11.1.2 不等式的性质 课时2 不等式性质的应用 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第十一章 不等式与不等式组 11.1 不等式 11.1.2 不等式的性质 课时2 不等式性质的应用 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 利用不等式的性质解不等式 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 5. 知识点2 带等号不等式的意义及表示方法 10. 拓展与延伸 6. 知识点3 不等式的实际应用 9. 对接中考 3. 新课导入 1. 进一步理解不等式的性质，会用不等式的性质解简单的不等式. 2.会用不等式解决简单问题. 学习目标 知识回顾 不等式的性质有哪些？ 不等式性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 不等式性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 不等式性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 新课导入 解方程需要依据等式的性质，那么该如何解解不等式呢？ 新课讲解 知识点1 利用不等式的性质解不等式 【思考】解不等式的最终目标是把不等式转化成什么形式？ 与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为 (m为常数)的形式. 或 新课讲解 例 1. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) x-7＞26； (2) 3x<2x+1； (3) ＞50； (4) -4x＞3.　　　　 解未知数为x的不等式 化为x＞a或x﹤a的形式 目标 方法：不等式基本性质1~3 思路： 解： (1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变,得 x-7+7﹥26+7，即x﹥33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　 0 33 新课讲解 例 1. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (2) 3x<2x+1；　　　　 解：(2)为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据_____________，不等式两边都减去____，不等号的方向_____，得 . 3x-2x﹤2x+1-2x ，即 x﹤1 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 0 1 不等式性质1 2x 不变 新课讲解 例 1. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (3) ＞50； 　　　　 解：(3)为了使不等式﹥50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质2，不等式的两边都除以 ，不等号的方向不变，得 x﹥75. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示: 0 75 新课讲解 例 1. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (4) -4x＞3.　　　　 解：(4)为了使不等式-4x﹥3中的不等号的一边变为x，根据______________，不等式两边都除以____，不等号的方向______，得 x﹤- . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 0 不等式的性质3 -4 改变 - 新课讲解 1. 解不等式就是将不等式化为 或 ( 为常数)的形式 . 2. 用不等式的性质解不等式的步骤： (1) 用不等式的性质1 将不等式变成ax>b 或ax<b 的形式； (2) 用不等式的性质2、性质3 将不等式变成x> 或x<的形式. 3. 解不等式的步骤(2)中，先通过判断a 的符号，以确定不等号方向是否变化，然后再在两边同时除以 a. 归纳 新课讲解 练一练 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集： (2)-2x > 3； (1)x-5 > -1； (3)7x < 6x-6. x＞4 x<-6 4 0 0 0 -6 新课讲解 知识点2 带等号不等式的意义及表示方法 除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式. “≥”“≤”这两个符号表示什么意思？ x≥3：x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值. 符号“≥”读作“大于或等于”也可以说是“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”. a≥b或a≤b的形式的式子同样具有不等式的性质. 例如：如果a≥b，那么-2a≤-2b. 