11.1.2 不等式的性质（二）课件-2024-2025学年人教版数学七年级下册

人教版七年级下册 教学目标： 1.会根据不等式的性质把不等式逐步化为x＞a或x＜a的形式，能运用不等式的性质解简单的不等式，对比方程的解法，感知其内在联系，体会其中渗透的类比思想. （重难点） 2.知道符号“≥”和“≤”的意义及在数轴上表示不等式的解集时实心点与空心圈的区别，并能在数轴上表示其解集，渗透数形结合的思想. 3.会运用不等式的性质解决简单的问题，强化运用能力，初步认识不等式的应用价值． 第十一章　不等式与不等式组 11.1.2　不等式的性质（二） 1 复习引入 1.若a>b,用“>”或“<”填空,并说明根据哪条性质. (1)a+5　 　b+5;　 ，(2)a-1　 　b-1;　 　， (3) 2a　 　2b;　 　，(4)-2a　 　-2b;　 　. 不等式的性质3 不等式的性质2 不等式的性质1 < > > > 不等式的性质1 2.用不等式的性质,将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x+2>3；（2）- 2x>-6;（3）- x<2；（4）3x≥-12. 解：(1)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，得 x . (2)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，得 x . (3)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，得 x .   (4)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，得 x . 1 减 2 >1 3 除以 －2 < 3 乘 －3 >－6 2 除以 3 ≥－4 2 以旧引新 1.解下列方程. (1) x-3=6 解方程的依据是： . 等式的性质 思路：解一元一次方程就是借助等式的性质，将方程逐步化为 x=a（a为常数）的形式. 解：根据等式的性质 1,等式两边+3,结果仍相等. x =9 x – 3 +3 = 6 +3 1.解不等式. (1) x-3＞6 解不等式的依据是： . 不等式的性质 思路：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式． 解：根据不等式的性质 1,不等式两边+3,不等号的方向不变. x＞9 x – 3 +3 ＞ 6 +3 3 以旧引新 1.解下列方程. (2) 2x=8 解方程的依据是： . 等式的性质 思路：解一元一次方程就是借助等式的性质，将方程逐步化为 x=a（a为常数）的形式. 解：根据等式的性质 2,等式两边÷2,结果仍相等. x =4 2x÷2=8÷2 1.解下列不等式. (2) 2x＞8 解不等式的依据是： . 不等式的性质 思路：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式． 解：根据不等式的性质 2,不等式两边÷2,不等号的方向不变. x＞4 2x÷2 ＞ 8÷2 4 知识重点 解方程需要依据等式的性质，同样解不等式也需要依据不等式的性质进行. 本节课我们就来学习怎样利用不等式的性质解不等式. 思路：与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为x＞m或x＜m(m为常数)的形式. (1)x – 7＞26； (2)3x＜2x＋1； 【RJB七下P126】例3 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (3) x＞50； (4) – 4x＞3． 5 典型精析 (1)x – 7＞26； (2)3x＜2x＋1； 【RJB七下P126】例3 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (3) x＞50； (4) – 4x＞3． 思路：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式． 解：(1)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，不等号的方向 . 1 ＋7 不变 x＞33． x – 7＋7＞26＋7， (2)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，不等号的方向 . 1 –2x 不变 x＜1． 3x – 2x＜2x + 1 – 2x ， 6 典型精析 (1)x – 7＞26； (2)3x＜2x＋1； 【RJB七下P126】例3 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (3) x＞50； (4) – 4x＞3． 思路：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式． 解：(3)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，不等号的方向 . 2 × 不变 x＞75． x＞×50， (4)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，不等号的方向 . 