专题09 概率初步（七大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题09 概率初步 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、事件类 2 类型二、频率估计概率 2 类型三、概率公式 4 类型四、几何概型 6 类型五、列表法或树状图 10 类型六、游戏的公平性 13 类型七、综合应用 16 压轴能力测评 20 知识点1事件类型 1.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 2.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 3.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即(必然事件)； ②不可能事件发生的概率为0,即（不可能事件）； ③如果为不确定事件，那么 知识点2概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率. （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值. 2.概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1; （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个; （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等; （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0; （5）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 3.求概率方法： 列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用.等可能性事件的概率可以用列举法而求得. 知识点3频率与概率 1.频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数. 2.频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率. 3.一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么，这个常数就叫作事件的概率，记为. 类型一、事件类型 【例1】下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．若a是实数，则 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．两数相加，和是正数 D．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【详解】解：A、若a是实数，则，是必然事件，则此项符合题意； B任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意； C、任意两数相加，和是正数，是随机事件，则此项不符合题意； D、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，则此项不符合题意． 故选：A． 【例2】下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【答案】②④/④② 【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； ②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； ④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意． 故答案为：②④． 【变式1-1】判断下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？请说明理由． (1)某人买了一张体育彩票，结果中了奖； (2)用长分别为的3条线段首尾顺次连接围成一个三角形； (3)射击运动员连续射击10次，每次都命中10环． 【答案】(1)随机事件，理由见解析 (2)必然事件，理由见解析 (3)随机事件，理由见解析 【详解】（1）解：∵买一张彩票，可能中奖也有可能不中奖， ∴某人买了一张体育彩票，结果中了奖是随机事件； （2）解：∵， ∴用长分别为的3条线段首尾顺次连接围成一个三角形，是必然事件； （3）解：∵射击比赛有很多不确定的因素， ∴射击运动员连续射击10次，每次都命中10环，是随机事件． 【变式1-2】事件A：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，事件B：连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上则（    ） A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件 【答案】D 【详解】解：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，是随机事件， 连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上，是随机事件， 所以事件和事件都是随机事件， 故选：D． 【变式1-3】下列事件中属于随机事件的是（    ） A．关于的方程有实数解 B．一元二次方程有两个不相等的实数根 C．点（m为实数）落在直线上 D．直线与直线相交 【答案】C 【详解】解：A. 关于的方程没有实数解，故选项A是不可能事件，不符合题意； B. 一元二次方程的判别式，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，是必然事件，不符合题意； C. 当时，点（m为实数）落在直线上，是随机事件，故符合题意； D. 直线与直线相交，是必然事件，不符合题意； 故选：C 类型二、频率估计概率 【例3】九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 【答案】B 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 【例4】在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； 【答案】(1)0.6025 (2)0.6 (3)20 【详解】（1）解：； 故答案为：0.6025； （2）解：根据表格可得，当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （3）解：估计袋子中有白球（个）； 故答案为：20； 【变式2-1】一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．估计其中黑球有（   ） A．14个 B．3个 C．6个 D．12个 【答案】C 【详解】解：经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计摸到黑球的概率为，估计其中黑球的个数为个． 故选C． 【变式2-2】如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 【答案】 【详解】解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 【变式2-3】数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、6个白球、7个蓝球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 【答案】A 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有： （个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， ∴该种球的颜色最有可能是黑球， 故选：A． 