专题03 三角形（考点清单，7考点梳理+16题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题03 三角形（考点清单，7考点梳理+16题型解读） 清单01 三角形有关概念 (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (2)三角形的基本元素：顶点、边、内角、外角； 三角形两边的公共点叫顶点；组成三角形的三条线段叫三角形的边；在三角形中，每两条相邻边所组成的角，叫三角形的内角；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫三角形的外角. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段 清单02 三角形基本元素的定理 (1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. (2)三角形的内角和等于. (3)三角形的外角和等于. (4)三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 清单03 三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 清单04 全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 清单05 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 清单06 画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 清单07 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 【考点题型一】构成三角形的条件（） 【例1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是 (    ) A．3cm， 4cm， 5cm B．1cm， 3cm， 4cm C．6cm， 8cm， 10cm D．3cm， 3cm， 3cm 【答案】B 【分析】本题考查构成三角形三边关系．根据题意利用“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵A选项， ∴可以构成三角形， ∵B选项， ∴不可以构成三角形， ∵C选项， ∴可以构成三角形， ∵D选项， ∴可以构成三角形， 故选：B． 【考点题型二】三角形三边关系的应用（） 【例2】（22-23七年级下·上海普陀·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，进而得到三角形的周长的范围，判断即可． 【详解】解：∵三角形的两边长为2和5， ∴第三边x的长度范围是，即， ∴这个三角形的周长a范围是，即，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【变式2-1】（22-23七年级下·上海徐汇·期末）已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形的第三边为， 根据题意可得：， ， 可以作为此三角形第三边长的是：4， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键． 【变式2-2】（21-22七年级下·上海徐汇·期末）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个． 【答案】/十二 【分析】三角形的边长互不相等且均为正整数，周长等于30，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：设三角形三边长为 且由于得到 为整数， c 为：11，12，13，14， ①当 c 为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10 6；14，9，7； ②当 c 为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9 8； ③当 c 为12时，有2个三角形，分别是12，11，7；12，10，8； ④当 c 为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9； 所以各边互不相等且都是整数的三角形有12个． 故答案为：12． 【点睛】本题利用了三角形中三边的关系求解，注意不要漏掉哪一种情况． 【考点题型三】与三角形的高有关的计算问题（） 【例3】（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积和三角形的高，过点作于点，根据三角形的面积公式得出，再根据可得结论．掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵的面积为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 【变式3-1】（22-23七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段 ．    【答案】 【分析】根据即可求出的值． 【详解】解：在中，，，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，熟知直角三角形的面积公式是解答此题的关键． 【变式3-2】（21-22七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是 ． 【答案】 【分析】可连接，由图得，，代入数值，解答出即可． 【详解】解：连接， 由图可得，， 于，于，，的面积为， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 【考点题型四】三角形角平分线的定义（） 【例4】（22-23七年级下·上海静安·期末）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线交于同一点 C．三角形的三条角平分线交于同一点 D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三条重要线段．根据中线，角平分线，高线的定义和性质，进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，选项正确； B、三角形的三条中线交于同一点，选项正确； C、三角形的三条角平分线交于同一点，选项正确； D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，选项错误； 故选：D． 【变式4-1】（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 【答案】(1)30º；60º (2)相等，理由见解析 【分析】(1)利用角平分线的定义求得，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∠2，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数． (2)根据S△ADE＝S梯形EFDG可得AD=DF+EG，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵∠BAC＝60º，AD平分∠BAC， ∴， 又∵EF⊥AD， ∴， ∵EG∥AD， ∴． （2）相等．　理由如下： ∵EF⊥AD， ∴S△ADE=，S梯形EFDG= ∵S△ADE= S梯形EFDG ∴= ∴AD=DF+EG， ∵AD=AF+DF， ∴DF+EG =AF+DF， 即AF=EG． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 【考点题型五】三角形内角和定理的证明（） 【例5】（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图，，则 ． 【答案】100°/100度 【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴ 故答案为：100°． 【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键． 【变式5-1】（20-21七年级下·上海静安·期中）回答下列问题． (1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：    解：过顶点A作， ，（所作） ，．（____） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（____） ．（____） (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”    【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据过程填写依据即可； （2）延长，过作，可证，，由，即可得证． 【详解】（1）解：过顶点A作， ，（所作） ，．（两直线平行，内错角相等．） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（平角的定义） ．（等量代换） （2）解：如图，延长，过作，   ，， 、、在同一条直线上， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，平行线的性质，掌握性质及证明方法是解题的关键． 