3 ×(- 改变 x＜- ． – 4x×(- ＜3×(- ， 7 举一反三 不等式的解集也可以在数轴上表示，如上例中不等式x − 7 > 26的解集：x > 33，在数轴上的表示如图所示. 0 33 用数轴（取向右为正方向）表示不等式的解集的规律： 大于向　 　画，小于向　 画， 有等号（“≥”“≤”）画　 　， 无等号（“>”“<”）画　 　.  左 右 实心圆点 空心圆圈 请你在数轴上表示例1中其他三个不等式的解集. 8 举一反三 不等式的解集也可以在数轴上表示，如上例中不等式3x ＜2x + 1的解集：x＜1，在数轴上的表示如图所示. 0 1 用数轴（取向右为正方向）表示不等式的解集的规律： 大于向　 　画，小于向　 画， 有等号（“≥”“≤”）画　 　， 无等号（“>”“<”）画　 　.  左 右 实心圆点 空心圆圈 请你在数轴上表示例1中其他三个不等式的解集. 9 举一反三 不等式的解集也可以在数轴上表示，如上例中不等式x＞50的解集：x＞75，在数轴上的表示如图所示. 0 75 用数轴（取向右为正方向）表示不等式的解集的规律： 大于向　 　画，小于向　 画， 有等号（“≥”“≤”）画　 　， 无等号（“>”“<”）画　 　.  左 右 实心圆点 空心圆圈 请你在数轴上表示例1中其他三个不等式的解集. 10 举一反三 不等式的解集也可以在数轴上表示，如上例中不等式– 4x＞3的解集：x＜- ，在数轴上的表示如图所示. 用数轴（取向右为正方向）表示不等式的解集的规律： 大于向　 　画，小于向　 画， 有等号（“≥”“≤”）画　 　， 无等号（“>”“<”）画　 　.  左 右 实心圆点 空心圆圈 请你在数轴上表示例1中其他三个不等式的解集. 0 - 11 巩固练习 【RJB七下P128】2. 利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)x＋5＞－1；　　 (2)4x＜3x+5； (3) x＜； (4)－8x＞10. 解：(1)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，不等号的方向 . x＋5－5＞－1－5 1 －5 不变 x＞－6 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 0 -6 12 巩固练习 【RJB七下P128】2. 利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)x＋5＞－1；　　 (2)4x＜3x+5； (3) x＜； (4)－8x＞10. 解：(2)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，不等号的方向 . 4x－3x＜3x－3x+5 1 －3x 不变 x＜5 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 5 0 13 巩固练习 【RJB七下P128】2. 利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)x＋5＞－1；　　 (2)4x＜3x+5； (3) x＜； (4)－8x＞10. 解：(2)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，不等号的方向 . x×7＜×7 2 ×7 不变 x＜6 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 6 0 14 巩固练习 【RJB七下P128】2. 利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)x＋5＞－1；　　 (2)4x＜3x+5； (3) x＜； (4)－8x＞10. 解：(2)根据不等式的基本性质 ，两边都 ，不等号的方向 . －8x×(－＜10×(－ 3 ×(－ 改变 x＜－ 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 0 － 15 重点知识 除了含有＜,＞,≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式. 例如x≥3表示x＞3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值． 符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”． a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质． 例如，如果a≥b，那么a+2≥b+2，a-2≥b-2，2a≥2b，-2a≤-2b． 常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号 关键 词语 第一类：明确表明数量的不等关系 第二类：明确表明数量的范围特征 ①大 于 ②比…大 ③超 过 ①小 于 ②比…小 ③低 于 ①不小于 ②不低于 ③至 少 ①不大于 ②不超过 ③至 多 正数 负数 非负数 非正数 不等号 ＜ ＞ ≥ ≤ ＞0 ＜0 ≥0 ≤0 16 典型精析 生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示. 如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80 km/h,最高车速应为100 km/h. 