专题03 解三角形10考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题03 解三角形10考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，解三角形是三角函数与平面几何知识的重要交汇点，是历年高考的重点考查内容之一。它以三角形为载体，综合考查学生对正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识的理解与运用能力。这部分内容不仅能检验学生对基础知识的掌握程度，还能考查学生的逻辑推理、数学运算以及数学建模等核心素养，在高考数学试卷中占据着较为重要的分值比重，常以选择题、填空题和解答题的形式出现 。 【处理角度】 1. 知识关联角度：将解三角形问题与三角函数的性质、诱导公式、两角和差公式等紧密联系起来。利用三角函数知识对已知条件进行化简和变形，从而找到解题的突破口。 2. 方程思想角度：把三角形的边和角看作方程中的未知数，通过正弦定理、余弦定理建立关于边与角的方程或方程组，进而求解边和角的值。 3. 几何图形角度：充分利用三角形的几何性质，如大边对大角、内角和为 180° 等，结合图形直观分析问题，帮助理解题意和确定解题思路。 4. 分类讨论角度：当题目条件不明确或存在多种情况时，如三角形解的个数问题，需要进行分类讨论，全面考虑各种可能情况，避免漏解或错解。 【解法策略】 1. 用余弦定理解三角形：若已知三角形的两边及其夹角，或者已知三边，可直接运用余弦定理来求解三角形的其他边或角。通过将已知条件代入余弦定理公式，建立方程求解。 2. 用正弦定理解三角形：当已知三角形的两角及一边，或者已知两边及其中一边的对角时，优先考虑使用正弦定理。根据正弦定理的比例关系，将边与角的关系相互转化，从而求解未知的边或角。 3. 判断三角形解的个数：根据已知条件，结合正弦定理和余弦定理，通过分析边与角的大小关系、三角函数值的范围等因素，来确定三角形解的个数。需要注意可能出现无解、一解或两解的情况。 4. 判断三角形形状：利用正弦定理、余弦定理将已知条件中的边与角进行相互转化，再结合三角函数的性质、等式变形等方法，分析三角形三边或三角之间的关系，从而判断三角形的形状，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。 5. 三角形的面积、周长问题：计算三角形面积时，根据已知条件选择合适的面积公式，如已知两边及其夹角时，使用S=absinC等公式。求周长则是将三边相加，在求解过程中，常结合正弦定理、余弦定理以及三角函数的相关知识进行边与角的转化和计算。 6. 三角形中几何量的计算：涉及三角形中中线、角平分线、高线等几何量的计算时，综合运用正弦定理、余弦定理、向量知识以及三角形的面积公式等。通过建立几何量与边、角之间的关系，构建等式进行求解。 7. 三角形中最值与范围问题：通常利用正弦定理、余弦定理将边或角转化为三角函数的形式，再结合三角函数的单调性、值域以及基本不等式等知识，确定所求量的取值范围或最值。 8. 求距离：在测量距离的实际问题中，构建三角形模型，将实际距离转化为三角形的边。根据已知条件，选择正弦定理或余弦定理，通过解三角形来计算出所求的距离。 9. 求高度：与求距离类似，把测量高度的问题转化为解三角形问题。通过在不同的三角形中，利用已知的角度和边长，运用正弦定理、余弦定理以及三角函数的定义，求出物体的高度。 10. 求角度：依据已知条件，运用正弦定理、余弦定理将边的关系转化为角的关系，或者利用三角函数的性质、诱导公式、两角和差公式等，求解三角形中的角度。 考点1 用余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，已知，则角（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．【多选】（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12B． C． D． 考点2 用正弦定理解三角形 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·一模）已知的角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高一下·北京·期中）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，，若最长边的长为，则最短边的长为（   ） A．1 B． C． D．2 考点3 三角形解的个数 10．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 考点4 判断三角形形状 14．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 15．（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 16．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 17．（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 18．（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 考点5 三角形的面积、周长问题 19．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（    ） A．2 B．4 C． D．3 20．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（    ） A．8 B． C． D．4 21．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·新疆昌吉·阶段练习）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在中，，，且的面积为，则的周长为（  ） A．15 B．12 C．16 D．20 24．（23-24高二下·重庆·期中）已知分别表示中内角A，B，C所对边的长，其中，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 25．（24-25高一下·重庆万州·期中）记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 26．（21-22高二上·河南南阳·期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，，，则的周长为（    ） A．56 B．60 C．64 D．66 27．（22-23高三上·河南驻马店·阶段练习）钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（    ） A．9 B． C．6 D． 考点6 三角形中几何量的计算 28．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）在△ABC中，内角的对边分别为，，，，为BC边上一点，且，则（    ） A．3 B． C． D． 29．（2025高三·全国·专题练习）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．7 30．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 33．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 34．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 35．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 考点7 三角形中最值与范围问题 36．