【考点题型六】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 【例6】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，分别是的内角，的平分线，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理求出，由角平分线的定义可得，，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别是的内角，的平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（20-21七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，，、分别是、的平分线，且交于点F，求的度数．    【答案】 【分析】设，，求出，再利用即可求解． 【详解】解：、分别是和的平分线， 设，； 又， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和等知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 【考点题型七】三角形内角和定理的应用（） 【例7】（24-25七年级下·上海·期中）满足下列条件的中，不可能是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理逐项分析即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，， ∴，，，故是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴，，故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，，故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【变式7-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，，，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及三角形的分类，熟记钝角三角形的概念是解题的关键． 利用三角形的内角和定理求得的度数即可判断． 【详解】∵在中，，， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【变式7-2】（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知点E是的边的延长线上的一点，当，平分，平分时，试判断线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，求出，即得结论． 【详解】，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 【考点题型八】直角三角形的两个锐角互余（） 【例8】（21-22七年级下·上海·期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（　　） A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n° 【答案】D 【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BDC＝90，再根据三角形内角和定理得∠ABD＝180﹣∠ADB﹣∠A＝90﹣n，然后根据三角形的外角性质有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，计算即可得到∠BOC的度数． 【详解】解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高， ∴∠ADB＝∠BDC＝90， 又∵∠BAC＝n， ∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180﹣90﹣n＝90﹣n， ∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n+90°＝180﹣n． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质,垂直的定义以及三角形内角和定理,掌握以上性质定理是解答本题的关键. 【变式8-1】（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，如果，那么 °．      【答案】50 【分析】根据，，求出，根据，求出． 【详解】解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键在于根据高线定义推出和． 【变式8-2】（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．试说明EFCD的理由．（请注明理由） 【答案】见解析 【分析】先根据∠ACB＝90°得出∠ACD+∠BCD＝90°，再根据CD⊥AB可知∠B+∠BCD＝90°，进而可得出∠B＝∠ACD，由∠AFE＝∠B，可知∠AFE＝∠ACD，进而可得出结论． 【详解】解：∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝90°（垂直定义）， ∴∠B+∠BCD＝180°-90°=90°（三角形的内角和）， ∴∠B＝∠ACD（同角的余角相等）， ∵∠AFE＝∠B（已知）， ∴∠AFE＝∠ACD（等量代换）， ∴EFCD（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及平行线的判定定理，解题的关键是根据题意得出∠AFE＝∠ACD． 【考点题型九】三角形的外角的定义及性质（） 【例9】（23-24七年级下·上海宝山·期末）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，依据三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角． 【详解】∵三角形的一个外角与它相邻的内角和为，而这个外角小于它相邻的内角， ∴与它相邻的这个内角为钝角，这个外角为锐角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 【变式9-1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知三角形纸片中，，，点点分别在边，边上，将沿翻折，使点落在外的点处．若，则 【答案】/116度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，则由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质求出的度数，则可求出的度数． 【详解】解；∵，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了余角与补角． （1）利用平分得到，接着在中，利用三角形内角和定理计算出，根据三角形内角和定理计算出，然后利用三角形外角性质可计算出的度数； （2）先求出，，从而，可得，结合求出，进而可求出的大小． 【详解】（1）平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于） 又（已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于） 又（已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） （2）（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知） ∴， ∵（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），， ∴（等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 【考点题型十】全等三角形的性质（） 【例10】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键．根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 由题意可得，， 又∵ ∴ 故答案为； 【变式10-1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，如果，，那么 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，再证明，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 【考点题型十一】用SAS证明三角形全等（SAS）（） 【例11】（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，能直接判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出两个三角形中已知相等的对应边和对应角，然后根据判定方法即可判断． 【详解】解：在和中，， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式11-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上．现有以下四个条件：①；②；③；④．请以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，写出两个真命题，并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先写出两个真命题，再利用全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质证明即可得解． 