1.2一元二次方程的解法（直接开平方法） （讲义）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.2一元二次方程的解法(直接开平方法) (讲义) 【知识点一】直接开平方法解一元二次方程的条件 (1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=,x2=. (2) 直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 【典型例题】 【例题1】一元二次方程的解为( ) A. B., C. D. 【例题2】下列方程中,不能用直接开平方法求解的是( ) A. B. C. D. 【例题3】方程y2=-a有实数根的条件是( ) A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.a为任何实数 【例题4】下列关于的方程一定有实数根的是 A. B. C. D. 【例题5】有下列方程:①x2-2x=0;②9x2-25=0;③(2x-1)2=1;④.其中能用直接开平方法做的是( ) A. B. C. D. 【例题6】已知一元二次方程,若方程有解,则必须 A. B.,同号 C.是的整数倍 D.,异号 【例题7】对于方程下列叙述正确的是 A.不论为何值,方程均有实数根 B.方程的根是 C.当时,方程可化为:或 D.当时, 【知识点二】直接开平方法的解法 直接开平方法解一元二次方程的步骤是: ①移项; ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1; ③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; ④解一元一次方程,求出原方程的根。 【典型例题】 【例题1】方程x2=4的解是( ) A.x1=x2=2 B.x1=x2=﹣2 C.x1=2,x2=﹣2 D.x1=4,x2=﹣4 【例题2】若,则是( ) A.-2 B.2 C.-2或2 D.4 【例题3】下列哪个是一元二次方程的解( ) A., B., C., D., 【例题4】对于方程的两根,下列判断正确的是 A.一根小于1,另一根大于3 B.一根小于,另一根大于2 C.两根都小于0 D.两根都大于2 【例题5】解方程:. 【例题6】解方程: (1) (x+1)2﹣81=0; (2) (3x﹣1)2=4(2x+3)2. 【例题7】解方程: (1)x2﹣49=0; (2)2(x+1)2﹣49=1. 【知识点三】直接开平方法的综合 【典型例题】 【例题1】关于的一元二次方程的一个根是,则的值为( ) A. B. C.或 D. 【例题2】若,则的值为( ) A. B. C.或 D. 【例题3】已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程的根,则此三角形的周长为 A.17 B.11 C.15 D.11或15 【例题4】定义表示不超过实数x的最大整数,如,,.函数的图像(部分)如图所示,则方程有( )个解. A.4 B.3 C.2 D.1 【例题5】若(a2﹣2a)2﹣9=0,则代数式a2﹣2a的值为_. 【例题6】已知关于x的一元二次方程(m,h,k均为常数且)的解是,,则关于x的一元二次方程的解是_. 【例题7】对于实数a,b,新定义一种运算“※”,a※b=.若x※2=5,则x的值为 . 答案解析 【知识点一】直接开平方法解一元二次方程的条件 (3) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=,x2=. (4) 直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 【典型例题】 【例题1】一元二次方程的解为( ) A. B., C. D. 【答案】B 【例题2】下列方程中,不能用直接开平方法求解的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【例题3】方程y2=-a有实数根的条件是( ) A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.a为任何实数 【答案】A 【例题4】下列关于的方程一定有实数根的是 A. B. C. D. 【答案】 【例题5】有下列方程:①x2-2x=0;②9x2-25=0;③(2x-1)2=1;④.其中能用直接开平方法做的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【例题6】已知一元二次方程,若方程有解,则必须 A. B.,同号 C.是的整数倍 D.,异号 【答案】 【例题7】对于方程下列叙述正确的是 A.不论为何值,方程均有实数根 B.方程的根是 C.当时,方程可化为:或 D.当时, 【答案】 【知识点二】直接开平方法的解法 直接开平方法解一元二次方程的步骤是: ①移项; ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1; ③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; ④解一元一次方程,求出原方程的根。 【典型例题】 【例题1】方程x2=4的解是( ) A.x1=x2=2 B.x1=x2=﹣2 C.x1=2,x2=﹣2 D.x1=4,x2=﹣4 【答案】C 【例题2】若,则是( ) A.-2 B.2 C.-2或2 D.4 【答案】C 【例题3】下列哪个是一元二次方程的解( ) A., B., C., D., 【答案】C 【例题4】对于方程的两根,下列判断正确的是 A.一根小于1,另一根大于3 B.一根小于,另一根大于2 C.两根都小于0 D.两根都大于2 【答案】 【例题5】解方程:. 【答案】方程整理得:, 开方得:或, 解得:,. 【例题6】解方程: (3) (x+1)2﹣81=0; (4) (3x﹣1)2=4(2x+3)2. 【答案】(1)(x+1)2﹣81=0, 移项,得(x+1)2=81, 开方,得x+1= 9, 解得:x1=8,x2=﹣10. (2)由原方程,得 3x﹣1= 2|2x+3|, 则3x﹣1=4x+6或3x﹣1=﹣4x﹣6, 整理,得 x=﹣7或7x=﹣5, 解得 x1=﹣7,x2=﹣. 【例题7】解方程: (1)x2﹣49=0; (2)2(x+1)2﹣49=1. 【答案】(1)x2﹣49=0, x2=49, ∴x= 7, ∴x1=7,x2=﹣7; (2)2(x+1)2﹣49=1, (x+1)2=25, ∴x+1= 5, ∴x1=4,x2=﹣6. 【知识点三】直接开平方法的综合 【典型例题】 【例题1】关于的一元二次方程的一个根是,则的值为( ) B. B. C.或 D. 【答案】C 【例题2】若,则的值为( ) A. B. C.或 D. 【答案】A 【例题3】已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程的根,则此三角形的周长为 A.17 B.11 C.15 D.11或15 【答案】 【例题4】定义表示不超过实数x的最大整数,如,,.函数的图像(部分)如图所示,则方程有( )个解. A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【例题5】若(a2﹣2a)2﹣9=0,则代数式a2﹣2a的值为_. 【答案】3 【例题6】已知关于x的一元二次方程(m,h,k均为常数且)的解是,,则关于x的一元二次方程的解是_. 【答案】, 【例题7】对于实数a,b,新定义一种运算“※”,a※b=.若x※2=5,则x的值为 . 【答案】﹣3 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$