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在中，的对边分别是，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 40．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 41．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．（22-23高三上·贵州遵义·期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点8 求距离 43．（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，为了测量两山顶、间的距离，飞机沿水平方向在、两点进行测量，、、、在同一个铅垂平面内. 在点测得、的俯角分别为和，在点测得、的俯角分别为和，，则为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一下·河南·期中）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则（    ） A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米 46．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 考点9 求高度 47．（24-25高一下·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 48．（24-25高一下·江苏·期中）镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（   ） A．320m B．340m C．360m D．380m 49．（24-25高一下·江苏苏州·期中）小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（    ）m．    A． B． C． D． 50．（24-25高一下·天津·期中）天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”.如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则津沽棒的高度（   ）米    A． B．260 C． D． 51．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）芜湖中江塔始建于明万历四十六年（1618年），清代康熙八年（1669年）续建落成.古时候，人们把长江的从九江至京口（镇江）一段，称为中江，而芜湖适得其处，故有中江之名，中江塔也由此得名.中江塔每层每面均有一门，门两边各有一窗，专供夜间置灯，导航来往船只，故中江塔通常被当作芜湖的城市名片和地标建筑.如图，某同学为测量中江塔的高度，在中江塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部和中江塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则中塔的高度约为（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·重庆·期中）解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点的仰角为，且，则解放碑的高约为（    ）（参考数据：）     A． B． C． D． 考点10 求角度 53．（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 54．（24-25高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 55．（24-25高一下·江西南昌·期中）两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 56．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A．4 B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北沧州·期中）的内角的对边分别为，已知，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 5．（24-25高一下·福建厦门·期中）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 7．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 8．（24-25高一下·河南·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·河南·期中）已知在中，角所对的边分别为，则根据下列条件能确定为钝角的是（   ） A． B． C．均为锐角，且 D． 10．（24-25高一下·江苏常州·期中）中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（   ） A．若是中线，则 B．若是高，则 C．若是的角平分线，则 D．若，则是线段的一个三等分点 11．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（   ） A．当，，时，满足条件的三角形共有1个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，则三角形为等腰三角形 12．（24-25高一下·重庆江北·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为，满足，的面积为6，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，且有一解，则的取值范围为 C．若，且，为的内心，则 D．若，则的取值范围为 14．（24-25高一下·广东江门·期中）《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦面积公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（   ） A．的周长为 B．三个内角，，满足 C．外接圆的半径为 D．的中线的长为 三、填空题 15．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为 ． 16．（24-25高一下·广东江门·期中）如图，与存在对顶角，，且，（1）则的长 ；（2）若，则的长 . 17．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知四边形中，，，则 .设与面积分别为，.的最大值为 . 18．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 19．（24-25高一下·山西临汾·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则 ；的外接圆的圆心是，则的最大值为 ． 四、解答题 20．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，、、分别为角、、所对应的边，已知，，. (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的长. 21．