注意 新课讲解 带等号的不等式的解集在数轴上的表示如下所示： 不等式的解集 用数轴表示 注意 x ≥ a 端点用实心圆，方向向右 x ≤ a 端点用实心圆，方向向左 新课讲解 常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号 关键 词语 第一类：明确表明数量的不等关系 第二类：明确表明数量的范围特征 ①大 于 ②比…大 ③超 过 ①小 于 ②比…小 ③低 于 ①不小于 ②不低于 ③至 少 ①不大于 ②不超过 ③至 多 正数 负数 非负数 非正数 不等号 ＜ ＞ ≥ ≤ ＞0 ＜0 ≥0 ≤0 新课讲解 例 2. 利用不等式的性质，解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1) ； (2) . 解：(1) ， ， ，如图所示. (2) ， ， ， ，如图所示. 新课讲解 练一练 1. 如图所示，数轴上关于的不等式的解集是( 　) A. B. C. D. 2. 在下列所表示的不等式的解集中，不包括的是( 　 ) A. B. C. D. D C 新课讲解 知识点3 不等式的实际应用 3. 当 a 取什么值时，解关于 x 的方程 3x－2=a 得到的 x 的值满足下列条件： (1)是正数； (2)是 0； (3)是负数 . 例 方法点拨： 利用方程的解的情况列出以 a 为未知数的不等式或方程，求出不等式的解集或方程的解即可 . 解： 解关于 x 的方程 3x－2=a，得 x= . (1) 根据题意，得 >0， ∴ a>－2. ∴ 当 a 取大于 －2 的数时， x 的值是正数 . (2) 根据题意，得 =0，解方程得 a=－2. ∴ 当 a 取 －2 时， x 的值是 0. (3) 根据题意，得 <0， ∴ a<－2. ∴ 当 a 取小于 －2 的数时， x 的值是负数 . 新课讲解 4. 某长方体形状的容器长 5 cm，宽 3 cm，高 10 cm，容器内原有水的高度为 3 cm，现准备向它继续注水.用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出 V 的取值范围. 5 cm 3 cm 10 cm 解：新注入水的体积 V 与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即V+3×5×3≤3×5×10， V≤105. 又由于新注入水的体积不能是负数， 因此，V 的取值范围是 V ≥0 并且 V≤105. 在数轴上表示 V 的取值范围如图所示： 在表示 0 和 105 的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数. 0 105 例 新课讲解 练一练 1. 已知在某超市内购物总金额超过 190 元时，购物总金额有打 8 折的优惠.安妮带了 200 元到该超市买棒棒糖，若棒棒糖每根 9 元，则她最多可买多少根棒棒糖？ 解：设她可以买 x 根棒棒糖. 由题意得 ， 解得 ，即 ， 答：她最多可买 27 根棒棒糖. 新课讲解 练一练 2. 我们知道，被狗咬伤后应该立刻到医院注射狂犬病疫苗，狂犬病疫苗是一种免疫球蛋白，它的保存温度为 2～8℃. 某医院准备购进一批该种疫苗，冷藏室的温度为 12℃，设每小时可使温度下降 1.6℃，那么最快需要几小时后冷藏室的温度就达到了存放该种疫苗的温度？ 方法点拨：1. 当实际问题中含有常见的表示不等关系的词语时 , 往住需要列不等式求解 . 常见的表示不等关系的词语有大于、小于、超过、不足、至多和至少等 . 2. 冷藏室的温度由 12℃ 降到 8℃ 及以下就达到了存放该种疫苗的温度，由此列出不等式解答即可 . 解：设最快需要 x 小时后冷藏室的温度就达到了存放该种疫苗的温度， 由题意得 12－1.6x ≤ 8， 解得 x ≥ 2.5. 答：最快需要 2.5 小时后冷藏室的温度就达到了存放该种疫苗的温度 . 新课讲解 列不等式处理实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系. ②设：设未知数，一般是与所求问题有直接关系的量. ③找：找出题中所有的不等关系,特别是隐含的数量关系. ④列：列出不等式. ⑤解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，得出结果. ⑥答：根据所得结果作出回答. 新课讲解 例如，110是不等式x>100的解，而90不是不等式x>100的解. 与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解. 代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法. 注意：一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. 判断一个数是不是不等式的解的方法 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立.若成立，则该数是不等式的一个解，反之不是. 总结 课堂小结 不等式 不等式性质的应用 解不等式 不等式解集的表示 利用不等式解决实际问题 用不等“<”“>”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子 定义 0 a 0 a 0 a 0 a 当堂小练 1. 不等式的解集是 _____． 解：根据不等式的性质1，不等式两边，不等号的方向不变， 所以 3x-x＜x-x+6 ，即 2x<6. 