专题03 三角形（考题猜想，15大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题03 三角形（考题猜想，15大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 构成三角形的条件 · 题型二 确定第三边的取值范围 · 题型三 三角形三边关系的应用 · 题型四 画三角形的高 · 题型五 根据三角形中线求面积 · 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题 · 题型七 三角形折叠中的角度问题 · 题型八 三角形内角和定理的应用（重点） · 题型九 全等三角形的性质（重点） · 题型十 全等的性质和SAS综合（SAS）（重点） · 题型十一 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）（高频） · 题型十二 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）（高频） · 题型十三 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） · 题型十四 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）（高频） · 题型十五 全等三角形综合问题（难点） 题型一 构成三角形的条件 1．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2， D．10，5，5 2．（21-22七年级下·上海·期末）下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二 确定第三边的取值范围 3．（23-24七年级下·上海闵行·期末）在中， 如果的长为素数， 那么的长是 ． 4．（20-21七年级下·上海·期末）如果三角形的三条边长分别为，那么x的取值范围是 ． 5．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ． 题型三 三角形三边关系的应用 6.（22-23七年级下·上海长宁·期末）已知三角形的两条边长分别为3和4，那么该三角形的第三条边长可能是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 7.（20-21七年级下·上海·期末）有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为 ． 题型四 画三角形的高 8.（22-23七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题：    (1)画边上的高，过点画直线，交于点；（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，，，求直线与间的距离． 9．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 10．（20-21七年级下·上海普陀·期末）如图，已知中，，根据下列要求画图并回答问题 (1)画边上的高，过点A画直线．（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，点B到直线的距离是3，点C到直线的距离是4，那么直线与间的距离等于____________．（用含a的代数式表示） 题型五 根据三角形中线求面积 11.（23-24七年级上·上海·期末）已知：如图，直径的长为的半圆的中点C，连接．如果点D是的中点，连接，那么阴影部分的面积为 ．（结果保留） 12.（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题 13.（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 14.（21-22七年级下·上海徐汇·期末）如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝ ． 15.（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，CD平分∠ACB交AB于点D，求∠CDB的度数． 题型七 三角形折叠中的角度问题 16．（20-21七年级下·上海徐汇·期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，，则的度数为 ． 17.（20-21七年级下·上海·期末）如图，在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点B落在点E处，如果，那么等于 度． 题型八 三角形内角和定理的应用 18.（20-21七年级下·上海奉贤·期末）已知、、是的三个内角，下列条件不能确定是直角三角形的是（      ） A．， B． C． D． 19.（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，已知，，那么 ． 20.（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知，且度数均为整数，若，求：的度数． 题型九 全等三角形的性质 21.（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 22.（20-21七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）． (2)当时，求的值． (3)若，求所有满足条件的值． 题型十 全等的性质和SAS综合（SAS） 23.（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 24．（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是边AB上的一点，AE＝AC，F是边AC上的一点，联结DE、CE、FE，当EC平分∠DEF时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由． 解：EF、BC的位置关系是　 　． 说理如下： 因为AD是∠BAC的角平分线（已知） 所以∠1＝∠2 在△AED和△ACD中，　 　 所以△AED≌△ACD（SAS）． 得　 　（全等三角形的对应边相等）． （完成以下说理过程） 25.（22-23七年级下·上海虹口·期末）（1）如图①，四边形，与互补，，点E、F在线段、上且，若，求：的度数； （2）如图②，若点E、F在线段、的延长线上，其余条件均不变，求：的度数．    题型十一 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 26.（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．      27．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）阅读理解题： 直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？ 两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 已知：在和，，， 求：， 证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到 因为（已知） 所以（等边对等角） 在和中（完成以下说理的过程） 所以（            ） 能否模仿例题的解题思路，自己画图， 换一种方法证明这两个直角三角形全等？ 题型十二 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 28.（21-22七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知AE∥DF ，求证：． 29．（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？ 30．（情景生活题）（24-25七年级下·上海·期中）公路上、两车站相距5千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米．现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 题型十三 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 31.（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且，，增加下列条件不能推导出的是（    ）    A． B． C． D． 32.（开放题）（20-21七年级下·上海青浦·期末）如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是 ．（只需填一种情况） 题型十四 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 33.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 34.（多结论题）（20-21七年级下·上海徐汇·期末）如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明的是 ．（填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 题型十五 全等三角形综合问题 35.（开放题）（20-21七年级下·上海·期末）如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD    (1)请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是：　 　或　 　； (2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由． 36．