第一章 §1.2　常用逻辑用语（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.2　常用逻辑用语 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1充分条件与必要条件 2024·全国甲卷、2024·天津卷、2024·北京卷、2023·北京卷、2023·全国甲卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国甲卷 常以关联的知识点作为命题背景，考查充分条件与必要条件，难度随载体而定。 考点1 全称量词与存在量词 2024·全国新Ⅱ卷、2020·全国新Ⅰ卷、2016·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·湖北卷 全称量词命题和存在量词命题的否定及参数求解是高考复习和考查的重点。 【知识梳理】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 【名师点拨】 1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 4.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　) (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　) (4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　) 2.(2025·南通模拟)命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”的否定为(　　) A.∀x∈R，2x2-3x+4≤0 B.∃x∈R，2x2-3x+4>0 C.∃x∉R，2x2-3x+4≤0 D.∃x∈R，2x2-3x+4≤0 3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设p：1≤x≤4，q：x<m，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　.  【必练核心题型】 题型一　充分、必要条件的判定 例1.(2025·福州模拟)设直线l1：(a+1)x+a2y-3=0，l2：2x+ay-2a-1=0，则“a=0”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例2.(2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式训练】 变式1.(2024·海口市海南中学模拟)“θ=+2kπ”是“cos θ=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式2.(2024·山东联考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.设甲：d>0；乙：{Sn}是递增数列，则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型二　充分、必要条件的应用 例1.已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  例2.已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数).若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【变式训练】 变式1.已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A.[0，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，0] D.(-∞，1] 变式2.设p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  题型三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 例1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 命题点2　含量词的命题的真假判断 例2.(多选)下列命题中，为真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x-1>0 B.∃x∈R，x2+1<2x C.∀xy>0，x+y≥2 D.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y 例3.(2025·台州模拟)若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　.  【变式训练】 变式1.(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 变式2.已知命题“∃x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.2　常用逻辑用语 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1充分条件与必要条件 2024·全国甲卷、2024·天津卷、2024·北京卷、2023·北京卷、2023·全国甲卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国甲卷 常以关联的知识点作为命题背景，考查充分条件与必要条件，难度随载体而定。 考点1 全称量词与存在量词 2024·全国新Ⅱ卷、2020·全国新Ⅰ卷、2016·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·湖北卷 全称量词命题和存在量词命题的否定及参数求解是高考复习和考查的重点。 【知识梳理】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 【名师点拨】 1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 4.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　) (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　) (4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 【解析】(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题. 2.(2025·南通模拟)命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”的否定为(　　) A.∀x∈R，2x2-3x+4≤0 B.∃x∈R，2x2-3x+4>0 C.∃x∉R，2x2-3x+4≤0 D.∃x∈R，2x2-3x+4≤0 【答案】D 【解析】命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是“∃x∈R，2x2-3x+4≤0”. 3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 4.设p：1≤x≤4，q：x<m，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】由p是q的充分条件，且p：1≤x≤4，q：x<m， 可得{x|1≤x≤4}是{x|x<m}的子集， 所以m>4. 【名师点拨】 1.谨记两个常用结论 (1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. (2)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 2.理清一个关系 “A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同. 