2025年数学中考一轮复习图形变换

2024-2025学年人教版数学中考一轮复习 图形变换 1．如图1，将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点C，F重合，点A在的延长线上，点D在的延长线上，与交于点G．，． (1)的度数是 °； (2)将图1中的绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后停止运动，设旋转时间为t秒． ①当时，判断边与边的位置关系，并说明理由； ②在旋转的过程中，恰有一边与边平行，求t的值． 2．如图1，的半径，弦．直线与相切于点C，．点P为弦的中点，连接． (1)如图1，求大小及线段的长度； (2)若弦以圆心为旋转中心，逆时针旋转到时停止，如图2所示，求点走过的路线长． 3．如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【问题发现】①当时，___________；②当时，___________； 【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 4．在中，，将绕点A旋转得到，连接对应点，． (1)如图1，求证：． (2)当经过的中点F时． ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，延长交于点G，当时，判断线段，的数量关系，并说明理由． 5．如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 6．已知正方形，点E是边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交于点M，连接． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段的数量关系，并证明． 7．【知识技能】（1）如图1，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，延长至点M，使得，连接．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．求证： 【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，的长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点D的运动过程中，的长度存在最大值．若，求的长度的最大值． 8．如图，点和点分别是正方形和正方形对角线的交点，边且过点，与边交于点E，与边交于点F，连接．已知，． (1)求证：重叠部分的四边形是矩形； (2)若．求的值； (3)若正方形和正方形分别绕点和点顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形的边长． 9．如图，在和中，，且点A在上，连接． (1)求证：； (2)已知，将绕点C按逆时针方向旋转一周，当以为顶点的四边形是平行四边形时，写出旋转角的度数． 10．如图，反比例函数过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 11．如图①．点E为正方形内一点．，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F．连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状．并说明理由； （2）如图②．若．请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，请直接写出的长． 12．在中，，，是边上一点，连接． (1)如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：； (2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值． 13．综合与实践： 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】 如图2，通过观察，线段与的数量关系是________； (2)【问题解决】 如图3，连接并延长交的延长线于点，若，． ①求线段的长； ②连接交于点，则的值为________． (3)【拓展应用】 如图3，若，，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 14．在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题： 问题提出： 如图①，已知是等边三角形，点在边上，以线段为边作等边，将绕顶点逆时针旋转，如图②，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． 猜想探究： （1）如图②，与相等吗？请说明理由； （2）如图③，连接，，，请直接判断是哪种特殊的三角形：_____三角形． 探究迁移： （3）如图④，若和都是等腰直角三角形，且，，点在边上，将绕顶点逆时针旋转，如图⑤，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段，连接，，，则是什么特殊的三角形？请证明你的结论． 15．已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点． 【探索发现】 （1）如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下， ①的度数为___________； ②连接，证明； 【拓展思考】 （3）如图2，若正方形的边长，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)30 (2)①，理由见解答；②t的值是3或12或15 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质即可解答； （2）①如图2，根据三角形的内角和定理可得，即可得结论； ②分三种情况：i）如图2，，ii）如图3，，iii）如图4，，延长交于点G，根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图1，∵，． ∴， ∵， ∴， 故答案为：30； （2）①当时，边与边的位置关系是：，理由如下： 如图2，当时，， ∵， ∴， ∴； ②分三种情况： i）如图2，由①可得， ∴， 此时； ii）如图3，， ∴， ∴， ∴； iii）如图4，，延长交于点G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，t的值是3或12或15． 【点睛】此题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和，三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 2．(1)， (2) 【分析】（1）连接，，由切线得到，求出，然后利用圆周角定理求出；由垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）连接，求出为直径，点在线段上，然后求出旋转角为，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵直线与相切于点C， ∴， ， ∵点P为弦的中点 ∴垂直平分 ； （2）连接， ∵， ∴为直径，点在线段上． 与圆相切， ． 又， ，即旋转角为． 点走过的路线长为． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弧长等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．[问题发现]①；②；[拓展探究]的大小无变化；见解析；[问题解决]或 【分析】[问题发现]先利用勾股定理求得，再利用中点的意义分别求得与，然后求出它们的比； [拓展探究]先证明，再求出与，然后得出结论； [问题解决]分“点在线段上”、“点在线段上”两种情形，分别证明，列出比例求出． 【详解】解：[问题发现] ①当时，如图1， ∵在Rt中，， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， 由旋转的性质可知：，， ∴， ， ∴， 故答案为：； [拓展探究] 无变化． 理由：如图1中，∵是的中位线， ∴， 如图2中，∵在旋转过程中形状大小不变， ∴仍然成立， 又∵， ∴， ∴， ∴的大小无变化． [问题解决] 当点在线段上时，如图， 与[拓展探究]同理可证， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：； 当点在线段上时，如图， 同理可证， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求线段的长，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，解题关键是利用相似三角形的判定证明三角形相似，并列出比例求出待线段的长． 4．(1)详见解析 (2)①；②，详见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）①勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，即可得，结合，得出，即可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． ②设，根据，，得出，，．证明，得出，，由①知，．即可得．根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． （2）解：①∵，，， ∴．     ∵点F是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴．     ∵， ∴．         ∴，即．     ∴．         ② 设． ∵，， ∴，，． ∵，， ∴． ∴．         ∴． ∴． ∴．     ∴． 由①知，． ∴． ∵， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质等知识点．解题的关键是证明三角形相似． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 6．(1) (2)，见解析 【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，构造全等三角形，作出辅助线是解题关键． （1）延长交的延长线于点P，根据平行线的性质得出，确定，再由各角之间的等量代换即可得出结果； （2）过点A作且，连接，根据全等三角形的判定和性质得出， ，确定，继续利用全等三角形的判定和性质证明，结合图形利用勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点P，如图所示： ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作且，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 由（1）得， ∴， ∵将射线绕点A逆时针旋转得到射线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 7．