（24-25高一下·湖南常德·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)若，求的外接圆的周长； (2)若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 22．（24-25高一下·重庆江北·期中）如图，在平面四边形中，，，记，． (1)求的值； (2)若的面积为，的面积为，求的最大值． 23．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？ 24．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 25．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高一下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题03 解三角形10考点复习指南 【问题背景】 在高考数学中，解三角形是三角函数与平面几何知识的重要交汇点，是历年高考的重点考查内容之一。它以三角形为载体，综合考查学生对正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识的理解与运用能力。这部分内容不仅能检验学生对基础知识的掌握程度，还能考查学生的逻辑推理、数学运算以及数学建模等核心素养，在高考数学试卷中占据着较为重要的分值比重，常以选择题、填空题和解答题的形式出现 。 【处理角度】 1. 知识关联角度：将解三角形问题与三角函数的性质、诱导公式、两角和差公式等紧密联系起来。利用三角函数知识对已知条件进行化简和变形，从而找到解题的突破口。 2. 方程思想角度：把三角形的边和角看作方程中的未知数，通过正弦定理、余弦定理建立关于边与角的方程或方程组，进而求解边和角的值。 3. 几何图形角度：充分利用三角形的几何性质，如大边对大角、内角和为 180° 等，结合图形直观分析问题，帮助理解题意和确定解题思路。 4. 分类讨论角度：当题目条件不明确或存在多种情况时，如三角形解的个数问题，需要进行分类讨论，全面考虑各种可能情况，避免漏解或错解。 【解法策略】 1. 用余弦定理解三角形：若已知三角形的两边及其夹角，或者已知三边，可直接运用余弦定理来求解三角形的其他边或角。通过将已知条件代入余弦定理公式，建立方程求解。 2. 用正弦定理解三角形：当已知三角形的两角及一边，或者已知两边及其中一边的对角时，优先考虑使用正弦定理。根据正弦定理的比例关系，将边与角的关系相互转化，从而求解未知的边或角。 3. 判断三角形解的个数：根据已知条件，结合正弦定理和余弦定理，通过分析边与角的大小关系、三角函数值的范围等因素，来确定三角形解的个数。需要注意可能出现无解、一解或两解的情况。 4. 判断三角形形状：利用正弦定理、余弦定理将已知条件中的边与角进行相互转化，再结合三角函数的性质、等式变形等方法，分析三角形三边或三角之间的关系，从而判断三角形的形状，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。 5. 三角形的面积、周长问题：计算三角形面积时，根据已知条件选择合适的面积公式，如已知两边及其夹角时，使用S=absinC等公式。求周长则是将三边相加，在求解过程中，常结合正弦定理、余弦定理以及三角函数的相关知识进行边与角的转化和计算。 6. 三角形中几何量的计算：涉及三角形中中线、角平分线、高线等几何量的计算时，综合运用正弦定理、余弦定理、向量知识以及三角形的面积公式等。通过建立几何量与边、角之间的关系，构建等式进行求解。 7. 三角形中最值与范围问题：通常利用正弦定理、余弦定理将边或角转化为三角函数的形式，再结合三角函数的单调性、值域以及基本不等式等知识，确定所求量的取值范围或最值。 8. 求距离：在测量距离的实际问题中，构建三角形模型，将实际距离转化为三角形的边。根据已知条件，选择正弦定理或余弦定理，通过解三角形来计算出所求的距离。 9. 求高度：与求距离类似，把测量高度的问题转化为解三角形问题。通过在不同的三角形中，利用已知的角度和边长，运用正弦定理、余弦定理以及三角函数的定义，求出物体的高度。 10. 求角度：依据已知条件，运用正弦定理、余弦定理将边的关系转化为角的关系，或者利用三角函数的性质、诱导公式、两角和差公式等，求解三角形中的角度。 考点1 用余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，已知，则角（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，∵， ， ∴由余弦定理可得：. ，. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，故. 故选：D. 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用余弦定理代入计算即可. 【详解】因为，则设，则，， 所以． 故选：D. 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值. 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D. 5．【多选】（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可. 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 考点2 用正弦定理解三角形 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 7．（2025·重庆·一模）已知的角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故选：D. 8．（24-25高一下·北京·期中）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得可得. 故选：A 9．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，，若最长边的长为，则最短边的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由求出，得到，然后求出，由正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，所以为锐角，为钝角， 故，， 因为在上单调递增，，故，所以， 又，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 故选：B 考点3 三角形解的个数 10．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 11．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意有，利用正弦定理有，即可求解. 【详解】由正弦定理有， 又， 所以， 故选：B. 12．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且， 因此，所以的取值范围为. 故选：C 13．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】法一；利用正弦定理求出，再分别代入验证，求出，再结合的范围可得. 【详解】法一：在中，利用正弦定理可得，则， 若，则，因，则或（舍）， 则有一解，故A错误； 若，则，因，则或（舍），则有一解， 故B错误； 若，则，因，则，则有一解，故C错误； 若，则，因，则或， 则有两解，故D正确. 法二：利用或者可知，或， 故选：D 考点4 判断三角形形状 14．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形， 故选：B. 15．（24-25高一下·广东·阶段练习）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 16．