第一章 §1.4　基本不等式（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.4　基本不等式 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 基本不等式 2024·北京卷， 2021·全国乙卷， 2021·全国新Ⅰ卷 理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”，能正确处理常数“1”求最值，能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值，能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值。 【知识梳理】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【名师点拨】 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　　) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件.(　　) 2.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 3.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若x<0，则x＋≤－2 B.若x>0，则x－≤－2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.x2＋≥1 4.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，则的最小值为　　　　　　.  【必练核心题型】 题型一　基本不等式的理解及常见变形 例1.(多选)下列说法不正确的是(　　) A.x＋的最小值是4 B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的 C.的最小值为2 D.存在a，使得a＋<2成立 例2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 【变式训练】 变式1.已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式2.(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.4ab≤(a＋b)2 B.≤ C.≤ D.ab≤ 题型二　基本不等式的性质 命题点1　直接法 例2.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 例2.当0<x<1时，3x(3－3x)的最大值为　　　　　　.  命题点2　配凑法 例1.函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 例2.(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.  【拓展训练】与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 如图，对于函数f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞). (1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝＝2； (2)当<a时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋； (3)当>b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋. 因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值. 典例.函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.  命题点3　常数代换法 典例.(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是(　　) A.＝1 B.ab的最大值为4 C.2a＋b的最小值为3＋2 D.的最小值为2 命题点4　消元法 典例.已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 命题点5　构造不等式法 典例.(多选)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是(　　) A.a2＋b2的最小值为2 B.a＋b的最大值为2 C.的最小值为2 D.lg a＋lg b<0 【变式训练】 变式1.(多选)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A.ab的最大值为 B.的最小值为9 C.a2＋b2的最小值为 D.的最小值为6 变式2.(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是(　　) A.a＋b≤8 B.ab≥16 C.a＋3b≥4＋6 D.≥ 题型三　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例1.(1)若不等式≥恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 例2.若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－1<m<4} B.{m|m<－4或m>1} C.{m|－4<m<1} D.{m|m<－1或m>4} 【变式训练】 变式1.(1)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 变式2.已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(－∞，4＋6) B.(6＋4，＋∞) C.(－∞，7＋4) D.(8＋4，＋∞) 题型四　基本不等式的实际应用 例1.随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计). (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和). 思维升华　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 【变式训练】某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为(　　) A.12 B.14 C.22 D.60 题型五　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例1.(1)设a>0，b>0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则的最小值为(　　) A.6 B.8 C.9 D.12 例2.(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 【变式训练】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sin B的取值范围是　　　　　　.  【拓展训练】柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). (2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). (3)(a＋b)(c＋d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 3.一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(＋…＋)(＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋ anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立. 4.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立). 典例1.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　) A.－5 B.－6 C.3 D.4 典例2.设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为　　　　　　.  典例1.若x>0，y>0，＝2，则6x＋5y的最小值为　　　　　　.  典例2.已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.4　基本不等式 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 基本不等式 2024·北京卷， 2021·全国乙卷， 2021·全国新Ⅰ卷 理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”，能正确处理常数“1”求最值，能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值，能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值。 【知识梳理】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【名师点拨】 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　　) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)不等式ab≤成立的条件是a，b∈R，≥成立的条件是a≥0，b≥0. (2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 故函数y＝x＋无最小值. (3)由于sin x＝时sin x＝2无解， 故sin x＋的最小值不为4. (4)“＋≥2”的充要条件是“xy＞0”. 2.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 【答案】C 【解析】当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 3.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若x<0，则x＋≤－2 B.