北京市鲁迅中学2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷

鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第1 页 （共 15页） 北京市鲁迅中学 2024-2025 学年第二学期期中测试 初一数学 2025.04 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共 100 分。考试时 间 100 分钟。 第一部分（共 16 分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16 分。在每小题的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．9的算术平方根是（ ） (A) 3 (B) 3− (C)3 (D) 9 2．在下面的四个图形中，能由右图经过平移得到的图形是（ ） (A) (B) (C) (D) 3．下列式子正确的是（ ） (A) 9 3=  (B) 3 8 2− − = (C) 16 4− = (D) ( ) 2 2 2− = − 4．如图，下列条件中能判断 AB∥DC 的是（ ） (A)∠2=∠4 (B) 1 3 = (C) A C = (D) 180C ADC  + = 5．下列命题中，假命题是（ ） (A)对顶角相等 (B)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 (C)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 (D)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补 6．若 2 1 x y =  = 是二元一次方程 1x my− = 的一个解，则 m 的值为（ ） (A) 1− (B) − 1 2 (C)1 (D) 1 2 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第2 页 （共 15页） 7．如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为 (4, )1− ，北海北站的坐标为 ( 2,4)− ，则 复兴门站的坐标为（ ） (A) (−1, −7) (B) (−7,1) (C) (−7, −1) (D) (1,7) 8．在平面直角坐标系 xOy中，对于点 ( )P x y， ，如果点𝑄(𝑥，𝑦′)的纵坐标满足 ( ) ( ) x y x y y y x x y −  =  −    当 时 当 时 ，那么称点Q为点P的“关联点”．如果点P的关联点Q坐标为(−2,3)， 则点 P 的坐标为（ ） (A) (−2,1) (B)(−2, −5) (C)(−2,1)或(−2,4) (D)(−2,1)或(−2, −5) 第二部分(共 84 分) 二、填空题：本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16分。 9．比较大小√11 3 (在横线上填上“＞”，“＝”或“＜”) 10．已知 | 1| 2 4 0x y− + + = ，则 x y− 的值是 ． 11．在平面直角坐标系中，已知点𝑀(1 − 𝑎，𝑎 + 2)在 y 轴上，则 a 的值是 ． 12．在0.14&&， 11 7 ， 2− ，π， 3 8− 这五个实数中，无理数是 ． 13．将含30的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2 = 40°， 则∠1 的大小为 ． 14．在平面直角坐标系中，若第四象限内的点 ( )2,P a 到𝑥轴的距离是 3，则点 P 坐标为 ． 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第3 页 （共 15页） 15．已知 x、y 满足方程组 2 2 2 7 x y x y + =  + = ，则 x y− 的值为 ． 16．我们规定：在平面直角坐标系 xOy中，任意不重合的两点 ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 之间的折线距 离为 ( ) 1 2 1 2,d M N x x y y= − + − ．例如图①中，点 ( )2,3M − 与点 ( )1, 1N − 之间的折线距离为 ( ) ( ), 2 1 3 1 3 4 7d M N = − − + − − = + = ．如图②，已知点 ( )3, 4P − ，若点Q的坐标为 ( ), 2t ，且 ( ), 10d P Q = ，则 t 的值为 ． 三、解答题：本大题共 10小题，共 68分。(17,18, 23,24,25每题 8分,20, 26每题 5分,19,21,22 每题 6 分) 17．计算： (1) 1 5 5 5   −    ； (2) 3 8 25 | 3 2 |− − + − ． 18．求出下列 x 的值： (1) 29 25 0x − = ； (2) ( ) 3 1 27 0x + + = ． 19．解方程组： 3 3 2 8 x y x y + =  − = ． 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第4 页 （共 15页） 20．如图，按要求画图并回答问题： (1)过点 A 画点 A 到直线BC 的垂线段，垂足为 D； (2)过点 D 画直线 DE AB∥ ，交 AC 的延长线于点 E； (3)∠AED 的内错角是 ； (4)在线段 AB AC AD， ， 中，最短的是 ，理由为 ． 21．