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 17．（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 18．（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果. 【详解】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 考点5 三角形的面积、周长问题 19．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】由余弦定理求出，再由面积公式求解即可. 【详解】若，则， 由余弦定理得， 因为，所以， 则的面积是. 故选：C. 20．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由，可求出，再由结合余弦定理可求出，从而可求出的值. 【详解】因为，， 所以，得， 因为， 所以由余弦定理得，， 所以， 所以，所以， 因为，所以. 故选：D 21．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式，结合等面积法可得，，解出，进而求解即可. 【详解】由题意，AD为的平分线，， 则， 由， 则，即，① 又， 则， 则，② 由①②可得，， 所以. 故选：C. 22．（24-25高一下·新疆昌吉·阶段练习）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求得，再由面积公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 由，可得：， 所以， 解得：， 所以的面积为， 故选：C 23．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在中，，，且的面积为，则的周长为（  ） A．15 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解. 【详解】因为，，且的面积为， 所以，解得， 由余弦定理， 所以，则. 故选：A 24．（23-24高二下·重庆·期中）已知分别表示中内角A，B，C所对边的长，其中，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】由三角形面积公式可得，结合余弦定理可求得，进而可求得周长. 【详解】因为，，，，所以， 由余弦定理得，所以， 故的周长为. 故选：D. 25．（24-25高一下·重庆万州·期中）记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理化边为角化简得，进而求得，根据余弦定理求得，即可求解周长. 【详解】因为，所以， 又，则，又为锐角，所以. 由，得，解得， 则的周长为. 故选：B 26．（21-22高二上·河南南阳·期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，，，则的周长为（    ） A．56 B．60 C．64 D．66 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，然后根据余弦定理及三角恒等变换可得，根据二倍角公式结合条件可得，然后根据正弦定理结合条件即得. 【详解】由，得，即， 因为，所以，即， 由正弦定理得， 所以，即， 所以，即， 所以，化简得， 即，因为且， 所以，得， 由正弦定理知，则， 又，且， 所以，，故的周长为66. 故选：D. 27．（22-23高三上·河南驻马店·阶段练习）钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（    ） A．9 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由题知，进而结合题意得，，再根据余弦定理解方程即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以，为锐角， 所以，， 因为由余弦定理得，解得或， 因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去. 所以 所以的周长为． 故选：A 考点6 三角形中几何量的计算 28．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）在△ABC中，内角的对边分别为，，，，为BC边上一点，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解； 【详解】 根据题意得， 则，解得. 故选：D 29．（2025高三·全国·专题练习）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，得到两三角形的面积比，然后在中由三角形的面积公式可得. 【详解】 因为的面积为，，， 所以，得． 由余弦定理，得． 因为平分，所以． 又因为的面积为，所以的面积为． 所以，得． 故选：A． 30．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而结合平面向量数量积的运算律、余弦定理求解即可. 【详解】由题意，， 则， 则 ， 则，即. 故选：A. 31．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得的余弦值. 【详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以， 所以为直角三角形，且， 以为原点，建立如图直角坐标系： 所以， 所以， 所以. 故选：C 32．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 33．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值． 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，. 故选：A 34．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假． 【详解】A：设为的中线，由可得,可得， 即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确． 故选：D． 35．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用面积相等求出，再结合余弦定理可得答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值. 【详解】方法一：因为，，，所以的面积为； 因为AD是的角平分线， 所以， 解得. 在中，，， 所以 ， 即.    故选：A. 方法二：因为，所以， 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， 由是的角平分线可知，直线的方程为：， 因为，，则， 所以直线的方程为：， 联立方程组，可得， 所以， 因为E是AC的中点，所以， 所以，由两点间距离公式得，， 则DE的长度为.    故选：A. 考点7 三角形中最值与范围问题 36．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【详解】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二倍角公式将化简得出对应表达式，由得出取值范围. 37．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 38．（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理化简题中条件，得到，再利用基本不等式求的取值范围即可. 