如果用v(单位：km/h)表示汽车的速度， 则v应满足:v≥80且v≤100,或表示为80≤v≤100. 17 典例精析 【RJB七下P127】例4 如图，一个长方体形状的鱼缸长10dm，宽3.5dm，高7dm.若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水.用V（单位：dm）表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示. 【分析】问题中的不等关系是：已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积. 解：因为“已有水的体积+新注入水的体积 V ≤ 鱼缸的容积”，所以 10×3.5×1+V ≤ 10×3.5×7， 解得 V≤210. 又因为新注入水的体积V不能是负数，所以V 的取值范围是 0 ≤ V ≤ 210. 在数轴上表示V的取值范围如图所示. 0 210 在表示 0 和 105的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数. 实心点 实心点 18 巩固练习 【RJB七下P128】1. 某日北京的最低气温是 19 ℃，最高气温是 28 ℃，用不等式表达这天的气温 t（单位：℃ ）的变化范围. 解： 19 ≤ t ≤ 28. 【RJB七下P128改编】2.某药品说明书上标明药品保存的温度是(10±4)℃,设该药品合适的保存温度为t,则温度t的范围是　 .  6 ℃ ≤ t ≤ 14 ℃　 【RJB七下P128改编】3.某生物兴趣小组要在恒温箱中培养某菌种，该菌种生长环境的温度不低于且不高于 ，若恒温箱的温度为，则 的取值范围为____________. 19 典例精析 补充例题 用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集： (1)c的4倍大于或等于8； (2)c的一半小于或等于3； (3)d与5的差不大于–2； (4)d与5的和不小于0. (1)4c≥8 (4)d + 5≥0 (3)d – 5≤– 2 (2)c≤3 解： 注意： 大于或等于、不小于都用“≥”表示； 小于或等于、不大于都用 “≤”表示. 0 2 c≥2 c≤6 d≤3 d≥– 5 0 6 0 3 0 – 5 20 巩固练习 【RJB七下P129改编】2.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集： (1)x的3倍大于或等于1； (2)x与3的和不小于6； (3)y与1的差不大于0； 解：(1)3x≥1 (2)x+3≥6 x≥3 x≥ 0 0 3 (3)y – 1≤0 y≤1 0 1 y≤– 8 (4) y≤– 2 0 – 8 (4)y的 小于或等于–2. 注意： 大于或等于、不小于都用“≥”表示； 小于或等于、不大于都用 “≤”表示. 21 巩固练习 【RJB七下P129】6. 陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制. 我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如右表所示. 设窑内温度为 t ℃. （1）用不等式表示当火焰色调为“暗赤至樱桃红”时，窑内温度的范围； （2）烧制某瓷器时，窑内温度的范围是 1260≤t≤1310，窑内火焰的颜色是怎样的？ 火焰色调 温度t/℃ 最初赤红 475 最初赤红至暗赤 475~650 暗赤至樱桃红 650~750 樱桃红至鲜红 750~820 鲜红至橘黄 820~900 橘黄至黄色 900~1090 黄色至浅黄色 1090~1320 浅黄色至白色 1320~1540 灰白色 1540以上 650 ≤ t ≤ 750 22 巩固练习 【RJB七下P129】9. 如图是某机器零件的设计图纸（图中长度单位：mm），用不等式表示零件长度 L 的合格尺寸（L 的取值范围）. 解：40－0.02 ≤ L ≤ 40+0.02， 即39.98 ≤ L ≤ 40.02. 10. 某市地铁票收费标准如下： 不超过 6 km 3元；超过 6 km 到 12 km（含4元；超过 12 km到 22 km（含5元； 超过 22 km到 32 km（含）6 元； 超过 32 km 部分，每增加 1 元可再乘坐 20 km. 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了 8 元，设他乘坐地铁的里程为 x km，用不等式表示 x 的范围. 52 < x ≤ 72 23 巩固练习 【RJB七下P130】11. 有一个两位数，如果把它的个位上的数 a 和十位上的数 b 对调，那么什么情况下得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两位数小？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？ 解：设原来的两位数个位上的数为a，十位上的数为b，则原来的两位数是 10b+a，对调位置后得到的两位数是 10a +b. 当得到的两位数比原来的两位数大时，10b+a<10a+b，9b<9a，b<a. 当得到的两位数比原来的两位数小时，10a+b<10b+a，9a<9b，a<b. 当得到的两位数等于原来的两位数时，10a+b=10b+a，9a=9b，a=b. 24 $$