类型三、概率公式 【例5】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？ 【答案】(1) (2)2个 【详解】（1）解：因为红球4个，白球6个，黑球5个， 所以盒子中球的总数为：（个）， 所以任意摸出一个球是黑球的概率为． （2）解：因为要使摸到红球和白球的概率相等， 所以要使红球的个数等于白球的个数， 因为红球4个，白球6个，白球的个数不变， 所以红球需要增加（个）． 【例6】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)盒子中球的总个数为_______； (2)任意摸出一个球是红球的概率是_______；任意摸出一个球是黑球的概率是______； (3)从盒子中取出一定数量的白球后，任意摸出一个球是白球的概率为，求取出的白球数量． 【答案】(1)15； (2)； (3)取出了3个白球． 【详解】（1）解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴， 故盒子中球的总个数为：15； （2）解：任意摸出一个球是红球的概率为：； 盒子中黑球的个数为：； 任意摸出一个球是黑球的概率为：； 故答案为：；； （3）解：设取出白球x个，由题意得， 解得 答：取出了3个白球. 【变式3-1】某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满一定金额，就能获得一次摸球的机会．游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个，从该盒子中摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖． (1)求顾客在一次游戏中获得一等奖的概率； (2)商场准备将获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里添加哪些颜色的球？各颜色的球至少应添加多少个？说明理由． 【答案】(1) (2)最少添加1个黄球，1个白球 【详解】（1）解：由题意知，共有8种等可能的结果，其中摸到红球的结果有1种 ∴（获得一等奖）； （2）解：最少添加1个黄球，1个白球，理由如下： ∵将获得二等奖的概率提高到， ∴至少添加2个球，且其中1个是黄球， ∵同时适当降低获得一等奖的概率， ∴添加的另一个球是白球， ∴最少添加1个黄球，1个白球． 【变式3-2】乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求和的值． 【答案】(1)随机 (2) (3)， 【详解】（1）解：事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”有可能发生，也有可能不发生，所以该事件为随机事件； 故答案为：随机． （2）解：由表格数据可知，含有黄色乒乓球的盒数有盒，乒乓球总共有20盒， 从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率为； （3）解：从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为， ， 解得， ． 【变式3-3】在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近_______（精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为_______； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（2）条件下如果要使摸到黑球的概率为，需要往盒子里再放入多少个黑球？ 【答案】(1)，； (2)估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； (3)需要往盒子里再放入个黑球． 【详解】（1）解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 故答案为：，； （2）解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）解：设需要往盒子里再放入个黑球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个黑球． 类型四、几何概型 【例7】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故选：D． 【例8】七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成方形，若在正方形区域内随意取一点则该点取到阴影部分的概率为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，阴影区域是一个正方形， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的对角线长为，面积为， ∴阴影部分的边长为， ∴， ∴P（该点取到阴影部分）． 故答案为：． 【变式4-1】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故答案为：． 【变式4-2】如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形面积， 三角形的面积 ， 则落在内部的概率是． 故选：C． 【变式4-3】设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设最小的圆的半径为1，则从里到外，圆的半径依次为， ∴他射中8环的概率是； 故选B． 类型五、列表法或树状图 【例9】河南是中华人民和中华民族文明的重要发源地，其历史文化博大精深．为了更深入的了解河南历史文化，小明和小亮准备在“五一”期间去河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆中的一处景区进行学习，则小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆分别用A、B、C表示， 列表如下： 小明         小亮 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的结果数为1种， ∴小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是， 故答案为：D． 【例10】2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． (1)甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； (2)用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果， ∴甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：． （2）解：将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为，画出树状图如下： 由图可知，甲、乙、丙三人选择一部观看共有8种等可能的结果，其中，甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果有2种， 则甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是， 答：甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是． 【变式5-1】在学习过溶液的酸碱性后，小明和小莉想用紫色石蕊溶液作为酸碱指示剂，来辨别4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红．