如图，点 H、点 D 在 AB 上，点 F、点 G 在 AC 上，点 E 在 BC 上，已知 HG⊥AB， DF⊥AB，∠2+∠3＝180°，求证：∠1＝∠A 证明：∵HG⊥AB，DF⊥AB（已知）， ∴∠AHG＝∠HDF＝90°（ ① ）． ∴DF∥HG（ ② ）． ∴∠3+ ③ ＝180°（ ④ ）． ∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠2＝∠4（ ⑤ ）． ∴ ⑥ （内错角相等，两直线平行）． ∴∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）． 22．如图，在平面直角坐标系 xOy中，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别为(−2， − 2)，(3，1)， (0，2)，若把三角形 ABC 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度得到三角形 A B C  ，点 A，B，C 的对应点分别为 A，B，C． (1)写出点 A的坐标为 ； (2)在图中画出平移后的三角形 A B C  ； (3)三角形 ABC的面积为 ； (4)已知点 P 在 y 轴上，以 B、C、P 为顶点的 三角形面积为 3，直接写出 P 点的坐标为 ． 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第5 页 （共 15页） 23．如图所示，已知， A F = ， C D = ． （1）求证：BD∥CE； （2）已知 : 2 :3ABD DEC  = ，求 DEC 的度数． 24．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解 1 辆 A 型汽车， 3 辆 B 型汽车的进价共计 70 万元；3 辆 A 型汽车，2 辆 B 型汽车的进价共计 105 万元． (1)求 A，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用 250 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有 购买），请你通过计算写出所有购买方案． 25．已知，AB∥CD， （1）如图 1，过点 F 作 FP∥CD，利用平行线的性质，可得结论： ① EFG AEF CGF + + = ， ② EFG 与 BEF ， DGF 之间的数量关系是 ． 请你选择一个结论写出证明过程. （2）利用（1）的结论，解决下列问题： ①如图 2 ，点 M 是∠AEF 和 FGC 平分线的交点， 126EFG = ，求 EMG 的 度数； ②如图 3，GM 平分 CGF ，EM GM⊥ ，EF 平分 BEM ，若 EFG 比 CGF 大 8°，则 CGF 的度数是 ． 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第6 页 （共 15页） 26．对于平面直角坐标系 xOy中的图形 G 和点 P，给出如下定义：将图形 G 沿上、下、左、 右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于 1 个单位长度，平移后的 图形记为G，若点 P 在图形G上，则称点 P 为图形 G 的稳定点，例如，当图形 G 为点 (−2，3)时，点𝑀(−1，3)，𝑁(−2，3.5)都是图形 G 的稳定点． (1)已知点𝐴(−1，0)，𝐵(2，0)． ①在点𝑃1(−2，0)，𝑃2(4，0)，𝑃3 (1， 1 2 )，𝑃4 ( 3 2 ， − 3 2 )中，线段 AB 的稳定点是____． ②若将线段 AB向上平移 t 个单位长度，使得点 E(0，1)或者点𝐹(0，5)为线段 AB 的 稳定点，写出 t 的取值范围___________． (2) 边长为 a 的正方形，一个顶点是原点 O，相邻两边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，这 个正方形及其内部记为图形 G．若以(0，2)，(4，0)为端点的线段上的所有点都是这 个图形 G 的稳定点，直接写出 a 的最小值___________． 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第7 页 （共 15页） 四、选做题：本大题共 2小题，每题 5分，共 10 分。 27．阅读材料： 如果 x 是一个有理数，我们把不超过 x 的最大整数记作 x 例如， 3.2 3= ， 5 5= ， 2.1 3− = − ．那么，  x x a= + ，其中0 1a ≤ ． 例如，  3.2 3.2 0.2= + ，  5 5 0= + ，  2.1 2.1 0.9− = − + ． 请你解决下列问题： （1） 4.8 = ______， 6.5− =______； （2）如果  3x = ，那么 x 的取值范围是______； （3）如果  x x a= + ，其中0 1a ≤ ，且  2 1a x= − ，直接写出 x 的值． 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第8 页 （共 15页） 28．已知直线 MN∥PQ，现将一个含30的三角板 ABC按照如图 1 放置，使点 A，B 分别在直 线MN ， PQ上， 90ABC = ， 60C = ， AD平分 CAN 交直线 PQ于点D，且 AD∥BC (1) BAM 的度数为 ； (2)将一个含有 45的三角板EFG按照如图 2 所示放置，直角顶点 G 与点 A 重合，直角边 GF 与AB重合．若将三角板GEF绕点A以每秒 6°的速度顺时针旋转，设旋转时间为 t 秒 ( )0 15t  ． 