数，再根据共轭复数的定义得到结果。 10. 在复数范围内解方程题型：已知方程的一个复数根求方程的相关参数，利用实系数一元二次方程的虚根成对原理，结合根与系数的关系建立方程求解。求解方程的根，根据实系数一元二次方程的求根公式进行计算。 11. 与复数模相关的轨迹 (图形) 问题题型：求满足条件的复数模的最值，先根据复数模的定义确定所表示的图形（如圆、线段等），再分析复数模的几何意义（如两点间距离），结合图形的性质（如圆心到某点的距离、线段的长度等）求出最值。判断复数对应点的位置，根据已知条件确定复数对应点的轨迹方程，进而判断其所在位置。 考点1 复数的概念 1．（24-25高一下·贵州黔南·期中）若复数，则z的虚部为（   ） A．1 B．i C． D． 2．（24-25高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，如果复数z满足，则z的虚部为（   ） A．2i B． C．2 D．4 3．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（  ） A．7 B．5 C． D．9 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 5．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 考点2 复数的分类 6．（22-23高一下·上海奉贤·期末）“”是“复数是纯虚数”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要 7．（2024高三·全国·专题练习）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 . 8．（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 考点3 复数相等 10．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·天津·阶段练习）若实数满足，其中为虚数单位，则 . 12．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若，则（   ） A．6 B．5 C．-6 D．-5 13．（24-25高一下·陕西·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（    ） A．1 B． C．5 D． 考点4 复数与复平面内的点的对应关系 15．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 16．（24-25高一下·天津河西·期中）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 考点5 复数与向量的对应关系 19．（23-24高一下·广东广州·期中）已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 . 20．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ． 21．（21-22高一下·北京·阶段练习）在复平面内，点对应的复数分别为. (1)求向量及的坐标； (2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长. 22．（24-25高一下·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 考点6 复数的模 23．（24-25高一下·山西太原·期中）已知复数，则的模长为 ． 24．（24-25高二下·浙江·期中）已知复数则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025·浙江台州·二模）已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点7 复数的加、减运算 28．（24-25高一下·河南许昌·期中）复数的虚部为（    ） A． B．4 C． D．4i 29．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若复数满足，则 . 30．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 31．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点8 复数的乘、除运算 32．（24-25高一下·山东·期中）已知，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 33．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数满足，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 35．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 36．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，为的共轭复数，若，则的虚部为 考点9 复数的乘方运算 37．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）复数（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·陕西·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 39．（24-25高一下·河北·期中）已知复数，则 ． 40．（24-25高一下·江苏连云港·期中）设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第 象限 考点10 在复数范围内解方程 41．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ． 42．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在复数范围内，下列为方程的根的是（    ） A． B． C． D． 43．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 45．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则 ． 考点11 与复数模相关的轨迹(图形)问题 46．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 48．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）复数满足，则的最大值为 . 49．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 50．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 一、单选题 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）复数（）表示纯虚数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一下·天津南开·期中）若复数满足（是虚数单位），则下列说法不正确的是（   ） A．复数在复平面内对应点在第一象限 B．的模为 C．的共轭复数为 D．复数的虚部为 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高一下·河北沧州·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·福建福州·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 9．（24-25高一下·山东济宁·期中）在复平面内，若复数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，复数的虚部为 B．当时， C．当时，复数对应的点在第一象限 D．当时，为纯虚数 10．（24-25高一下·湖南长沙·期中）关于复数z，下面是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 11．（24-25高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A．的模长为定值 B．为纯虚数 C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为 12．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（   ）. A．复数的虚部为 B． C． D．复数满足，则的最大值为 13．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则 B．若，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 三、填空题 14．（24-25高三上·上海·期中）若复数，则其共轭复数的虚部为 . 15．（2024·甘肃白银·一模）复数的实部与虚部之和为 . 16．（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 17．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数满足，则的最小值为 . 18．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数 ． 19．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 四、解答题 20．（24-25高一下·江苏南京·期中）设为实数，已知复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若为实数，且与复数相等，求的值． 21．（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 22．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数（） (1)若，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围； (3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 23．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 24．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. (1)若，求与的关系； (2)若不共线，三点共线，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$