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，垂足为，，垂足为，，与相交于点． (1)请说明的理由． (2)如果，试说明平分的理由． 37．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，中，，点是内一点，且．    (1)试说明：； (2)如图，延长交边于点，当满足时； ①求的大小； ②阅读材料：等腰直角三角形斜边的长是直角边长的倍例如图，在等腰直角三角形中，，则． 结合阅读材料，现将沿翻折到，边交于点，若，，请用含的代数式表示的长（直接写出结果） $$专题03 三角形（考题猜想，15大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 构成三角形的条件 · 题型二 确定第三边的取值范围 · 题型三 三角形三边关系的应用 · 题型四 画三角形的高 · 题型五 根据三角形中线求面积 · 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题 · 题型七 三角形折叠中的角度问题 · 题型八 三角形内角和定理的应用（重点） · 题型九 全等三角形的性质（重点） · 题型十 全等的性质和SAS综合（SAS）（重点） · 题型十一 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）（高频） · 题型十二 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）（高频） · 题型十三 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） · 题型十四 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）（高频） · 题型十五 全等三角形综合问题（难点） 题型一 构成三角形的条件 1．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2， D．10，5，5 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系，三角形任意两边的和大于第三边，熟记三边关系是解题的关键． 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析得出答案． 【详解】解：A．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； B．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； C．，所以该三条线段能组成三角形，故该选项不符合题意； D．，所以该三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（21-22七年级下·上海·期末）下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】解：、，则能构成三角形，不符合题意； B、，则能构成三角形，不符合题意； C、，则能构成三角形，不符合题意； D、，则不能构成三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查的知识点是三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中较小的两个数的和是否大于第三个数即可． 题型二 确定第三边的取值范围 3．（23-24七年级下·上海闵行·期末）在中， 如果的长为素数， 那么的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边的关系和素数的概念，先根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边只差小于第三边求出的取值范围，再根据的长是素数得到的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的长是素数， ∴， 故答案为：5． 4．（20-21七年级下·上海·期末）如果三角形的三条边长分别为，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，解不等式组即可求解 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 【点睛】考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围． 5．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ． 【答案】9 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7， 即4＜a＜10， ∵a为整数， ∴a的最大值为9． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件． 题型三 三角形三边关系的应用 6.（22-23七年级下·上海长宁·期末）已知三角形的两条边长分别为3和4，那么该三角形的第三条边长可能是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得，再解不等式即可． 【详解】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理可得：， ， 观察选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，小于两边的和． 7.（20-21七年级下·上海·期末）有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据题意和等腰三角形的性质分类讨论即可； 【详解】如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，，，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，， 则，不可能； 故符合条件的顶角的度数为或． 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键． 题型四 画三角形的高 8.（22-23七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题：    (1)画边上的高，过点画直线，交于点；（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，，，求直线与间的距离． 【答案】(1)见解析． (2) 【分析】（1）根据三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法作图即可． （2）过点作，垂足为；根据两平行线间距离的定义，可知线段的长度即为直线与间的距离；根据，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，根据三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法作图即可．    （2）如图所示，过点作，垂足为．    根据两平行线间距离的定义，可知线段的长度即为直线与间的距离． 根据题意，得 ， 即 ． 解得 ． 所以，直线与间的距离为． 【点睛】本题主要考查三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法、两平行线间的距离，牢记三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法，以及两平行线间距离的定义是解题的关键． 9．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可． （2）根据垂线的定义画出图形即可． （3）根据点到直线的距离，判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求．    （2）如图，线段即为所求． （3）到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型． 10．（20-21七年级下·上海普陀·期末）如图，已知中，，根据下列要求画图并回答问题 (1)画边上的高，过点A画直线．（不要求写画法和结论） (2)在（1）的图形中，如果，点B到直线的距离是3，点C到直线的距离是4，那么直线与间的距离等于____________．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)画图见解析： (2) 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据等面积法求解即可． 【详解】（1）按照题意画图如下图所示： （2）中，即， 又点B到直线的距离是3，即； 点C到直线的距离是4，即 又的面积， 所以， 因为， 所以直线与之间的距离等于 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高，点到直线的距离，等面积法求三角形的高，掌握三角形的高的意义是解题的关键． 题型五 根据三角形中线求面积 11.（23-24七年级上·上海·期末）已知：如图，直径的长为的半圆的中点C，连接．如果点D是的中点，连接，那么阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，列代数式，解题的关键是作出辅助线得出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵C为半圆的中点， ∴， ∴弓形与弓形的面积相等， ∵点D是的中点， ∴的面积与的面积相等， ∴． 故答案为：． 12.（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题 13.