【详解】解：条件：②③④，证明①； 证明如下：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 条件：①②④，证明③； 证明如下：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 【考点题型十二】全等的性质和SAS综合（SAS）（） 【例12】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，．    (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据，可得，再利用证得； （2）根据三角形外角的性质可得，再由，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【变式12-1】（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下说理过程：）    解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为，（平角的意义）， 所以_________（__________）， 因为（已知）， 所以（等式性质），即________． 【答案】；等角的补角相等； 【分析】先证．再证，然后证，得，即可得出结论． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，（平角的意义）， ∴（等角的补角相等）， ∵（已知）， ∴（等式性质）， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的补角相等；． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【考点题型十三】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）（） 【例13】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 【答案】证明见解析． 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据平行线的性质得出，，根据即可证明≌． 【详解】证明：是中边上的中线， ， ， ，． 在与中， ， ≌． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．也考查了三角形的中线以及平行线的性质． 【变式13-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以 ( ) 因为点是边的中点， 所以 在和中， 所以( ) 所以( ) 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；对顶角相等；；；全等三角形对应边相等 【分析】把每一步的因果关系加以识别，即可运用相关的结论填写解题过程和依据． 【详解】解：因为（已知）， 所以∠E（两直线平行，内错角相等） 因为点是边的中点， 所以BD=CD． 在和中， （对顶角相等） 所以（AAS） 所以（全等三角形的对应边相等） 【点睛】本题考查了平行线的性质、线段的中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识点，熟知上述各个知识点是解题的基础，根据每一步的因果关系对出现的相关的角或线段加以认真识别，是解题的关键． 【考点题型十四】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）（） 【例14】（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 【变式14-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；根据，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式14-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：是的中线，和都垂直于直线，垂足分别为点、．求证：． 证明：是的中线， ___________． ，， ___________，___________． _____________________． （请完成后面的证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，由垂线的定义可得，证明即可得证． 【详解】证明：是的中线， ． ，， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十五】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）（） 【例15】（20-21七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（    ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决． 【详解】解：∵AO平分∠DAE， ∴∠1=∠2， 在△AOD和△AOE中，， ∴△AOD≌△AOE（SAS）， ∴∠D=∠E，OD=OE； 在△AOC和△AOB中，， △AOC≌△AOB（SAS）； 在△COD和△BOE中，， ∴△COD≌△BOE（ASA）； 在△DAB和△EAC中，， ∴△DAB≌△EAC（SAS）； 由上可得，图中全等三角形有4对， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 【变式15-1】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 【变式15-2】（20-21七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E． （1）说明△ACD≌△BCF的理由； （2）BE与AD的长度关系是 　 　，请说明理由． 【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析． 【分析】（1）两三角形已经具备一边一角的条件，由已知可再找一角的条件，利用ASA来说明理由； （2）结合（1）的结论可得到AD=BF，只需判断BF与BE之间的数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCF=90°． 在和中， （2）BE与AD之间的数量关系是理由如下： ∵AD平分∠BAC， 在和中， ∴AD=BF. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的中点的性质等知识点，熟知三角形全等的判定与性质是解题的基础；作为连续性问题，上一问题的结论对后面问题的提示和帮助作用不可忽视． 【考点题型十六】全等三角形综合问题（） 【例16】（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．这条边上的高对应相等 B．这条边上的中线对应相等 C．这个角的角平分线对应相等 D．这个角的另一条邻边对应相等 【答案】B 【分析】根据各选项提供的条件，分别画出图形，结合全等三角形的判定与性质逐一分析即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， 增加：高高，    ∴， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； 增加：角平分线，    由角平分线的性质可得：，而， ∴， ∴，而，， ∴，故C不符合题意； 增加：，      显然：，故D不符合题意； 增加：中线，    无法证明全等，无法证明全等， ∴得不到全等，故B符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法与性质是解本题的关键． 【变式16-1】（22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，，，相交于点，，分别交于点根据以上信息：    (1)请写出图中所有的全等三角形； (2)证明： 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）先由平行线的性质得到，由此可证明得到，进而证明；由可得，进而可证明； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形（考点清单，7考点梳理+16题型解读） 清单01 三角形有关概念 (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (2)三角形的基本元素：顶点、边、内角、外角； 三角形两边的公共点叫顶点；组成三角形的三条线段叫三角形的边；在三角形中，每两条相邻边所组成的角，叫三角形的内角；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫三角形的外角. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段 清单02 三角形基本元素的定理 (1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. (2)三角形的内角和等于. (3)三角形的外角和等于. (4)三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 清单03 三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 清单04 全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 清单05 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 清单06 画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 清单07 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 【考点题型一】构成三角形的条件（） 【例1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【变式1-1】（23-24七年级下·上海·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是 (    ) A．