【详解】中，， 解得； ，由余弦定理得：， ， ． 故选：D． 39．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在中，的对边分别是，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式即可得解. 【详解】由，代入余弦定理可得： ， 当且仅当时取等号，所以， 故选：B 40．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，从而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：A． 41．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由正弦定理得：， ， ，，，，， ，解得：； 由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， . 故选：B. 42．（22-23高三上·贵州遵义·期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可. 【详解】由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， ，即面积的最大值为. 故选：A. 考点8 求距离 43．（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，为了测量两山顶、间的距离，飞机沿水平方向在、两点进行测量，、、、在同一个铅垂平面内. 在点测得、的俯角分别为和，在点测得、的俯角分别为和，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得、的俯角分别为、， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为、， 所以，， 在中，已知，，， 由正弦定理得，所以， 因为，，则，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故，所以. 故选：C. 44．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中可得，在中由正弦定理可得，再在中，由余弦定理可得. 【详解】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 即. 故选：A. 45．（24-25高一下·河南·期中）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则（    ） A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，求出，再在中，利用正弦定理即可得解. 【详解】在中，，所以， 在中，由，可得， 在中，由正弦定理得：. 故选：D. 46．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理和余弦定理以及角度和距离之间的关系计算可得答案. 【详解】在中，因为，， 所以，则． 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，可得． 在中，因为，，， 所以由余弦定理得， 得， 故选：B． 考点9 求高度 47．（24-25高一下·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中求出，然后在中利用正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数的定义可求得结果. 【详解】由题意得，， 在中，，，则， 在中，， 则， 由正弦定理得，，得， 在中，，则， 所以. 故选：C 48．（24-25高一下·江苏·期中）镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（   ） A．320m B．340m C．360m D．380m 【答案】B 【分析】在中，根据题意可得.在中，利用正弦定理可求出的值，然后在中即可求解的值. 【详解】在中，，，∴. 在中，，， ，， ∴由正弦定理可得，∴. 在中，，，∴. 故选：B. 49．（24-25高一下·江苏苏州·期中）小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（    ）m．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，且，在中，利用正弦定理，得到，求得的值，即可得到答案. 【详解】如图所示，设， 因为从两点测得建筑物顶端的仰角分别为， 可得，且， 因为，且， 在中，由正弦定理得，可得， 所以，解得m. 故选：A.    50．（24-25高一下·天津·期中）天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”.如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则津沽棒的高度（   ）米    A． B．260 C． D． 【答案】C 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高，    在中，，同理，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故选：C 51．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）芜湖中江塔始建于明万历四十六年（1618年），清代康熙八年（1669年）续建落成.古时候，人们把长江的从九江至京口（镇江）一段，称为中江，而芜湖适得其处，故有中江之名，中江塔也由此得名.中江塔每层每面均有一门，门两边各有一窗，专供夜间置灯，导航来往船只，故中江塔通常被当作芜湖的城市名片和地标建筑.如图，某同学为测量中江塔的高度，在中江塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部和中江塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则中塔的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形，由几何关系结合正弦定理和三角函数关系计算可得. 【详解】根据题意，可得，在中，. 在中，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，所以. 故选：D 52．（24-25高一下·重庆·期中）解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点的仰角为，且，则解放碑的高约为（    ）（参考数据：）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案 【详解】由题知，设， 则， 又，所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：D. 考点10 求角度 53．（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 54．（24-25高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 55．（24-25高一下·江西南昌·期中）两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 【答案】B 【分析】画图，根据三角形的几何性质求解即可 【详解】灯塔A，B的相对位置如图所示， 由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°. 