（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵∠A=n°， ∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°， ∵BD、CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（180-n）°=90°-n°， ∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°-n°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键． 14.（21-22七年级下·上海徐汇·期末）如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝ ． 【答案】 【分析】由角平分线的定义及三角形的内角和定理可得，进而利用平角定义和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：∵BF平分∠DBC，CF平分∠ECB， ∴∠ECB＝2∠BCF，∠DBC＝2∠CBF， ∵∠F＝60°， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练应用外角和内角的关系． 15.（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，CD平分∠ACB交AB于点D，求∠CDB的度数． 【答案】70° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数，根据角平分线的性质求出∠ACD的度数，再根据三角形的外角性质求得答案． 【详解】解：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，角平分线定理，外角定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键． 题型七 三角形折叠中的角度问题 16．（20-21七年级下·上海徐汇·期末）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】根据三角形的内角和定理得到，进而求出，由折叠的性质得到，，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 17.（20-21七年级下·上海·期末）如图，在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点B落在点E处，如果，那么等于 度． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°求出∠B=∠ACB=70°，由折叠可得∠BDC=∠EDC，由DE∥AC可得∠EDC=∠BCD，在等腰三角形BDC中求出∠BCD的度数，根据角度关系可求∠ACD的度数． 【详解】解：如图， ， 由折叠可知， //， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠问题，涉及到平行线的性质和等腰三角形的性质，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键． 题型八 三角形内角和定理的应用 18.（20-21七年级下·上海奉贤·期末）已知、、是的三个内角，下列条件不能确定是直角三角形的是（      ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∠A=40°，∠B=50°，则∠C=180°-40°-50°=90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意； B、∠A=90°能确定△ABC是直角三角形，不合题意； C、由∠A+∠B=∠C可得，∠A+∠B=90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意； D、由∠A+∠B=2∠C可得，∠C=30°，不能确定∠A和∠B的度数，则不能确定△ABC是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 19.（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，已知，，那么 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟记任意三角形的内角和是是解题关键． 根据三角形内角和为定理进行求解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 20.（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知，且度数均为整数，若，求：的度数． 【答案】或或或． 【分析】设的度数为，的度数为，根据三角形内角和定理，得到，再解不等式，求得，然后分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：设的度数为，的度数为， ， ， ， ， ， 解得：， 度数均为整数， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，， 综上可知，的度数为或或或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解一元一次不等式组，正确解不等式组是解题关键． 题型九 全等三角形的性质 21.（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 先根据全等三角形的性质，得出x和y的值，再根据三角形三边之间是关系，得出该等腰三角形的底边和腰长，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5， ∴， ∵， ∴等腰三角形底边长为3，腰长为7， ∴等腰三角形的周长， 故答案为：17． 22.（20-21七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）． (2)当时，求的值． (3)若，求所有满足条件的值． 【答案】(1)时，，时， (2) (3) 【分析】(1)根据点F从点B出发的速度和图形解答即可； (2)根据题意列出方程，解方程即可； (3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，，． （2）解：由题意知：， 当时，，，(舍去)． 当时，，，． （3）解：当时，， 当时，， 当时，，，． 当时，，，(舍去）． ∴当时，． 【点睛】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 题型十 全等的性质和SAS综合（SAS） 23.（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 24．（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是边AB上的一点，AE＝AC，F是边AC上的一点，联结DE、CE、FE，当EC平分∠DEF时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由． 解：EF、BC的位置关系是　 　． 说理如下： 因为AD是∠BAC的角平分线（已知） 所以∠1＝∠2 在△AED和△ACD中，　 　 所以△AED≌△ACD（SAS）． 得　 　（全等三角形的对应边相等）． （完成以下说理过程） 【答案】EF∥BC；；DE＝DC；说理过程见解析． 【分析】由AD是∠BAC的角平分线，可得∠1=∠2，利用SAS可证出△AED≌△ACD，从而得出DE=DC，所以∠3=∠4．结合EC平分∠DEF，可得出∠3=∠5．利用等量代换得∠4=∠5，即可得出EF∥BC． 【详解】解：EF、BC的位置关系是EF∥BC． 理由如下： 如图， ∵AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1＝∠2． 在△AED和△ACD中， ∴△AED≌△ACD（SAS）． ∴DE＝DC （全等三角形的对应边相等）， ∴∠3＝∠4． ∵EC平分∠DEF（已知）， ∴∠3＝∠5． ∴∠4＝∠5． 所以EF∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：EF∥BC；；DE＝DC；说理过程见解析． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是得出△AED≌△ACD． 25.（22-23七年级下·上海虹口·期末）（1）如图①，四边形，与互补，，点E、F在线段、上且，若，求：的度数； （2）如图②，若点E、F在线段、的延长线上，其余条件均不变，求：的度数．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）延长至点G，是使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而推出，即可求出的度数； （2）延长至点H，使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，延长至点G，是使得，连接，   四边形，与互补，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长至点H，使得，连接，   与互补， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 题型十一 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 26.（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．      【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等 【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ， 判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 27．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）阅读理解题： 直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？ 