若三角板 ABC 同时绕点 B 以每秒 18°的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边EF 与三角板 ABC的一条直角边平行时，画出图形并直接写出所有满足条件的 t 的值． 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第9 页 （共 15页） 鲁迅中学 2024-2025 学年第二学期期中测试评分标准 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B C B D 二、填空题：本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16分。 9． ＞ 10．3 11．1 12． 2− ，π 13．50° 14．P（2，-3） 15．5 16． 1− 或 7 三、解答题：本大题共 10小题，共 68分。(17,18, 23,24,25每题 8分,20, 26每题 5分,19,21,22 每题 6 分) 17.（1）解： 1 5 5 5   −    1 5 5 5 5 =  −  ………..2 分 5 1= − ………..3 分 4= ；………..4 分 （2）解： 3 8 25 | 3 2 |− − + − 2 5 2 3= − − + − ………..3 分 5 3= − − ．………..4 分 18.（1）解： 29 25 0x − = ， 29 25x = ，………..1 分 2 25 9 x = ，………..2 分 25 5 9 3 x =  =  ；………..4 分 （2）解： ( ) 3 1 27 0x + + = ， ( ) 3 1 27+ = −x ，………..1 分 𝑥 + 1 = √−27 3 ，………..2 分 X+1=-3………..3 分 4x = − ．………..4 分 19. 3 3 2 8 x y x y + =  − = ① ② 解法一：代入消元法 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第10 页 （共 15页） 由②，得 2 8x y= + ③………..1 分 把③代入①，得 ( )3 2 8 3y y+ + = ………..2 分 解得 = 3y − ………..3 分 把 = 3y − 代入③，得 2x = ………..4 分 ∴方程组的解为 2 3 x y =  = − ………..6 分 解法二：加减消元法 2 +① ②，得7 14x = ………..2 分 解得 2x = ………..3 分 把 2x = 代入①，得 = 3y − ………..4 分 ∴方程组的解为 2 3 x y =  = − ………..6 分 20.（1）解：如图， AD即为所求； ………..1 分 （2）解：如图，DE 即为所求； ………..2 分 （3）解： AED 的内错角是 BAE ，………..3 分 （4）解：在线段 AB AC AD， ， 中，最短的是 AD，理由为垂线段最短．………..5 分 21.证明：∵HG⊥AB，DF⊥AB（已知）， ∴∠AHG＝∠HDF＝90°（垂直的定义）．………..1 分 ∴DF∥HG（同位角相等，两直线平行），………..2 分 ∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），………..4 分 ∵∠2+∠3＝180°（已知）， 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第11 页 （共 15页） ∴∠2＝∠4（同角的补角相等），………..5 分 ∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）．………..6 分 ∴∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）． 22.（1）解：根据题意得，点 A的坐标为 ( )3,1− ………..1 分 （2）解：如图，三角形 A B C  即为所求．……3 分 （3）解：三角形 A B C  的面积为 1 1 1 5 4 2 4 1 3 3 5 20 4 1.5 7.5 7 2 2 2  −   −   −   = − − − = ；………..4 分 （4） (0,0)P 或(0,4) ---------------6 分 23.（1）证明∵∠A=∠F， ∴AC//DE，………..1 分 ∴∠D=∠ABD，………..2 分 ∵∠D=∠C， ∴∠C=∠ABD，………..3 分 ∴BD//CE；………..4 分 （2）∵BD//CE， ∴∠ABD =∠C，………..5 分 ∵DF//BC， ∴∠DEC+∠C=180°，………..6 分 ∴∠ABD+∠C=180°， ∵∠ABD ：∠DEC=2:3， ∴设∠ABD=2x，∠DEC=3x， 则 2x+3x=180°，………..7 分 ∴x=36°，∴∠DEC =3x=108°．………..8 分 24.（1）解：设 A 型号的汽车每辆进价为 x 万元，B 型号的汽车每辆进价为 y 万元，………..1 分 { 𝑥 + 3𝑦 = 70 3𝑥 + 2𝑦 = 105 ，………..3 分 解得 25 15 x y =  = ，………..5 分 答：A 型号的汽车每辆进价为 25 万元，B 型号的汽车每辆进价为 15 万元． （2）解：设购买 A 型号的汽车 a 台，B 型号的汽车 b 台， 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第12 页 （共 15页） 25 15 250a b+ = ，即 3 a 10 b 5 = − ， ∵a、b 均为正整数， ∴ 7 5 a b =  = 或 4 10 a b =  = 或 1 15 a b =  = ， 方案一：购买 A 型号的汽车 7 台，B 型号的汽车 5 台， 方案二：购买 A 型号的汽车 4 台，B 型号的汽车 10 台， 方案一：购买 A 型号的汽车 1 台，B 型号的汽车 15 台．