三角函数的图象与性质的应用 习题课课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 习题课12 三角函数的图象与性质的应用 1 学习目标 1.能画出,, 的图象,了解三角函数的周期性.（数学抽象） 2.理解正弦函数、余弦函数在上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与 轴的交点等）,理解正切函数在区间, 内的单调性.（逻辑推理） 3.会利用三角函数的图象与性质解决问题.（数学运算） 学习目标 2 1.函数 的最小正周期为( ) . B A. B. C. D. [解析] 函数的周期同函数的周期一致,由函数 的图 象（图略）知其最小正周期为 ,所以的最小正周期也为 . 2. 的值域是( ) . D A. B. C. D. [解析] 因此函数的值域为 . 自主预习 3 3.函数 的定义域是________________________. ,, [解析] 由,得 , 作出函数的图象和直线 ,如图所示, 由图象可知,的解集为 , ,故函数 的定义域为 ,, . 自主预习 4 4.已知函数的最小正周期满足,求正整数 的值,并写出 函数 的奇偶性、单调区间. [解析] 因为 , 所以,解得 , 又因为,所以 , 则 . 自主预习 5 由 ,,得,,则函数 的定义域不关于原点对称, 所以 是非奇非偶函数. 由 ,,得, , 所以的单调递增区间为,, ,无单调递减区间. 自主预习 6 探究1 三角函数的定义域和值域 例1 （1）函数 的定义域为_______________. （2）函数 的值域为_______. ,, （1）列出每个式子满足的不等式,解不等式组求交集;（2）令 ,将函 数换元为二次函数求解. 合作探究 7 [解析] （1）由得 或 . 函数的定义域为,, . （2） . , 函数的值域为 . 合作探究 8 方法总结 1.三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组）,常借助三角函数图象 来求解. 2.求三角函数式的值域与最值的两种形式 （1）将所给三角函数式转化为或 的形式,然 后结合角 的取值范围求解. （2）形如或 的函数,可以先转化 成同名函数,然后结合二次函数的性质求解,在转化过程中要注意或 的有界性. 合作探究 9 针对训练 （1）若 ,则该函数的定义域为____________________. （2）函数，, 的值域为______. [解析] （1）令,,解得, , 所以该函数的定义域为 . （2）因为，所以 ， 所以，所以 . 所以函数的值域为 . 合作探究 10 探究2 三角函数的单调性 例2 （1）已知,函数在,上单调递减,则 的取值范围是 _____. （2）函数 的单调递减区间为_____________________. , ,, 根据函数的单调性建立不等式求解. 合作探究 11 [解析] （1）由 得,由题意知 , ,,,所以 解得 .由,,,得,所以, . （2）欲求函数 的单调递减区间,只需求 的单调递增区间.由, ,得 , . 故所求函数的单调递减区间为,, . 合作探究 12 方法总结 已知三角函数解析式求单调区间 （1）求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调 性规律“同增异减”（即与 异号,求增代减、求减代增:求增区间代减区间,求减区间 代增区间.与 同号,求增代增、求减代减:求增区间代增区间,求减区间代减区间）. （2）求形如或（其中 ）的单调区间时, 要视“ ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果 ,那么一定先借助诱导公式 将 化为正数,防止把单调性弄错. 合作探究 13 针对训练（1） 函数在, 上的单调递减区间是( ) . D A., B., C., D., [解析] 易知函数 , 令 ,,得, , ,, 函数的单调递减区间为, .故选D. 合作探究 14 （2） 若 是三角形的一个内角，且函数在区间, 上单调， 则 的取值范围为( ) . B A., B., C., D., [解析] 当,时， , ， 是三角形的一个内角， ，则, ， 函数在区间, 上单调， 解得 ， 故 的取值范围为, . 合作探究 15 探究3 三角函数的对称性 例3 已知函数和 的图象的对称轴完 全相同.若,,则 的取值范围是_______. , [解析] 因为函数和 的图象的对称轴 完全相同, 所以,所以 . 因为,,所以,,所以, . 所以的取值范围是, . 合作探究 16 方法总结 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点, 即此时的正弦值、余弦值取得最大值或最小值;正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是 正弦曲线、余弦曲线与 轴的交点,即此时的正弦值、余弦值为0. 针对训练（1） 对于函数， ，下列结论正确的是( ) . C A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是奇函数 D. 是奇函数 合作探究 17 [解析] 对于A，的定义域为 ， 又 ， 是奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为 ， 又 ， 是偶函数，故B错误； 合作探究 18 对于C，的定义域为 ， 又 ， 是奇函数，故C正确； 对于D,的定义域为 ， 又 ， 是偶函数，故D错误.故选C. 合作探究 19 （2） （多选题）若函数,的最小正周期为 , ,则( ) . BD A. B.直线 是函数 图象的对称轴 C.点,是函数图象的对称中心 D.在 上单调递增 [解析] 函数的最小正周期 ,,则 . 对于A,, , 函数的图象关于点, 对称, ,解得,又, ,A错误; 合作探究 20 对于B,由A知, , 当 时,, 直线 是函数 图象的对称轴,B正确; 对于C,当时, , 点,不是函数 图象的对称中心,C错误; 对于D,当时,, , 函数在 上单调递增,D正确. 故选 . 合作探究 21 1.函数 是( ) . A A.奇函数,在区间,上单调递增 B.奇函数,在区间, 上单调递减 C.偶函数,在区间,上单调递增 D.偶函数,在区间, 上单调递减 [解析] 因为 是正弦函数, 所以是奇函数,且在区间, 上单调递增.故选A. 随堂检测 22 2.函数在, 上的值域为( ) . C A., B., C., D., [解析] ,,, ,故函数的值 域为, . 3.请写出一个函数_____________________,使之同时具有以下性质:①图象关于 轴对称;, . （答案不唯一） [解析] 由题设,写出一个周期为4的偶函数即可, 满足题设要求. 随堂检测 23 4.已知函数 . （1）写出 的最小正周期及最值. （2）求 的单调递增区间. [解析] （1） , 的最小正周期 , , 的最小值为 ,最大值为1. （2）令 , , 解得 , , 的单调递增区间为 ,, . 随堂检测 24 $$