遇碱性溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将紫色石蕊溶液滴入自己面前的任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是_____； (2)小莉随机从四个装有不同溶液的烧杯中取出两个，滴入紫色石蕊溶液，用画树状图或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：小明和小莉两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液呈现蓝色， 小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是， 故答案为：； （2）把分别倒入蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液的4个烧杯分别记为、、、，列表如下： 由表知，共有12种等可能的结果，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液（C）呈现蓝色，白醋溶液（B）、柠檬水溶液（D）呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果， 一杯变红、一杯变蓝的概率为． 【变式5-2】某市奥体中心有标号为①、②、③、④四个出入口．周日上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择一个出入口，开展志愿服务活动， (1)甲在③号出入口开展志愿服务的概率为_______； (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵有标识为①、②、③、④的四个出入口， ∴甲在③号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 【变式5-3】2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“意”的结果有1种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“意”的概率为． （2）解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“巳”和“如”的结果有2种， ∴摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 类型六、游戏的公平性 【例11】在庙会上，佳佳和琪琪看到这样一个游戏．商家准备一枚硬币，每局游戏参与者投硬币3次，每局报名费30元．如果3次全部正面朝上，则参与者得50元奖品；如果2次正面朝上，1次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果1次正面朝上，2次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果3次全部反面朝上，则参与者得50元奖品．佳佳说，投3次硬币，共4种可能，全正，二正一反，一正二反，全反．其中全正全反占两种，正好是所有情况的一半，得的奖品价值却比另两种情况多，这种游戏挺划算．琪琪却说，首先，这种游戏就是赌博根本就不能玩．其次，这种游戏肯定是不划算的．请你用数学知识解释这种游戏到底划算不划算． 【答案】不划算，理由见解析 【详解】解：由题意知，三次投硬币共有8种等可能的结果，分别是：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反， 其中：“全正”的情况有1种，概率为； “全反”的情况有1种，概率为； “一正二反”的情况有3种，概率为； “二正一反”的情况有3种，概率为； 参与者平均每次的期望收益为：（元）， 扣除报名费30元，亏损（元）， 所以这种游戏肯定是不划算的． 【例12】只有一张电影票，小明和小刚想通过摸球游戏来决定谁去看电影．现将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球都是红球”是_____（填“随机”“不可能”或“必然”）事件． (2)现规定游戏方案：摸出的2个球，若颜色相同，则小明去看电影；若颜色不同，则小刚去看电影．这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)随机 (2)不公平．理由见解析 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球， ∴摸出的2个球都是红球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：不公平．理由如下： 列表如下：      球1 球2 红1 红2 绿 红1 （红2，红1） （绿，红1） 红2 （红1，红2） （绿，红2） 绿 （红1，绿） （红2，绿） ∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种． ∴P（摸出的2个球颜色相同）， P（摸出的2个球颜色不同）． 故该游戏方案对双方不公平． 【变式6-1】小明和小亮设计了如下游戏方案：如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1，3，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．分别转动转盘两次，转盘自由停止后，若指针所指扇形的数字之和大于7，则小明获胜；若数字之和小于7，则小亮获胜．用树状图或表格法表示游戏所有可能出现的结果，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏对双方不公平，理由见详解 【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中指针所指区域的数字之和大于7的结果有3种，数字之和小于7的结果有4种， ∴小明获胜的概率，小亮获胜的概率， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【变式6-2】垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，3，4，5的6张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比3大的卡片，小明去；否则，小亮去，你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【详解】解：∵从张卡片中任取一张，每张卡片被抽到的可能性是相等的， ∴所有可能的抽取结果有种． ∵抽到所印数字比大的卡片，小明去．在这张卡片中，数字比大的卡片有和，共张． ∴小明去的概率 抽到所印数字不大于的卡片，小亮去．在这张卡片中，数字不大于的卡片有、、、，共张． 小亮去的概率： ∵， ∴这个规则不公平． 【变式6-3】如图，在一块三角形面板上，分别为的中点，小宇随意向三角形面板内部掷飞镖（假如每次都能掷在三角形的区域内）． (1)求掷中三角形区域的概率； (2)小恒与小宇比赛，规定如下：若小宇掷中三角形区域，则小宇获胜；若小恒掷中阴影区域，则小恒获胜．这个规则公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【详解】（1）解：∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴掷中三角形区域的概率为； （2）解：公平，理由如下： ∵分别为的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴，, ∴， 即， ∴掷中阴影区域的概率， ∵掷中三角形区域的概率与掷中阴影区域的概率相等， ∴这个规则公平． 类型七、综合应用 【例13】小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 【例14】甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 【变式7-1】一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【答案】（1）；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析 【详解】解: （1）列树状图如下: 共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个， 所以小新顺利通过第一关的概率为 （2）建议小明在第二题使用“求助卡”， 若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下: 此时小新顺利通过第一关的概率为 因为， 所以建议小新在第二题使用“求助卡” 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【变式7-2】在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 【变式7-3】如图，两个转盘A、B都被分成3个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形）． (1)用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果． (2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数和频率如下表： 转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150 “和为7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 请你根据上表数据，估计“和为7”的概率是多少？ (3)根据（1）（2），若，试求出x和y的值． 【答案】(1)见解析； (2)0.33； (3)x=1，y=6 【详解】（1）解：列表为： （2）解：由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近， 故出现“和为7”的概率为0.33． （3）解：“和为7”的概率为0.33，表中共九种情况， “和为7”的情况有9×0.33≈3种， 由于2、5；3、4；之和为7， 所以x、5；x、4；x、y；2、y；3、y中有一组“和为7”即可． 又由于0＜x＜y，所以 ①x+5=7，x=2，y=3，6，7，8，9 ②x+4=7，x=3，y=6，7，8，9 ③x+y=7，x=1，y=6； ④2+y=7，y=5，x=4，1； ⑤3+y=7，y=4，x=1． 由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立， 故x=1，y=6． 【点睛】本题考查了列表法、利用频率估计概率等知识，掌握列表法、频率与概率的关系及用频率估计出事件的个数是解题的关键． 一、单选题 1．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠分别为，可列表为： 由列表可得总共有种等可能得结果，其中恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠有2种， ∴恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率为：， 故选：B． 2．有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、摸出红球的概率为； B、摸出红球的概率为； C、摸出红球的概率为； D、摸出红球的概率为； ∵， ∴A选项摸出红球可能性最大， 故选：A； 3．两人玩一个有趣的拿球游戏，现有一堆球，两人轮流从中拿球，每人每次只能拿1个或者2个球，谁拿到最后一个球谁就获胜．已知这堆球的数量m是在4到2025（包括4和2025）这些整数中随机选取一个数，则先取球的人有必胜策略的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：总球数m的范围是，共个数． 找出其中3的倍数的个数：个， 非3倍数的个数为， 先取球的人有必胜策略的概率是． 故选C． 4．大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 【答案】C 【详解】解：依题得，共有七种抽签结果：填空题、题、题、题、题、题、轮空， 张老师抽中轮空票的概率为，选项错误； 夏老师抽中批阅题的概率为，选项错误； 刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，求王老师批阅题，常老师轮空的概率， 即在王老师批阅题的前提下，常老师轮空，概率应计算为，选项正确； 已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，还剩下五种抽签结果， 则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为，选项错误 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是列举随机实验的所有可能结果、根据概率公式计算概率，解题关键是理清所有等可能的抽签结果． 5．氧化还原反应是化学学科的核心内容之一，对推动科技进步具有重要意义．氧化还原反应分为氧化反应和还原反应，这两种反应同时进行，通常一种物质化合价升高代表其发生了氧化反应，化合价降低代表其发生了还原反应．从以下四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是（   ） 反应一：    反应二： 反应三：        反应四： A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：反应一中元素的化合价降低了， 反应一中元素发生了还原反应， 反应二中元素的化合价有升高的也有降低的， 反应二中元素既有氧化反应又有还原反应， 反应三中元素的化合价升高了， 反应三中元素发生了氧化反应， 反应四中元素的化合价升高了， 反应四中元素发生了氧化反应， 反应三和反应四中的元素只发生的氧化反应， 画树状图如下： 从树状图中可以看出共有中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有种， 从四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是． 故选：D ． 6．从这七个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程有实数解，且关于y的分式方程有正整数解，则抽到的数a恰好符合条件的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数解， ， 解得：． 解分式方程得， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴为正整数，且不等于1． ∴这七个数中，满足以上条件的的值有：0，2， ∴抽到的数恰好符合条件的概率是． 故选：D． 二、填空题 7．一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是 ． 【答案】 【详解】解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：， 故答案为：． 8．如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是 ． 【答案】 【详解】解：设其中，直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∵该直线与反比例函数的图象有两个交点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的个数有和两条， ∴该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是． 故答案为：． 9．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为 ，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为 【答案】 16 62 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖，魔方获得卓越奖得积分为12分 ∴魔方获得优秀奖的积分最高为11分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为62分． 