若x>0，则x－≤－2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.x2＋≥1 【答案】ACD 【解析】当x<0时有－x>0， 则x＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，A选项正确； 当x>0时，y＝x－单调递增，其值域为R，B选项错误； 若x∈R且x≠0，则＝|x|＋≥2＝2， 当且仅当|x|＝，即x＝－1或x＝1时等号成立，C选项正确； x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1， 当且仅当x2＋1＝，即x＝0时等号成立，D选项正确. 4.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，则的最小值为　　　　　　.  【答案】5＋2 【解析】(2x＋3y)＝5＋≥5＋2，当且仅当，即x＝，y＝时等号成立. 【解题技巧】 1.灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立). 2.谨防两个易误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 【必练核心题型】 题型一　基本不等式的理解及常见变形 例1.(多选)下列说法不正确的是(　　) A.x＋的最小值是4 B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的 C.的最小值为2 D.存在a，使得a＋<2成立 【答案】ABC 【解析】对于A，当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)， 当x<0时，x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故A错误； 对于B，ab≤恒成立，而≤成立的条件为a>0，b>0，故B错误； 对于C，y＝≥2，等号成立的条件是，即x2＋2＝1，显然不能取到，故C错误； 对于D，存在a＝－1，使得a＋<2成立，故D正确. 例2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 【答案】C 【解析】∵0<a<b，∴2b>a＋b， ∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. 故b>>>a. 【解题技巧】 基本不等式的常见变形 (1)ab≤≤. (2)≤≤≤(a>0，b>0). 【变式训练】 变式1.已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵a>b>0，则a2＋b2>2ab， ∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab， ∴2(a2＋b2)>(a＋b)2， ∴>，∴由p可推出q； 当a<0，b<0时，q也成立， 如a＝－1，b＝－3时，＝5>＝4， ∴由q推不出p， ∴p是q成立的充分不必要条件. 变式2.(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.4ab≤(a＋b)2 B.≤ C.≤ D.ab≤ 【答案】ABD 【解析】A选项，4ab－(a＋b)2＝－(a－b)2≤0，即4ab≤(a＋b)2，故A选项正确； B选项，当a＋b>0时，>0，则≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； C选项，当a＋b>0时，2ab－≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误； D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确. 题型二　基本不等式的性质 命题点1　直接法 例2.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 【答案】D 【解析】方法一　由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2， 当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2. 方法二　x2＋2y2＝≥2，当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2. 例2.当0<x<1时，3x(3－3x)的最大值为　　　　　　.  【答案】 【解析】由题意及基本不等式可知 3x(3－3x)≤， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号. 命题点2　配凑法 例1.函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】因为x∈(－1，＋∞)，则x＋1>0， 则f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8， 当且仅当即x＝时，等号成立， 故函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为8. 例2.(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.  【答案】2＋1 【解析】由a>0，b>0，＝1， 得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2 ＝[(a＋1)＋(b＋1)]－2 ＝＋1≥2＋1 ＝2＋1， 当且仅当，即a＝，b＝＋1时取等号，所以a＋b的最小值为2＋1. 【拓展训练】与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 如图，对于函数f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞). (1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝＝2； (2)当<a时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋； (3)当>b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋. 因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值. 典例.函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.  【答案】 【解析】由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2， 令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2， 由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝， 即当x＝0时，f(x)min＝. 命题点3　常数代换法 典例.(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是(　　) A.＝1 B.ab的最大值为4 C.2a＋b的最小值为3＋2 D.的最小值为2 【答案】ACD 【解析】因为a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0. 对于A，因为(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得＝1，A正确； 对于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以≥2，ab≥4， 所以ab的最小值为4，B错误； 对于C，2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2，C正确； 对于D，因为(a－1)(b－1)＝1，所以≥2＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，D正确. 命题点4　消元法 典例.已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 【答案】B 【解析】因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0， 所以x＝， 则2x＋y＝＋y＝≥2， 当且仅当，即y＝时，等号成立， 所以2x＋y的最小值是. 命题点5　构造不等式法 典例.(多选)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是(　　) A.a2＋b2的最小值为2 B.a＋b的最大值为2 C.的最小值为2 D.lg a＋lg b<0 【答案】BC 【解析】对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，当且仅当a＝b时等号成立，则a2＋b2≤2，故A不正确； 对于B，由ab≤≤≤1，当且仅当a＝b时等号成立，得≤1，即a＋b≤2，故B正确； 对于C，由，因为0<ab≤1，所以≥1， 当＝1时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，因为0<ab≤1，所以lg a＋lg b＝lg(ab)≤0，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故D不正确. 【解题技巧】 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法. 【变式训练】 变式1.(多选)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A.ab的最大值为 B.的最小值为9 C.a2＋b2的最小值为 D.的最小值为6 【答案】BCD 【解析】对于A，1＝a＋b≥2⇒ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故A错误； 对于B，(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当即a＝，b＝时取等号，故B正确； 对于C，a2＋b2≥， 当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确； 对于D，＝2＋≥2＋2＝6，当且仅当即b＝，a＝时取等号，故D正确. 变式2.(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是(　　) A.a＋b≤8 B.ab≥16 C.a＋3b≥4＋6 D.≥ 【答案】BCD 【解析】对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t， 则t2－4t－32≥0， 解得t≥8或t≤－4， 因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A项错误； 对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2， 当且仅当a＝b时等号成立， 不妨设＝s，则s2－2s－8≥0， 解得s≥4或s≤－2， 因为s>0，则s≥4， 即ab≥16，故B项正确； 对于选项C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝， 则a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6， 当且仅当＝3(b－1)，即b＝＋1，a＝3＋1时取等号，a＋3b有最小值4＋6，故C项正确； 对于选项D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0， 则≥2，当且仅当时等号成立， 由解得 即当且仅当a＝，b＝7时，有最小值，故D项正确. 题型三　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例1.(1)若不等式≥恒成立，则实数m的最大值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 【答案】D 【解析】由题意≥m恒成立，即5＋≥m恒成立. 又5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时取等号. 故实数m的最大值为9. 例2.若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－1<m<4} B.{m|m<－4或m>1} C.{m|－4<m<1} D.{m|m<－1或m>4} 【答案】D 【解析】∵不等式x＋<m2－3m有解， ∴<m2－3m，∵x>0，y>0，＝1， ∴x＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当，即x＝2，y＝8时等号成立， ∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0， ∴m<－1或m>4， ∴实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}. 【解题技巧】 ∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； ∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. 【变式训练】 变式1.(1)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】因为x>－1，x＋1>0， 所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1， 当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号， 所以x＋有最小值2－1， 因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2－1≥3， 解得a≥4，所以a的最小值为4. 变式2.已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(－∞，4＋6) B.(6＋4，＋∞) C.(－∞，7＋4) D.(8＋4，＋∞) 【答案】C 【解析】因为(x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0， 所以xy＝2x＋y，即＝1， 所以由基本不等式可得 3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋≥7＋2＝7＋4， 当且仅当 即时等号成立， 综上所述，3x＋2y的最小值为7＋4. 因为不等式3x＋2y>m恒成立， 所以实数m的取值范围是(－∞，7＋4). 题型四　基本不等式的实际应用 例1.随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计). (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和). 解析　 (1)设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·＝v＋－20(60≤v≤120)， 易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增， 所以f(v)min＝f(60)＝>75－5， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 所以该车不能在不充电的情况下到达B地. (2)设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h. 若能到达B地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量， 即75＋15t2－f(v)≥5， 解得t2≥－6. 所以t＝t1＋t2≥－6＝－6≥2－6＝. 当且仅当，即v＝100时取等号， 所以该汽车到达B地的最少用时为 h. 思维升华　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 【变式训练】某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为(　　) A.12 B.14 C.22 D.60 【答案】B 【解析】由题意可得8x≤(180－x)·8·(1＋5x%)，化简可得a≤＋8， 因为＋8≥2＋8＝14， 当且仅当，即x＝60时等号成立， 所以a≤14，即a的最大值为14. 题型五　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例1.(1)设a>0，b>0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则的最小值为(　　) A.6 B.8 C.9 D.12 【答案】B 【解析】∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项， ∴2ln ＝ln 3a＋ln 9b， 即ln 3＝ln(3a·9b)＝ln 3a＋2b＝(a＋2b)ln 3， ∴a＋2b＝1，又a>0，b>0， ∴(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8， 当且仅当，即a＝，b＝时等号成立. 例2.(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】方法一　设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得 d＝， 显然当λ<0时，有最大值， 此时－， 因为(－λ)＋≥2＝2，当且仅当λ＝－1时等号成立， 所以≤＝1，所以dmax＝. 方法二　直线l恒过定点(1，－1)，故原点到直线l距离的最大值为. 思维升华　基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 【变式训练】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sin B的取值范围是　　　　　　.  【答案】 【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c， 所以cos B＝. 因为a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，所以3(a2＋c2)－2ac≥4ac>0， 所以cos B＝≥. 又y＝cos x在区间(0，π)上单调递减， 所以0<B≤，所以0<sin B≤. 【拓展训练】柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). (2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). (3)(a＋b)(c＋d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 3.一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(＋…＋)(＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋ anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立. 4.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立). 典例1.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　) A.－5 B.－6 C.3 D.4 【答案】A 【解析】∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12， ∴＝1， ∴(16＋9)≥， 即－5≤2x＋y≤5，当且仅当3x＝8y， 即当时，左边取等号， 当时，右边取等号， ∴z＝2x＋y的最小值是－5. 典例2.设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为　　　　　　.  【答案】4 【解析】∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)， ∴a·b＝x－2y. 由柯西不等式的向量形式可得 [12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2， 即5×16≥(x－2y)2， ∴－4≤x－2y≤4， (*) 当且仅当b＝ka， 即时，(*)式中右边等号成立， 或时，(*)式中左边等号成立， ∴当x＝，y＝－时，a·b的最大值为4. 【拓展训练】权方和不等式 1.二维形式：已知x，y，a，b均为正数，则有≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立). 2.一般形式：设ai，bi均为正数(i＝1，2，…，n)，实数m>0，则≥，当且仅当＝…＝时等号成立，称之为权方和不等式.m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 典例1.若x>0，y>0，＝2，则6x＋5y的最小值为　　　　　　.  【答案】＋2 【解析】≥，即2≥， 因为x>0，y>0，则6x＋5y≥＋2， 当且仅当， 即x＝，y＝时取等号. 典例2.已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为　　　　　　.  【答案】 【解析】≥， 当且仅当， 即x＝y＝z＝时取等号. 学科网（北京）股份有限公司 $$