海南省文昌中学2024-2025学年高一下学期段考数学试题

2024—2025学年度第二学期 高一年级数学科段考试题参考答案 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D C B D B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC AC BCD 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解： （1）由向量，得 ，=，= …………（3分） 于是，而， …………（6分） 所以. …………（7分） （2）由向量，得， ……（9分） 由，得， …………（12分） 解得， 所以实数的值是. …………（13分） 16．解： （1）由得, …………（2分） 又因为， …………（4分） 所以, …………（5分） 又因为， …………（6分） 所以, …………（7分） 又因为, 所以. …………（8分） （2）因为， …………（10分） 所以, …（12分） 又因为, …………（13分） 所以, …………（14分） 所以 …………（15分） 17．解： （1）因 …………（1分） …………（3分） 则的最小正周期是， …………（4分） 令，， 解得，， …………（6分） 故的单调递增区间是，. …………（7分） （2）因为将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍， 所以经过变换可得， …………（9分） 由题意得，即， 所以，， …………（11分） 解得，， …………（12分） 令，则，时，， …………（14分） 所以当时，不等式的解集为. …………（15分） 18．解： （1）因为，所以， 在中，由余弦定理得： ， …………（2分） 在中，由余弦定理得： ， …………（4分） 两式作差得：，解得， …………（6分） 因为，所以． …………（7分） （2）因为 …………（8分） 由（1）知，可得，且…（9分） 则所以， …………（10分） 在中，可得， 所以 …………（11分） 在中，可得，……（12分） 在中，可得，……（13分） 可得，所以， 则， …………（14分） 所以，解得，……（15分） 设△ABP的外接圆半径为R， 由正弦定理得，解得， …………（16分） 所以△ABP的外接圆半径为． …………（17分） 19．解： （1）①由正弦定理得，即， 所以，又，所以 ……（3分） ②由①，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ， 整理得 ……（5分） 则 ……（7分） （2）因为， 所以， …………（8分） 所以，即， 所以或， …………（10分） 当时，，△ABC为直角三角形， 当， 则， 得，在三角形中不可能成立， 所以为的直角三角形， …………（12分） 因为点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得 即 …………（15分） 而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. …………（17分） 高一数学段考题参考答案 第2页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期 高一年级数学科段考试题 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效。写在试卷上无效。 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（ ） A． B．－ C． D．－ 2．下面关于空间几何体叙述不正确的是（ ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．正四棱柱都是长方体 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a－bi为纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=18，底面△ABC边AB上的高为h，当底面ABC水平放置时水面高度为16（如图①）. 当侧面AA1B1B水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A． B． C． D． 5．若向量两两的夹角均为，且，，，则（ ） A．4　 B． C．2 D． 6．如图，为了测量山顶上灯塔CD的高度，某人从高h＝40m的高楼AB的底部A处和楼顶B，测得灯塔顶部D处的仰角分别为β＝60°，α＝30°． 若山顶高a＝35m，则灯塔的高度是（ ） A．15m　 B．25m C．40m D．60m 7．已知过球面上三点A, B, C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，则球的表面积（ ） A．　 B． C． D． 8．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A．　 B． C．　 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 9．已知函数，的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象与轴交点的纵坐标为，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C． D．为偶函数 10．设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ） A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限 B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则 C．若复数是纯虚数，则 D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则 11．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A． B．若，则△ABC有两解 C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是 D．若D为边上的中点，则的最大值为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．i是虚数单位，若复数z满足，则 . 13．已知，，则 . 14．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G. 若，则的值是 ；若，则的值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知向量，． （1）求向量与的夹角的正弦值； （2）若向量∥，求实数的值. 16.（本小题满分15分） 如图，已知三角形的内角的对边分别为， 且． （1）求的大小； （2）若，设为三角形 的角平分线，求的长． 17.（本小题满分15分） 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，当时，求不等式的解集． 18.（本小题满分17分） 如图，四边形中，． （1）求； （2）P为边上一点，且的面积为， 求△ABP的外接圆半径． 19.（本小题满分17分） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点P为△ABC的费马点，求； （2）若，设点P为△ABC的费马点，，求实数的最小值． 高一数学 第3页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$