故答案为：16，62． 三、解答题 10．某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅图像用于模型学习后的评估测试． 下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下： 学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13 学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905 学习后评估测试的正确率 0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800 (1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保留小数点后三位）； ②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率； ③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被正确识别． 【答案】(1)见解析 (2)①0.100；②6；③80 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①由图象可得：差值约为， 故答案为：0.100； ②由图象可得，至少经过6次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率， 故答案为：6； ③由图象可得，， ∴当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计100幅能被正确识别， 故答案为：80． 11．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 【答案】（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小．因为分所在的圆环面积最大，分所在的圆面积最小．（2）见解析 【详解】解：（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小，理由如下： 由小到大三个圆半径的比是， 设三个圆的半径分别为、、， 分区的面积为， 分区的面积为：， 分区的面积为：， ， 得分的可能性最大，得分的可能性最小； （2）如图即为所求． 12．2025年1月，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》的通知，将实验等探究实践纳入评价体系．某校根据实际情况组织了一次理化实验操作测试，分为物理组和化学组，每场测试每组各有12名学生，每名学生随机抽取1道试题进行测试，满分10分，成绩均为整数，下面是根据某场测试成绩绘制的不完整的统计图表： 组别 平均分 方差 中位数 物理组 2.08 7 化学组 8.25 1.52 请解答下列问题： (1)___________，___________ (2)你认为哪一组学生的成绩较好？请说明理由． (3)该场测试结束后，老师准备从四名得满分的学生中随机抽取两名分享实验操作经验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的概率． 【答案】(1)7.5，8.5 (2)化学组学生的成绩较好．理由见解析 (3) 【详解】（1）分； ∵化学组成绩从小到大排，排在第6和第7位的分别是8和9， ∴． 故答案为：7.5，8.5； （2）化学组学生的成绩较好．理由：答案不唯一，写出下列一点即可：化学组学生的高分人数多；化学组学生的平均分高于物理组；化学组学生成绩的方差比物理组小，即成绩更稳定，所以化学组学生的成绩较好． （3）记物理组的两名学生为物1、物2，化学组的两名学生为化1、化2．列表如下： 物1 物2 化1， 化． 物1 - （物1，物2） （物1，化1） （物1，化2） 物2 （物2，物） - （物2，化1） （物2，化2） 化1 （化1，物1） （化1，物2） - （化1，化2） 化2 （化2，物1） （化2，物2） （化2，化1） - 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的结果有8种， 所以（恰好抽到一名物理组和一名化学组学生）． 13．有四张卡片，正面分别写有．四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同（如图）． (1)将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ． (2)请将卡片上写的代数式化简； (3)用（2）中化简后的代数式减去卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：共4种等可能结果，其中符合题意的有2种， ∴将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：； （3）解：由题意可知：， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴． 28 / 35学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 概率初步 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、事件类 2 类型二、频率估计概率 2 类型三、概率公式 4 类型四、几何概型 6 类型五、列表法或树状图 10 类型六、游戏的公平性 13 类型七、综合应用 16 压轴能力测评 20 知识点1事件类型 1.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 2.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 3.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即(必然事件)； ②不可能事件发生的概率为0,即（不可能事件）； ③如果为不确定事件，那么 知识点2概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率. （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值. 2.概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1; （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个; （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等; （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0; （5）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 3.求概率方法： 列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用.等可能性事件的概率可以用列举法而求得. 知识点3频率与概率 1.频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数. 2.频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率. 3.一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么，这个常数就叫作事件的概率，记为. 类型一、事件类型 【例1】下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．