故选：B. 56．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，画出示意图，在三角形OAB中利用正弦定理即求解. 【详解】解：如图所示，，由正弦定理可得，即，化简得， 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理及二倍角的正弦公式求解. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 则，又，解得， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和求，由正弦定理即可求. 【详解】因为，， 所以， 由得. 故选：B 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得，求得的值，再结合余弦定理即可求得角C. 【详解】根据题意得， 将代入得：，化简可得：， 由余弦定理可得：, 因为，所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·河北沧州·期中）的内角的对边分别为，已知，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据题设可得，再根据正弦定理及二倍角公式化简可得，进而结合正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 由正弦定理得，， 因为，所以，， 则，则， 则，即， 设外接圆的半径为， 则，得． 故选：A. 5．（24-25高一下·福建厦门·期中）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 即，解得. 故选：A. 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】A 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 7．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【详解】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故选：D 8．（24-25高一下·河南·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦及正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，再由两角和的正切公式得出，即可利用单调性求出取值范围. 【详解】由，可得， 所以， 即， 由正弦定理，， 所以， 可得， 因为，所以三角形不为直角三角形， 所以两边同除以可得， 由知，所以为锐角， 由可得 因为， 令时，为增函数， 所以，所以. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一下·河南·期中）已知在中，角所对的边分别为，则根据下列条件能确定为钝角的是（   ） A． B． C．均为锐角，且 D． 【答案】AC 【分析】根据即可根据判断A，根据余弦定理即可求解BD，根据三角函数的性质即可求解C. 【详解】对于A， 由可得，故为钝角，故A正确， 对于B，由可得为锐角，故B错误， 对于C，由于均为锐角，且，， 故，因此，故为钝角，故C正确， 对于D，由可得，进而可得，故，进而可得，无法确定的大小，故D错误， 故选：AC 10．（24-25高一下·江苏常州·期中）中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（   ） A．若是中线，则 B．若是高，则 C．若是的角平分线，则 D．若，则是线段的一个三等分点 【答案】BD 【分析】先由余弦定理求出，对于A若是中线，则，利用向量即可判断，对于B若是高，则即可判断，对于C若是的角平分线，则，由 即可判断，对于D若是线段的一个三等分点，则或，利用向量求即可判断. 【详解】由余弦定理有，又，所以， 对于A：若是中线，则，所以 ，所以，故A错误； 对于B：若是高，所以，所以，故B正确， 对于C：若是的角平分线，所以， 由有：， 所以，故C错误； 对于D：假设是线段的一个三等分点，则或， 当时， ，所以， 当时， ，所以， 故D正确， 故选：BD. 11．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（   ） A．当，，时，满足条件的三角形共有1个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，则三角形为等腰三角形 【答案】BD 【分析】利用正弦定理和余弦定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由正弦定理，，则， 故不存在满足条件的三角形，即A错误； 对于B，由正弦定理，， 设，则，由余弦定理，， 因，则，故这个三角形的最大角是，即B正确； 对于C，因，由余弦定理，， 因，故角为锐角，但不能说明为锐角三角形，故C错误； 对于D，由和正弦定理，可得，即， 因，故，所以，即，三角形为等腰三角形，故D正确. 故选：BD. 12．（24-25高一下·重庆江北·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为，满足，的面积为6，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形中内切圆、外接圆的性质，利用正弦定理及三角形面积公式，依次判断各选项正误. 【详解】在中，内切圆半径为，得， 解得，故A选项正确； 又，由正弦定理得， 整理得，故B选项正确； ，又， 得， 则，故， 又， 解得，故C选项不正确. 因为，，由正弦定理可得， 所以，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 13．（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，且有一解，则的取值范围为 C．若，且，为的内心，则 D．若，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断A；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断B；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断C；由正弦定理得，再求出角的范围判断D. 【详解】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B正确； 对于C，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，C错误； 对于D，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，D正确. 故选：ABD 14．（24-25高一下·广东江门·期中）《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦面积公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（   ） A．的周长为 B．三个内角，，满足 C．外接圆的半径为 D．的中线的长为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理角化边，再利用给定的面积公式求出三角形边长，然后逐项求解判断 . 【详解】在中，由及正弦定理，得， 设，则， 解得，于是， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，由余弦定理得，而， 则，，因此，B正确； 对于C，由正弦定理得外接圆的直径，即，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：ABD 三、填空题 15．