两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 已知：在和，，， 求：， 证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到 因为（已知） 所以（等边对等角） 在和中（完成以下说理的过程） 所以（            ） 能否模仿例题的解题思路，自己画图， 换一种方法证明这两个直角三角形全等？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定和性质是关键．将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点，先证明，再证明即可． 【详解】解：如图，将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点， 在和中， ， ， ，， ， 在与中， ， ． 题型十二 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 28.（21-22七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知AE∥DF ，求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明得到 再证明从而可得结论． 【详解】证明： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，证明是关键的桥梁． 29．（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？ 【答案】全等，证明见解析 【分析】由∠ABC＝∠ACB，根据角平分线的定义得到，∠DBC＝∠ECB，再利用ASA判定△BDC≌△CEB． 【详解】解：△BDC与△CEB全等，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠ECB， 在△BDC与△CEB中， ， ∴△BDC≌△CEB（ASA）． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 30．（情景生活题）（24-25七年级下·上海·期中）公路上、两车站相距5千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米．现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 【答案】报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由垂线的定义可得，再证明，得出千米，，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴千米，， ∴千米， ∴千米， ∴报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米． 题型十三 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 31.（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且，，增加下列条件不能推导出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】∵， ∴， 即， ∵， ∴， 当时，为，不能判定； 当时，，满足，可以判定； 当时，满足，可以判定 当时，，满足，可以判定， 故选A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和． 32.（开放题）20-21七年级下·上海青浦·期末）如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是 ．（只需填一种情况） 【答案】AB＝AD（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加AE＝AD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， 故答案为AE＝AD（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 题型十四 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 33.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法即可解答. 【详解】解：A．，，增加“”后，类似，不能判定两三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定，故选项A符合题意. B．，，增加“”后，属于用来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项B不符合题意. C．，，增加“”后，属于用来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项C不符合题意. D．，，增加“”后，属于用SSS 来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键是不能用来判定三角形全等. 34.（多结论题）（20-21七年级下·上海徐汇·期末）如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明的是 ．（填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②③ 【分析】只要能确定AB、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】①当，时，结合， 在△ABE和△ACD中，利用“AAS”可证明，则有， 故①能得到； ②当，，结合， 在△BOD和△COE中，利用“AAS”可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②能得到； ③当，时，结合， 可证明，可得， 可得， 故③能得到； ④，时， 根据已知条件无法求得， 故④不能得到， 所以能得到的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 题型十五 全等三角形综合问题 35.（开放题）（20-21七年级下·上海·期末）如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD    (1)请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是：　 　或　 　； (2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由． 【答案】(1)∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形判定条件添加一个满足题意的条件即可； （2）选CE＝DE或者∠A＝∠B均可，利用SAS或AAS证明三角形全等，即可得出结论． 【详解】（1）解：∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE， （2）方法一：选∠A＝∠B 在△FCA和△FDB中， ， ∴△FCA≌△FDB， ∴FC＝FD，FA＝FB， ∴FB﹣FC＝FA﹣FD ，    即BC＝AD， 方法二：选CE＝DE， ∵AC＝BD， 又∵CE＝DE， ∴AC﹣CE＝BD﹣DE，即AE＝BE， 在△BCE和△ADE中， ， ∴△BCE≌△ADE， ∴BC＝AD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，是开放型题目，答案不唯一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 36．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，，垂足为，，垂足为，，与相交于点． (1)请说明的理由． (2)如果，试说明平分的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由余角的性质可证，根据“ASA”可证结论成立； （2）由可得，结合可知，然后根据“SAS”证明△ABD≌△ACD可证结论成立． 【详解】（1）证明：，， ，∠AEB=∠CEB=90°， ，∠EBC+∠C=90°， ， 在与中， ， ． （2）解：由（1）知，， ，， 是的中点， ， 在△ABD和△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD， ∴， 平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 37．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，中，，点是内一点，且．    (1)试说明：； (2)如图，延长交边于点，当满足时； ①求的大小； ②阅读材料：等腰直角三角形斜边的长是直角边长的倍例如图，在等腰直角三角形中，，则． 结合阅读材料，现将沿翻折到，边交于点，若，，请用含的代数式表示的长（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为 【分析】（1）证明≌，得，，而，故； （2）设，可得，，通过建立方程即可求解；过作于，通过翻折可推出，再结合材料所给信息即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ≌， ， ， ， ， ； （2）解：设，则，， ， ， ， ， 解得， ； 过作于，如图：    由可得，， 将沿翻折到， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ； 的长为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握翻折的性质． $$