若a是实数，则 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．两数相加，和是正数 D．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 【例2】下列事件中是确定事件的是 （填序号）： ①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数； ②对于实数、，有； ③车辆随机经过一个路口，遇到红灯； ④14人中至少有2人在同一个月过生日． 【变式1-1】判断下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？请说明理由． (1)某人买了一张体育彩票，结果中了奖； (2)用长分别为的3条线段首尾顺次连接围成一个三角形； (3)射击运动员连续射击10次，每次都命中10环． 【变式1-2】事件A：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，事件B：连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上则（    ） A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件 【变式1-3】下列事件中属于随机事件的是（    ） A．关于的方程有实数解 B．一元二次方程有两个不相等的实数根 C．点（m为实数）落在直线上 D．直线与直线相交 类型二、频率估计概率 【例3】九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 【例4】在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； 【变式2-1】一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．估计其中黑球有（   ） A．14个 B．3个 C．6个 D．12个 【变式2-2】如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 【变式2-3】数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、6个白球、7个蓝球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 类型三、概率公式 【例5】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)要使摸到红球和白球的概率相等，白球的个数不变，红球需要增加几个？ 【例6】在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)盒子中球的总个数为_______； (2)任意摸出一个球是红球的概率是_______；任意摸出一个球是黑球的概率是______； (3)从盒子中取出一定数量的白球后，任意摸出一个球是白球的概率为，求取出的白球数量． 【变式3-1】某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满一定金额，就能获得一次摸球的机会．游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个，从该盒子中摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖． (1)求顾客在一次游戏中获得一等奖的概率； (2)商场准备将获得二等奖的概率提高到，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里添加哪些颜色的球？各颜色的球至少应添加多少个？说明理由． 【变式3-2】乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求和的值． 【变式3-3】在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． (1)请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近_______（精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为_______； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（2）条件下如果要使摸到黑球的概率为，需要往盒子里再放入多少个黑球？ 类型四、几何概型 【例7】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ）． A． B． C． D． 【例8】七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成方形，若在正方形区域内随意取一点则该点取到阴影部分的概率为 ． 【变式4-1】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ． 【变式4-2】如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 类型五、列表法或树状图 【例9】河南是中华人民和中华民族文明的重要发源地，其历史文化博大精深．为了更深入的了解河南历史文化，小明和小亮准备在“五一”期间去河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆中的一处景区进行学习，则小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是（   ） A． B． C． D． 【例10】2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． (1)甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； (2)用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 【变式5-1】在学习过溶液的酸碱性后，小明和小莉想用紫色石蕊溶液作为酸碱指示剂，来辨别4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红．遇碱性溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将紫色石蕊溶液滴入自己面前的任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是_____； (2)小莉随机从四个装有不同溶液的烧杯中取出两个，滴入紫色石蕊溶液，用画树状图或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【变式5-2】某市奥体中心有标号为①、②、③、④四个出入口．周日上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择一个出入口，开展志愿服务活动， (1)甲在③号出入口开展志愿服务的概率为_______； (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【变式5-3】2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 类型六、游戏的公平性 【例11】在庙会上，佳佳和琪琪看到这样一个游戏．商家准备一枚硬币，每局游戏参与者投硬币3次，每局报名费30元．如果3次全部正面朝上，则参与者得50元奖品；如果2次正面朝上，1次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果1次正面朝上，2次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果3次全部反面朝上，则参与者得50元奖品．佳佳说，投3次硬币，共4种可能，全正，二正一反，一正二反，全反．其中全正全反占两种，正好是所有情况的一半，得的奖品价值却比另两种情况多，这种游戏挺划算．