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为 ． 【答案】1 【分析】由可得，借助基本不等式可求，由题意列式即可求. 【详解】由题意，， 即， 因为，为的角平分线， 所以，即， 因为， 解得，当且仅当时，等号成立，此时， 因为面积的最小值为， 所以，，解得. 故答案为：1 16．（24-25高一下·广东江门·期中）如图，与存在对顶角，，且，（1）则的长 ；（2）若，则的长 . 【答案】 【分析】（1）设，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得． （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长． 【详解】（1）设，，则，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 由，得， 化简得：，因此为中点，所以； （2）如图： 过点做，交与.则. 由 所以，又，所以.所以. 所以，又，.所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以.即. 在中，根据正弦定理，可得：. 故答案为：，. 17．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知四边形中，，，则 .设与面积分别为，.的最大值为 . 【答案】 【分析】在两个三角形和中，利用公共边列出余弦定理方程即可求得；利用三角形的面积公式表示出，进而可求解. 【详解】在四边形ABCD中，，， 设与面积分别为，， 则，. 在中，利用余弦定理：， 即， 在中，利用余弦定理：， 即， 所以，所以； 所以. 则 ， 当，即时，最大值，最大值为， 故答案为：①；②. 18．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 【答案】/ 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 19．（24-25高一下·山西临汾·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则 ；的外接圆的圆心是，则的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】利用正弦定理直接求解第一空，合理作出图形，建立平面直角坐标系，利用外心的性质求出关键点的坐标，将目标式表示出来，最后利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由正弦定理得，解得，， 则， 如图，取中点，连接，因为的外接圆的圆心是，所以，以为原点建立平面直角坐标系， 则，，，则边上的中垂线方程为， 由斜率公式得，则的方程为， 由中点坐标公式得的中点坐标为， 故边上的中垂线方程为， 设，代入方程中，得到， 解得，则， 故，，， 则，故， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 故， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 则，解得， 则，故，即其最大值为， 故答案为：2； 四、解答题 20．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，、、分别为角、、所对应的边，已知，，. (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由余弦定理求出边，再由正弦定理即可求得的值； （2）由求出，再由正弦定理即可求得的长. 【详解】（1）由余弦定理可得，， 由正弦定理可得，，则. （2）由，可知为钝角， 则， 在中，由正弦定理，， 则. 21．（24-25高一下·湖南常德·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)若，求的外接圆的周长； (2)若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用二倍角的正弦求出，再利用正弦定理求解. （2）①由（1）的结论，结合锐角三角形条件求出的范围；②由正弦定理及三角形面积公式，结合正切函数的性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，，又， 于是，，因此，设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以的外接圆的周长为. （2）①由为锐角三角形，得，又， 则，解得，所以角的取值范围是； ②的面积， 由正弦定理得． 由，得，则，因此， 所以面积的取值范围是. 22．（24-25高一下·重庆江北·期中）如图，在平面四边形中，，，记，． (1)求的值； (2)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可； （2）根据题意，由（1）知，进而计算可求得的最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 所以，所以， 所以. （2）由题意知，， 所以 ， 由（1）知，，所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 23．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？ 【答案】(1)260米 (2)观赏步道，应均设计为长度是米 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，所以，利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式，利用三角函数性质即可求解． 【详解】（1）依题意知， 解得，所以， 当时， 当时， 故最长需要修建260米的隔离防护栏； （2）， 当且仅当时取到等号，此时， 设（）， 在中，， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号 所以周长的最大值为，此时， 故观赏步道，应均设计为长度是米． 24．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）先根据数量积坐标运算公式，再应用三角恒等变换化简，结合正弦函数对称中心计算求解； （2）根据二倍角公式计算化简结合弦切转化计算求解； （3）先求出，再应用正弦定理结合三角函数值域求解周长范围. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即函数的解析式为 所以对称中心的横坐标满足，，解得，， 所以函数的对称中心， （2）因为， 所以 即 所以，即 又由得， 所以， 又 所以 （3）若，，即， 可得，，所以，解得 由正弦定理可得：，即， 所以 ， 即 而在锐角三角形中，，可得， 所以，即， 所以三角形的面积的取值范围为． 25．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，求的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）化简结合余弦定理求解即可 （2）根据面积与正弦定理可得，结合可得，再根据三角关系可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 所以. 因为，所以. （2）因为的面积， 所以. 又，所以，则. 又因为所以， 所以， 故，即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$