根据不等式的性质2，不等式两边，不等号的方向不变， 所以 2x÷2＜6 ÷2 ，即 x<3. x<3 当堂小练 2. (1) 如图1，此不等式的解集为　　　　，非正整数解为　　　； (2) 如图2，此不等式的解集为　　　　，最大整数解为　　　.  x>-2 -1，0 x<0 -1 图 1 图 2 当堂小练 3. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) 2； (2) 5x-6≤7x-4. 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加不等号的方向不变， 所以 ， 即 x<2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　 2 0 当堂小练 3. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) 2； (2) 5x-6≤7x-4. 解：(2) 根据不等式的性质1，不等式两边减 7x，不等号的方向不变， 所以 5x-6-7x≤7x-4-7x，即 -2x-6≤-4. 根据不等式的性质1，不等式两边加 6，不等号的方向不变， 所以 -2x-6+6≤-4+6，即 -2x≤2. 根据不等式的性质3，不等式两边除以 -2，不等号的方向改变， 所以 ，即 x≥-1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.　 0 -1 当堂小练 4. 某商场的货运电梯只限载货，严禁载人.根据如图所示的标识，该货梯运送货物的质量m（kg）满足的不等关系为（ 　） A. m＞3 000 B. m≥3 000 C. m＝3 000 D. 0＜m≤3 000 D 当堂小练 5. 小希就读的学校上午第一节课的上课时间是8点.小希家距学校有2千米，而她的步行速度为每小时10千米.那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？ 解：设小希上午x点从家里出发才能不迟到， 根据题意得 ， 解得 . 答：小希上午 7:48 前从家里出发才能不迟到. 当堂小练 5. 小明参加暑假读书活动，要在 8 月份看完一本 870 页的书，前 11 天共看了 219 页，后来他加快了速度，结果提前看完了 . 你知道小明加快速度后，平均每天至少看多少页书吗？ 当堂小练 6. 有4人携带装修材料乘坐电梯，这4人的体重共300千克,每捆材料重20千克，电梯最大负荷为1050千克，求该电梯在只有这4人乘坐的情况下最多还能搭载多少捆材料. 解：设还能搭载捆材料. 依题意，得 ， 解得 . ∵为整数， ∴的最大值为37. 答：该电梯在只有这4人乘坐的情况下最多还能搭载37捆材料. 对接中考 1. 不等式 x+1 ≥ 2 的解集在数轴上表示正确的是图中的（　　） A 解：∵ x+1 ≥ 2， ∴ x ≥ 1. 该不等式的解集在数轴上表示如图. 对接中考 2. 不等关系在生活中广泛存在 . 如图， a， b 分别表示两名同学的身高， c 表示台阶的高度 . 图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若 a ＞ b，则 a+c ＞ b+c B. 若 a ＞ b， b ＞ c，则 a ＞ c C. 若 a ＞ b， c ＞ 0，则 ac ＞ bc D. 若 a ＞ b， c ＞ 0，则 > A 解：由题意得 a ＞ b，∴ a+c ＞ b+c. ∴ 图中两人的对话体现的数学原理是，若 a ＞ b，则 a+c ＞ b+c. 对接中考 3. 实数 a， b， c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. b+c ＞ 3 B. a－c ＜ 0 C. |a| ＞ |c| D. －2a ＜ －2b B 拓展与延伸 1. 已知 ，且 x ＜ －1， y ＞ 1，求 的取值范围 . 解：∵x－y＝－3， ∴x＝y－3. 又∵x＜－1， ∴y－3＜－1. ∴y＜2. 又∵y＞1， ∴1＜y＜2.① 同理，得－2＜x＜－1.② 由①＋②，得1－2＜y＋x＜2－1， 即－1<x＋y<1. ∴x＋y的取值范围是－1＜x＋y＜1. 拓展与延伸 2. 已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是（　C　） A. － ＜a＜0 B. ＜b＜1 C. －2＜2a＋4b＜1 D. －1＜4a＋2b＜0 C 拓展与延伸 3.“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物.2020年，某省谷子种植面积已达 324 万亩，平均亩产量约为 320 kg.2021年，若该省谷子的平均亩产量仍保持 320 kg 不变，则要使谷子的年总产量不低于 108 万吨，该省至少应再多种植多少万亩的谷子？ 列不等式时注意不等号两边的单位要统一. 解：设 2021 年该省应种植 x 万亩的谷子. 根据题意，得 . 不等式两边除以 ，得 x≥337.5. 所以 337.5-324=13.5(万亩). 答：2021 年该省至少应再多种植 13.5 万亩的谷子. 解：设 2021 年该省应再多种植 a 万亩的谷子. 根据题意，得 . 不等式两边除以 ，得 324+a≥337.5. 所以 a≥13.5. 答：2021 年该省至少应再多种植 13.5 万亩的谷子. 直接设未知数列不等式： 解：设小明加快速度后，平均每天看x页书， 根据题意，得 (31－11)x≥870－219， 解得. 答：小明加快速度后，平均每天至少看33页书． $$