琪琪却说，首先，这种游戏就是赌博根本就不能玩．其次，这种游戏肯定是不划算的．请你用数学知识解释这种游戏到底划算不划算． 【例12】只有一张电影票，小明和小刚想通过摸球游戏来决定谁去看电影．现将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球都是红球”是_____（填“随机”“不可能”或“必然”）事件． (2)现规定游戏方案：摸出的2个球，若颜色相同，则小明去看电影；若颜色不同，则小刚去看电影．这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由． 【变式6-1】小明和小亮设计了如下游戏方案：如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1，3，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．分别转动转盘两次，转盘自由停止后，若指针所指扇形的数字之和大于7，则小明获胜；若数字之和小于7，则小亮获胜．用树状图或表格法表示游戏所有可能出现的结果，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【变式6-2】垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，3，4，5的6张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比3大的卡片，小明去；否则，小亮去，你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【变式6-3】如图，在一块三角形面板上，分别为的中点，小宇随意向三角形面板内部掷飞镖（假如每次都能掷在三角形的区域内）． (1)求掷中三角形区域的概率； (2)小恒与小宇比赛，规定如下：若小宇掷中三角形区域，则小宇获胜；若小恒掷中阴影区域，则小恒获胜．这个规则公平吗？为什么？ 类型七、综合应用 【例13】小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【例14】甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【变式7-1】一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【变式7-2】在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【变式7-3】如图，两个转盘A、B都被分成3个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形）． (1)用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果． (2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数和频率如下表： 转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150 “和为7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 请你根据上表数据，估计“和为7”的概率是多少？ (3)根据（1）（2），若，试求出x和y的值． 一、单选题 1．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（   ） A． B． C． D． 2．有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A． B． C． D． 3．两人玩一个有趣的拿球游戏，现有一堆球，两人轮流从中拿球，每人每次只能拿1个或者2个球，谁拿到最后一个球谁就获胜．已知这堆球的数量m是在4到2025（包括4和2025）这些整数中随机选取一个数，则先取球的人有必胜策略的概率是（　　） A． B． C． D． 4．大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 5．氧化还原反应是化学学科的核心内容之一，对推动科技进步具有重要意义．氧化还原反应分为氧化反应和还原反应，这两种反应同时进行，通常一种物质化合价升高代表其发生了氧化反应，化合价降低代表其发生了还原反应．从以下四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是（   ） 反应一：    反应二： 反应三：        反应四： A． B． C． D． 6．从这七个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程有实数解，且关于y的分式方程有正整数解，则抽到的数a恰好符合条件的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是 ． 8．如图，在轴上取点，在轴上取点，，，，，，现从这6条直线中任取一条，则该直线与反比例函数的图象有两个交点的概率是 ． 9．某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为 ，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为 三、解答题 10．某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅图像用于模型学习后的评估测试． 下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下： 学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13 学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905 学习后评估测试的正确率 0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800 (1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保留小数点后三位）； ②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率； ③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被正确识别． 11．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 12．2025年1月，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》的通知，将实验等探究实践纳入评价体系．某校根据实际情况组织了一次理化实验操作测试，分为物理组和化学组，每场测试每组各有12名学生，每名学生随机抽取1道试题进行测试，满分10分，成绩均为整数，下面是根据某场测试成绩绘制的不完整的统计图表： 组别 平均分 方差 中位数 物理组 2.08 7 化学组 8.25 1.52 请解答下列问题： (1)___________，___________ (2)你认为哪一组学生的成绩较好？请说明理由． (3)该场测试结束后，老师准备从四名得满分的学生中随机抽取两名分享实验操作经验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的概率． 13．有四张卡片，正面分别写有．四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同（如图）． (1)将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ． (2)请将卡片上写的代数式化简； (3)用（2）中化简后的代数式减去卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时的值． 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$