3cm， 4cm， 5cm B．1cm， 3cm， 4cm C．6cm， 8cm， 10cm D．3cm， 3cm， 3cm 【考点题型二】三角形三边关系的应用（） 【例2】（22-23七年级下·上海普陀·期中）如果三角形的两边长分别为2和5，那么这个三角形的周长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式2-1】（22-23七年级下·上海徐汇·期末）已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【变式2-2】（21-22七年级下·上海徐汇·期末）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个． 【考点题型三】与三角形的高有关的计算问题（） 【例3】（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，已知的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段 ．    【变式3-2】（21-22七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知在中，，是上任意一点，于点，于点，若的面积为，问：的值是 ． 【考点题型四】三角形角平分线的定义（） 【例4】（22-23七年级下·上海静安·期末）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线交于同一点 C．三角形的三条角平分线交于同一点 D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部 【变式4-1】（20-21七年级下·上海徐汇·期中）如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 【考点题型五】三角形内角和定理的证明（） 【例5】（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图，，则 ． 【变式5-1】（20-21七年级下·上海静安·期中）回答下列问题． (1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：    解：过顶点A作， ，（所作） ，．（____） 点E，A，F在同一条直线上（所作）， ．（____） ．（____） (2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”    【考点题型六】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 【例6】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，分别是的内角，的平分线，如果，那么 ． 【变式6-2】（20-21七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，，、分别是、的平分线，且交于点F，求的度数．    【考点题型七】三角形内角和定理的应用（） 【例7】（24-25七年级下·上海·期中）满足下列条件的中，不可能是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，，，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【变式7-2】（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知点E是的边的延长线上的一点，当，平分，平分时，试判断线段和的位置关系，并说明理由． 【考点题型八】直角三角形的两个锐角互余（） 【例8】（21-22七年级下·上海·期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（　　） A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n° 【变式8-1】（22-23七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，如果，那么 °．      【变式8-2】（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．试说明EFCD的理由．（请注明理由） 【考点题型九】三角形的外角的定义及性质（） 【例9】（23-24七年级下·上海宝山·期末）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式9-1】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知三角形纸片中，，，点点分别在边，边上，将沿翻折，使点落在外的点处．若，则 【变式9-2】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 【考点题型十】全等三角形的性质（） 【例10】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ． 【变式10-1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，如果，，那么 ． 【变式10-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【考点题型十一】用SAS证明三角形全等（SAS）（） 【例11】（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，能直接判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上．现有以下四个条件：①；②；③；④．请以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，写出两个真命题，并加以证明． 【考点题型十二】全等的性质和SAS综合（SAS）（） 【例12】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，．    (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【变式12-1】（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下说理过程：）    解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为，（平角的意义）， 所以_________（__________）， 因为（已知）， 所以（等式性质），即________． 【考点题型十三】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）（） 【例13】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 【变式13-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以 ( ) 因为点是边的中点， 所以 在和中， 所以( ) 所以( ) 【考点题型十四】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）（） 【例14】（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式14-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【变式14-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：是的中线，和都垂直于直线，垂足分别为点、．求证：． 证明：是的中线， ___________． ，， ___________，___________． _____________________． （请完成后面的证明过程） 【考点题型十五】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）（） 【例15】（20-21七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（    ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式15-1】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【变式15-2】（20-21七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E． （1）说明△ACD≌△BCF的理由； （2）BE与AD的长度关系是 　 　，请说明理由． 【考点题型十六】全等三角形综合问题（） 【例16】（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．这条边上的高对应相等 B．这条边上的中线对应相等 C．这个角的角平分线对应相等 D．这个角的另一条邻边对应相等 【变式16-1】（22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，，，相交于点，，分别交于点根据以上信息：    (1)请写出图中所有的全等三角形； (2)证明： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$