【必练核心题型】 题型一　充分、必要条件的判定 例1.(2025·福州模拟)设直线l1：(a+1)x+a2y-3=0，l2：2x+ay-2a-1=0，则“a=0”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为l1∥l2，则a(a+1)=2a2，解得a=0或a=1. 若a=0，则l1：x-3=0，l2：2x-1=0，两直线平行，符合题意； 若a=1，则l1：2x+y-3=0，l2：2x+y-3=0，两直线重合，不符合题意. 综上所述，l1∥l2等价于a=0. 所以“a=0”是“l1∥l2”的充要条件. 例2.(2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由(a+b)·(a-b)=0， 得a2-b2=0， 即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|， 当a=(1，1)，b=(-1，1)时， |a|=|b|，但a≠b且a≠-b， 故充分性不成立； 当a=-b或a=b时， (a+b)·(a-b)=0， 故必要性成立. 所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. 【解题技巧】 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 【变式训练】 变式1.(2024·海口市海南中学模拟)“θ=+2kπ”是“cos θ=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若θ=+2kπ，则cos θ=cos=cos =，k∈Z，充分性成立； 若cos θ=，则θ=+2kπ或θ=-+2kπ，k∈Z，必要性不成立，所以“θ=+2kπ”是“cos θ=”的充分不必要条件. 变式2.(2024·山东联考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.设甲：d>0；乙：{Sn}是递增数列，则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若公差d>0，如数列-10，-9，-8，-7，…，0，1，2，…，则数列的前n项和Sn先减后增； 若{Sn}是递增数列，如Sn=n，则an=1，{an}为常数列也为等差数列，且d=0； 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 题型二　充分、必要条件的应用 例1.已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】(-∞，1)　(-∞，1] 【解析】因为p：x≤1，q：x≤a， 若p是q的必要不充分条件，则(-∞，a] (-∞，1]，因此a<1， 即实数a的取值范围是(-∞，1). 若p是q的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]， 因此a≤1，即实数a的取值范围是(-∞，1]. 例2.已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数).若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】[1，+∞) 【解析】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a. 设A={x|-3≤x≤1}，B={x|x≤a}， 若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q¬p， 所以集合A={x|-3≤x≤1}是集合B={x|x≤a}的真子集. 所以a≥1. 【解题技巧】 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【变式训练】 变式1.已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A.[0，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，0] D.(-∞，1] 【答案】C 【解析】由>1可得x(x-1)<0，解得0<x<1， 记A={x|0<x<1}，B={x|x>m}， 若p是q的充分条件， 则A是B的子集，所以m≤0， 所以实数m的取值范围是(-∞，0]. 变式2.设p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  【答案】[0，1] 【解析】p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p是q的充分不必要条件，则 且两等号不能同时取到，解得0≤m≤1. 题型三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 例1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确； 对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确； 对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误； 对于D，因为A=B时，sin A=sin B成立，而sin A=sin B时，A=B不一定成立，如A=，B=，故“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D错误. 命题点2　含量词的命题的真假判断 例2.(多选)下列命题中，为真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x-1>0 B.∃x∈R，x2+1<2x C.∀xy>0，x+y≥2 D.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y 【答案】AD 【解析】对于A项，∀x∈R，>0，A项正确； 对于B项，∵x2+1-2x=(x-1)2≥0，∴x2+1≥2x，B项错误； 对于C项，当x<0，y<0时，x+y<0<2，C项错误； 对于D项，取x=y=0，则sin(x+y)=sin 0=0=sin 0+sin 0=sin x+sin y，D项正确. 命题点3　含量词的命题的应用 例3.(2025·台州模拟)若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】方法一　原命题的否定“∃x∈R，x2-x-m=0”为真命题， ∴Δ=1+4m≥0，解得m≥-， ∴实数m的取值范围是. 方法二　若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是真命题， 则Δ=1+4m<0，解得m<-， 故当原命题为假命题时，m≥-， ∴实数m的取值范围是. 【解题技巧】 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 【变式训练】 变式1.(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 【答案】B 【解析】对于命题p，取x=-1， 则有|x+1|=0<1， 故p是假命题，¬p是真命题， 对于命题q，取x=1， 则有x3=13=1=x， 故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. 变式2.已知命题“∃x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】(-∞，-4] 【解析】由题意得，“∀x∈[-1，2]，x2-3x+a≤0”是真命题，则a≤-x2+3x对∀x∈[-1，2]恒成立，在区间[-1，2]上，-x2+3x的最小值为-(-1)2+3×(-1)=-4，所以a≤(-x2+3x)min=-4，即a的取值范围是(-∞，-4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$