（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质得出，最后根据平行线的性质即可得出． （2）延长至点，使得，连接．由旋转的性质可知，．证明，由全等三角形的性质进一步即可证明． （3）延长至点，使，连接．先证明，再证明，根据得出点在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时．然后利用勾股定理以及直角三角形斜线的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：（1）证明：为的中线， ． 在和中， ． ． ． ． （2）证明：如答题图，延长至点，使得，连接． 由旋转的性质可知，． ， ． 由（1）得， ． 在和中， ． ． ， ． （3）解：如答题图，延长至点，使，连接． 在和中， ． ． ． ． ， ． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． ． ． 点在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时． 为的中点，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，为斜边的中点， ． 的长度的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合问题，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）证明，即可得到四边形是矩形； （2）作于点，证明，求得，证明，求得，再利用三角函数的定义即可求解； （3）重叠部分的四边形恰好为正方形，则正方形和正方形的对角线重合，得到点共线，结合（2）的结论，求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形和正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接、、，作于点， ∵点是正方形对角线的交点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形对角线的交点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 由（2）知， ∵， ∴， ∵点是正方形对角线的交点， ∴正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴，， ∵重叠部分的四边形恰好为正方形， ∴正方形和正方形的对角线重合， ∴点共线， 如图，重叠部分的四边形的对角线为， ∴， ∴， ∴重叠部分的四边形的边长． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 9．(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得对应角相等； （2）分类讨论，根据平行四边形的性质即可解答，可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ； （2）解：分情况讨论，设旋转后，的对应点为， 当为边时有两种情况， 当在上方时，以为顶点的四边形是平行四边形时如图， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，即旋转； 当在下方时，以为顶点的四边形是平行四边形时如图， ， ， 旋转的角度为； 当为对角线时，以为顶点的四边形是平行四边形时如图， ，， 四边形为正方形， ， 旋转的角度为． 综上，旋转角度为或或，以为顶点的四边形是平行四边形． 10．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图2，过点作轴的平行线，作于，于，设，证明出，得到，然后得到求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数上， ， ， 反比例函数为； （2）如图2，过点作轴的平行线，作于，于， 设， ， ，， 把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 恰好也落在这个反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去） ∴． 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 11．（1）正方形，理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形； （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于G，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质可得，， 又∵ ∴四边形是矩形 又∵， ∴四边形是正方形； （2），证明如下： 如图②所示，过点D作，垂足为H 则， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴； （3）如图①所示，作于G， ∵四边形是正方形 ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， 由（2）可知：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 12．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）作交的延长线于，证明及，二者结合可证明结论； （3）点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆，运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，结合图形找出点的最大值，然后根据垂线段最短可求出的最小值，从而确定和的比值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，设的延长线交于， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2， 作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3， 点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环， 当在的延长线上时，最大， ，，， 为的中点， ， ， 根据三角形面积可得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一点到圆上的距离的最值问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 13．(1) (2)①2；② (3)2或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）①证明，得出，，根据，得出，求出结果即可； ②过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （3）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ∵， ， ， 又且， ， ； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，过点作于点，      ∵，， ∴， ∴， 即，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 解得： ∴； （3）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点，    ∵ ∴，设，则， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴ ∵， ∴ 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（1），理由见解析；（2）等边；（3）是等腰直角三角形，证明见解析； 【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，运用平移性质得，则，则代入，化简得出，即可作答． （2）与（1）同理得，再证明，，然后根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （3）与（2）同理证明，得，，故，因为为等腰直角三角形，，所以，即可作答． 【详解】解：（1）， 理由和为等边三角形, ， ， 平移， ， ， ， ， ； （2）是等边三角形，过程如下： 和为等边三角形, ，， ， 平移， ，， ，， ， ， ； ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （3）是等腰直角三角形，理由： 由（2）知， 平移， ， 又， ， ∵，，， ∴； ，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形． 15．（1）见解析；（2）①；②见解析；（3）或． 【分析】（1）依题意补全图形，连接，由正方形和旋转的性质可得，由角平分线的定义可得，再通过证明即可求解； （2）①设，则，由可得，由可得，再根据计算即可求解； ②连接和，得和为等腰直角三角形，，，由等角减同角相等可得，以此可证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况：当为对角线时此时，；当为对角线时，连接，同（1）可证：，得到，由可得，，由四边形内角和定理得到，进而求得，于是是等腰直角三角形，同（2）②可证：，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：（1）“尺规作图”补全图形如图： 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①连接 设， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②证明：如图，连接和， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）当为对角线时，如图， 此时，； 当为对角线时，如图，连接， ∵四边形为边长为4的正方形， ∴， 同（1）可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同（2）②可证：，且， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查尺规作图、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确作出辅助线，灵活应用相关知识解决问题是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$