精品解析：天津市耀华中学2024-2025学年高二下学期期中学情调研数学试卷

天津市耀华中学2024—2025学年度第二学期期中学情调研 高二年级数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 若，则（ ） A. 243 B. 27 C. 1 D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层载有4位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这4位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量的期望是（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 函数的极小值是 C. 函数的图象有条切线方程为 D. 点是曲线的对称中心 10. 2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ） A. 18种 B. 12种 C. 9种 D. 6种 11. 已知函数（）与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的值可以是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 12. 若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题：本次题共8小题，每小题4分，共32分，将答案填写在答题卡上. 13. 已知随机变量服从两点分布，其中，则_____. 14. 若二项式展开式中的常数项为160，则______． 15. 已知函数在处有极值0，则的值为______． 16. 甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答） 17. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 18. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 19. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 20. 已知，函数，若对任意的，恒成立，则a的最小值为_______． 三、解答题：本大题共3小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上. 21. （1）已知，求实数的值 （2）解方程：. 22. 设函数，． （1）若在处切线为，求实数的值； （2）是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 23. 已知函数. （1）若函数的极值点在内，求m的取值范围； （2）若有两个零点，求m取值的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2024—2025学年度第二学期期中学情调研 高二年级数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 若，则（ ） A. 243 B. 27 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由赋值法令即可求解． 【详解】令得，， 故选：D． 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的求导公式即可判断AC；利用复合函数的求导公式即可判断B；利用导数的加法法则即可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 4. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数在内有零点列式求解. 【详解】由，求导得，而函数在区间上不单调， 则在内有解，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 5. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断. 【详解】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则，. 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 6. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 7. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，令，求得，进而可得对恒成立，进而令，利用导数求得，可求得实数的取值范围. 【详解】， ，解得， 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 令，解得或， 易得在上单调递增，在上单调递减，故， 故实数的取值范围是. 故选：A. 8. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层载有4位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这4位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量的期望是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，再根据二项分布的期望公式求解即可. 【详解】由题意可知， 所以. 故选：B. 9. 已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 函数的极小值是 C. 函数的图象有条切线方程为 D. 点是曲线的对称中心 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间结合极小值的定义即可判断AB；根据导数的几何意义即可判断C；求出即可判断D. 【详解】由，得， 令，则，令，则或， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以函数的极小值是，故AB正确； 对于C，设切点为， 则，解得或， 当时，，切线方程为， 当时，，切线方程为， 所以函数的图象没有一条切线方程为，故C错误； 对于D，因为 ， 所以点是曲线的对称中心，故D正确. 故选：C. 10. 2024年5月20日是第25个“世界计量日”，主题为“可持续发展”．现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ） A. 18种 B. 12种 C. 9种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】法一：利用分类加法原理，结合组合数计算，可得答案；法二：利用正难则反的思想，求得对立事件的情况数与总的情况数，可得答案. 【详解】法一：根据题意，分2类讨论． 第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地，将剩下4人分为2组， 安排在乙、丙两个活动场地即可，有（种）安排方法； 第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地， 再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地，有（种）安排方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法． 法二：去甲活动场地共有（种）情况， 去甲活动场地且去乙活动场地共有（种）情况， 所以去甲活动场地，不去乙活动场地的不同的安排方法共有（种）． 故选：A． 11. 已知函数（）与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的值可以是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数关于y轴对称的函数表达式为，将原题问题转化为只需要方程有正根，方程可化为，令，借助导数研究单调性，最值，进而得到取值范围，即可判断． 【详解】函数关于y轴对称的函数表达式为， 只需要方程有正根，方程可化为． 令，有， 令，有， 可得函数单调递减，则， 可得函数单调递减，有． 由函数是由函数平移过来的， 故方程有正根时，只需要函数与x轴的正半轴有交点，即方程的根，则实数a的取值范围为． 故选：D． 12. 若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，由导数研究函数的单调性做出函数大致图象，数形结合求解即可． 【详解】设，即有且只有三个整数解， 则，且， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 由于， ， 由于为单调递增函数，， 要使有且只有三个整数解，这三个整数解必然是， 所以，解得. 故选：A. 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题：本次题共8小题，每小题4分，共32分，将答案填写在答题卡上. 13. 已知随机变量服从两点分布，其中，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点分布的方差公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，， 所以， 所以， . 故答案为：. 14. 若二项式展开式中的常数项为160，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 15. 已知函数在处有极值0，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解． 【详解】因为，所以， 由题意可知，，即，解得或， 当时，， 函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上递增，在上递减， 所以在时取得极大值，符合题意，所以， 故答案为：11． 16. 甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，有种，形成了四个空， 再将甲乙插入四个空，有种， 所以甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种. 故答案为：. 17. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题． 【详解】由于函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即恒成立， 由在上单调递增，则， ，所以实数的取值范围为. 故答案为：． 18. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 【答案】52 【解析】 【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，根据排列计数问题列式，再根据分类计数原理求和即可求解． 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字， 组成没有重复数字的三位偶数，有两种情况： 第一种，0在个位，有个； 第二种，0不在个位，排个位有种方法，排百位有种方法， 排十位有种方法，此时共有个， 所以符合题意的三位偶数共有个． 故答案为：52 19. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则.  表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .  根据条件概率公式 ，可得 .   随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  根据期望公式 可得 .   故答案为：；. 20. 已知，函数，若对任意的，恒成立，则a的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由变形可得，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，参变分离可得，其中，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的最小值. 【详解】对任意的，则，因为，则， 由，可得， 构造函数，其中，则，即函数在上为增函数， 由可得，所以，， 所以，，其中， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，则，故. 因此，实数的最小值为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上. 21. （1）已知，求实数的值 （2）解方程：. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）根据组合数的性质计算即可； （2）利用排列数公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以或， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； （2）由， 得， 化简得，解得或（舍去）， 所以. 22. 设函数，． （1）若在处切线为，求实数的值； （2）是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由求出，结合，得到，求出的值； （2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案. 【小问1详解】 ， 在处切线为，故，解得， 故，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 存在，理由如下： 的定义域为，， 当时，在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，解得，舍去. 当时，令得，，令得，， 若，则，故在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，则，故在上单调递减， 故，解得，舍去. 综上，. 23. 已知函数. （1）若函数的极值点在内，求m的取值范围； （2）若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $