第一章 §1.3　等式性质与不等式性质（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.3　等式性质与不等式性质 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 不等式的性质 1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系。 2. 本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。 考点2 解不等式 2024·全国新Ⅰ卷， 2024·上海卷， 2023·全国新Ⅰ卷 【知识梳理】 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)对称性：如果a＝b，那么b＝a； (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； (5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 3.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 【名师点拨】 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，则a>b⇔<. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b⇔ac3＞bc3.(　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)a<x<b<0⇒<<.(　　) 2.(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则> 3.设M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M＝N C.M<N D.无法确定 4.若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是　　　　　　.  【必练核心题型】 题型一　数(式)的大小比较 例1.(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2－2x>－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0) 例2.若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则(　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 【变式训练】 变式1.已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x＝y C.x<y D.x，y的关系随c而定 变式2.(多选)若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A.> B.< C.a>>b D.a＋>b＋ 题型二　不等式的基本性质 例1.(多选)已知实数a，b，c，d，则下列命题中错误的是(　　) A.若a>b，则ac>bc B.若a>b，c>d，则a－c>b－d C.若b<a<0，则> D.若a>b，c>d，则ac<bd 例2.(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A.a2>ab B.> C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－ 变式1.设a，b∈R，则“a<b<0”是“>”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式2.(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是(　　) A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d) C.< D.ac＋bd>ad＋bc 题型三　不等式性质的综合应用 例1.(多选)已知－1<a<5，－3<b<1，则下列结论正确的是(　　) A.－15<ab<5 B.－4<a＋b<6 C.－2<a－b<8 D.－<<5 例2.公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0<b<a)，现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 变式1.已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－b的取值范围是(　　) A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8) 变式2.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比(　　) A.不变 B.变小 C.变大 D.变化不确定 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.3　等式性质与不等式性质 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 不等式的性质 1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系。 2. 本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。 考点2 解不等式 2024·全国新Ⅰ卷， 2024·上海卷， 2023·全国新Ⅰ卷 【知识梳理】 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)对称性：如果a＝b，那么b＝a； (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； (5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 3.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 【名师点拨】 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，则a>b⇔<. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b⇔ac3＞bc3.(　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)a<x<b<0⇒<<.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)由不等式的性质，ac3＞bc3⇒/ a＞b； 反之，c≤0时，a＞b⇒/ ac3＞bc3. (2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc； 反之，c＝0时，ac＝bc⇒/ a＝b. (3)a＝－3，b＝－1，则>1，但a<b. 2.(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则> 【答案】ABD 【解析】C中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误. 3.设M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M＝N C.M<N D.无法确定 【答案】A 【解析】因为M－N＝(2a2＋5a＋4)－(a＋1)(a＋3)＝a2＋a＋1＝>0，所以M>N. 4.若实数a，b满足0<a<2，0<b<1，则a－b的取值范围是　　　　　　.  【答案】(－1，2) 【解析】∵0<b<1，∴－1<－b<0，∵0<a<2，∴－1<a－b<2. 【解题技巧】 1.熟练应用两个倒数性质 (1)a<0<b⇒<； (2)ab>0，a>b⇒<. 2.牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则： (1)<； (2)>(b－m>0)； (3)>； (4)<(b－m>0). 【必练核心题型】 题型一　数(式)的大小比较 例1.(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2－2x>－3(x∈R) B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0) 【答案】AD 【解析】∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； 用作差法比较， ∵b>a>0，∴>0， ∴<，故D正确. 例2.若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则(　　) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 【答案】A 【解析】因为实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则m>0，n>0，p>0， 所以·<1，所以m<n； 又·>1，所以m>p. 所以p<m<n. 【解题技巧】 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 【变式训练】 变式1.已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x＝y C.x<y D.x，y的关系随c而定 【答案】C 【解析】方法一　由题设，易知x>0，y>0，又<1，∴x<y. 方法二　设f(x)＝，定义域为[1，＋∞)， 则f(x)＝，故f(x)为减函数， 又c＋1>c>1，则f(c＋1)<f(c)，即x<y. 变式2.(多选)若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A.> B.< C.a>>b D.a＋>b＋ 【答案】ACD 【解析】对于A，因为a>b>0，所以>0，故A正确； 对于B，>1>>0，故B错误； 对于C，a>b>0，>1，所以a>，因为>1，所以>b，所以a>>b，故C正确； 对于D，a＋－b－＝(a－b)>0，故D正确. 题型二　不等式的基本性质 例1.(多选)已知实数a，b，c，d，则下列命题中错误的是(　　) A.若a>b，则ac>bc B.若a>b，c>d，则a－c>b－d C.若b<a<0，则> D.若a>b，c>d，则ac<bd 【答案】ABD 【解析】对于A，当c＝0时，ac＝bc，故A错误； 对于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但a－c＝b－d，故B错误； 对于C，若b<a<0，则－b>－a>0，所以<，则>，故C正确； 对于D，取a＝3，b＝－5，c＝1，d＝－，此时ac>bd，故D错误. 例2.(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A.a2>ab B.> C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－ 【答案】ABD 【解析】对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确； 对于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正确； 对于C，令a＝1，b＝，则a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C错误； 对于D，易得y＝x－(x>0)为增函数，且a>b>0，故a－>b－，故D正确. 【解题技巧】 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项. (3)作差法. (4)构造函数，利用函数的单调性. 变式1.设a，b∈R，则“a<b<0”是“>”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】充分性：由a<b<0，可得－a>－b>0，则(－a)2>(－b)2>0， 即a2>b2>0，两边同乘，可得<，不满足充分性； 必要性：取特殊值a＝1，b＝2，满足>，但不满足a<b<0，不满足必要性，所以“a<b<0”是“>”的既不充分也不必要条件. 变式2.(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是(　　) A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d) C.< D.ac＋bd>ad＋bc 【答案】BCD 【解析】对于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，则ad＝bc，故A错误； 对于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，则a(a＋c)>b(b＋d)，故B正确； 对于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd， 且<等价于<， 等价于>，等价于ac>bd，故C正确； 对于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0， 则ac＋bd>ad＋bc，故D正确. 题型三　不等式性质的综合应用 例1.(多选)已知－1<a<5，－3<b<1，则下列结论正确的是(　　) A.－15<ab<5 B.－4<a＋b<6 C.－2<a－b<8 D.－<<5 【答案】ABC 【解析】因为－1<a<5，－3<b<1， 所以－1<－b<3， 对于A，当0≤a<5，0≤b<1时，0≤ab<5； 当0≤a<5，－3<b<0时，0<－b<3， 则0≤－ab<15，即－15<ab≤0； 当－1<a<0，0≤b<1时，0<－a<1， 则0≤－ab<1，即－1<ab≤0； 当－1<a<0，－3<b<0时，0<－a<1，0<－b<3，则0<ab<3， 综上，－15<ab<5，故A正确； 对于B，－1－3＝－4<a＋b<5＋1＝6，故B正确； 对于C，－1－1＝－2<a－b<5＋3＝8，故C正确； 对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误. 例2.公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0<b<a)，现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 【答案】D 【解析】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， 则， 所以与的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定. 【解题技巧】 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 变式1.已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－b的取值范围是(　　) A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8) 【答案】D 【解析】由题意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8. 变式2.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比(　　) A.不变 B.变小 C.变大 D.变化不确定 【答案】C 【解析】设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a， 则屏占比为(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为，∵a>b>0， ∴>0， 即该手机“屏占比”和升级前比变大. 学科网（北京）股份有限公司 $$