………..8 分 25. 解：(1)360， EFG BEF DGF = + ；………..2 分 证明过程………..4 分 （2） EMQ 平分 AEF ，GM 平分 FGC ， 设 AEM MEF  =  = ， CGM MGF  =  = ， 2AEF  = ， 2CGF  = ， 由（1）的结论得： EMG AEM CGM   =  + = + ， 360EFG AEF CGF + + = ， 又 126EFG = Q ， 126 2 2 360  + + = ∴ ， 117 + = ∴ ， 117EMG   = + = ∴ ；………..7 分 （3）设 CGM  = ， GMQ 平分 CGF ， MGF CGM  =  =∴ ， 2CGF  =∴ ， 180 180 2DCF CGF  = − = −∴ ， 由（1）的结论得： EMG CGM AEM = + ， EFG BEF DGF = + ， EM GM⊥Q ， 90EMG = ， 90AEM  = −∴ ， 180 180 90 90BEM AEM   =  − =  −  − =  +∴ （ ） ， EFQ 平分 BEM ， 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第13 页 （共 15页） ( ) 1 1 90 2 2 BEF BEM  =  = + ， ( ) 1 3 90 180 2 225 2 2 EFG BEF DGF    =  + = + + − = − ， EFGQ 比 CGF 大8， 8EFG CGF = + ∴ ，即： 3 225 2 8 2  − = + ， 解得： 62 = ， 2 124CGF  = = ∴ ．………..8 分 26.（1）解：①如图 1 中， 可知： 1P， 3P 是线段 AB 的稳定观察图象，根据图形 G 的稳定点的定义 点．………..2 分 ②如图 2 中， 观察图象可知当 0≤t≤2 或 4≤t≤6 时，点 E （0，1）或者点 F（0，5）为线 段 AB 的稳定点． 故答案为：0≤t≤2 或 4≤t≤6；………..4 分 （2）解：如图 3 中，正方形 OABC 的边 长为 a，P（0，2），Q（4，0）， 观察图象可知当 3≤a 时，线段 PQ 上的点都是图形 G 的稳定点． ∴a 的最小值为 3. ………..5 分 四、选做题：本大题共 2 小题，共 10 分。(27 题 5 分,28 题 5 分) 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第14 页 （共 15页） 27. 解：（1）4， 7− ； ……………………………2 分 （2）3 4x „ ； ……………………………3 分 （3） 1x = 或 1 2 2 ．…………………………5 分 28.（1）解：∵ 90ABC = ， 60C = ，三角板 ABC 中含30， ∴ 30BAC = ， AD BCQ P ， 180ABC BAD + = ， 90ABC = Q ， 90BAD = ， 30BAC = Q ， 60CAD = ， ADQ 平分 CAN ， 2 120CAN CAD  =  = ， 150BAN CAN BAC  = + = ， 180 30BAM BAN  = − = ．………..2 分 （2）解：当EF BC∥ 时，第一种情况：延长BC交 FG 于 点K ， ∵ 90ABC = ， 18 90CBG ABG ABC t? ? ? ? ?， 6FGB t? ? ， ∴ ( )180 180 6 18 90 270 24BKG FGB CBG t t t = − − = −  −  −  = −  ， ∵EF BC∥ ， 45F = ， ∴ 45FKB? ?， 180 45 135BKG? ? ? ?， ∴270 24 135t? ? ?，解得： 45 8 t = ； 第二种情况：延长BG 交FE于点W ， ∵EF BC∥ ， 45F = ， 18 90CBG t? ? ?， 6FGB t? ? ， ∴ ( )180 18 90 270 18FWG t t = −  −  = −  ， 180 6FGW t? ? ? ， ∵ 180FWG FGW F? ? ? ?， 鲁迅中学 2025 年 4 月 初一数学试卷 第15 页 （共 15页） ∴270 18 180 6 45 180t t? ? ? ? ? ?，解得： 105 8 t = ， ∴当EF BC∥ 时， 45 8 t = 或 105 8 ； 当EF AB∥ 时，第一种情况：延长EF 交BG 于点 R ， ∵ EF AB∥ ， 45EFG = ， 18ABG t? ? ， 6FGB t? ? ， ∴ 18FRG ABG t? ? ? ， 180 45 135RFG? ? ? ?， ∵ 180FRG FGR RFG? ? ? ?， ∴18 6 135 180t t? ? ? ?，解得： 15 8 t = ； 第二种情况：延长BG 交FE于点T ， ∵ EF AB∥ ， 45F = ， 18ABG t? ? ， 6FGB t? ? ， ∴ 180 18FTG t? ? ? ， 180 6FGT t? ? ? ， ∵ 180FTG FGT F? ? ? ?， ∴180 18 180 6 45 180t t? ? ? ? ? ?，解得： 75 8 ， ∴当EF AB∥ 时， 15 8 t = 或 75 8 ； ∴当边EF 与三角板 ABC 的一条直角边平行时， t 的值 为 45 8 t = ， 105 8 ， 15 8 t = ， 75 8 ．