精品解析：江西省宜春市丰城市丰城中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

丰城中学2024-2025学年下学期初二期中考试试卷数学 一、单选题 1. 把一元二次方程化成一般式，则，，值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式是解题的关键． 一元二次方程一般式为，由此即可求解． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 故选：B ． 2. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根的情况来确定根的判别式且，通过解不等式来求k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且， 故选：B． 3. 关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据根与系数关系定理，得，则，解答即可． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数关系定理，得， 则． 故选：A． 4. 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 5. 如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 由题意得出，，由旋转的性质，再证，得出，，设，则，，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 把绕点A逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ， ， ， 在和中 ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 得， 即． 故选：A． 6. 已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程的解为或，③；④当时，；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据题意，求得，根据二次函数的图象和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断． 【详解】①由题可知对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为，故①正确； ②因为抛物线过点， ∴方程的解为或，故②正确； ③由图可知，当时，函数值为，故③错误； ④由图可知，当时，，故④正确； ⑤由图可知，当时，随增大而减小，故⑤错误； 故选：B． 二、填空题 7. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 8. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得：． 故答案为：2． 9. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可得函数图像开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为，根据的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置值最小即可得出函数值的取值范围． 【详解】解：， 可知函数图像开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为， 的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置值最小， 当时，， 当时，函数值的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像与不等式的解集，二次函数一般式化成顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 10. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，过点作轴，过点作，交轴于点，证明，求出长，即可得出结果． 【详解】解：过点作轴，过点作，交轴于点，则：， ∵， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得要使不等式对于一切实数都成立，则需满足，进而根据二次函数的最值问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴当时，函数的最小值是当时取得，即为9； 当时，函数的最小值是当时取得，即为5； ∴， ∴， 即a的最大值为5． 12. 在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先求出点A的坐标，设，根据两点距离公式得到，解方程得到或；过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，由旋转的性质可得，证明，得到，则，同理可得，． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或， ∴或； 如图所示，过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得，； 综上所述，点C的坐标为或或； 故答案为：或或． 三、解答题 13. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 配方得，即， 开方得， 解得． 14. 已知实数a，b满足，，求：的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，理解方程的解的定义是解答本题的关键． ，可看作方程的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，最后代入进行求值即可． 【详解】解：实数a，b满足，， ，可看作方程的两个实数根， ，， ∴． 15. 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … （1）补充表格中y值； （2）在坐标系中画出图象． 【答案】（1）3，0，，0，3 （2）作图见解析 【解析】 【分析】此题考查了列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象步骤：列表，描点，连线是解题的关键． （1）分别将值代入函数解析式求解即可； （2）描点，连线即可画出图象． 【小问1详解】 解：当； 当； 当； 当； 当； 【小问2详解】 解：图象如图： 16. 如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，交于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键． 由旋转的性质得到，，进而推出，根据三角形内角和定理证得，即可求得的度数． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵，且， ∴． 17. 已知二次函数． （1）求函数图象与坐标轴的交点坐标． （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）与轴的交点坐标为，与轴的交点为， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及根据交点确定不等式的解集，熟记相关知识及求解方法即可； （1）分别令、即可求解； （2）根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解； 【小问1详解】 解：∴令，则； ∴与轴的交点坐标为， 令，解得：，， 与轴的交点为，． 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，． ∴当时，的取值范围是或． 18. 已知一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关定义，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义得出，再根据方程有两个实数根得出，即可求解； （2）根据（1）中的取值范围，得出k的值，将其代入，求出，再把代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， 综上： 的取值范围且； 【小问2详解】 解：∵且， ∴符合条件的最大整数， 把代入得：， 解得：， ∵方程与有一个相同的根， ∴方程的一个根为， 把代入得：， 解得：． 19. 已知二次函数（k为常数）． （1）用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）当时，该函数有最小值，求k的值． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． （1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标； （2）根据二次函数的性质即可得到的取值； （3）分三种情况讨论，关键题意得到关于的方程，解方程即可求得． 【小问1详解】 解：， 该二次函数的顶点坐标是． 【小问2详解】 该二次函数图象的对称轴是直线，开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ． 【小问3详解】 ①若，当时，． ②若，当时，， 解得（舍去）． ③若，当时，， 解得（舍去）． 综合以上得：当时，该函数有最小值，此时的值是或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； （3）在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示： 点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 21 如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线的上方，当取得最大值时，求点M的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使三角形的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）、将三点坐标代入解析式列出方程组求解即可； （2）、过点M作平行于y轴，与交于D，则可得： ，用待定系数法求出解析式，设出M、D坐标，代入可得出S的表达式，配成顶点式求最值即可； （3）设点P的纵坐标为y，根据的面积为12，得出，求出，代入二次函数解析式求出x的值，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将代入抛物线解析式得： ， 解得： ， ； 【小问2详解】 解：过点M作轴交于D，交于E，过C作于F，如图所示： 为矩形， ， 设直线的解析式为： ， 将点、代入得： ， 解得： ， 则直线的解析式为： ， 设 ，则 ， ， ， ， ∵点M在直线的上方， ， ∴当 时，最大，此时， ∴ ； 【小问3详解】 解：设点P的纵坐标为y， ∵的面积为12， ∴， 解得：， 当时，， 解得：，， ∴此时点P的坐标为或； 当时，， 解得：，， ∴此时点P的坐标为或； 综上分析可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数最值，熟练掌握以上知识点并综合运用是解题的关键． 22. 九（1）班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题：用点分别表示第1名同学、第二名同学、第三名同学…第48名同学，把该班级人数与通电话次数之间的关系用下图模型表示： （1）下图中第四个图中的值为___________，第五个图中的值为___________； （2）通过探索发现，通电话次数与该班级人数之间的关系式为___________，当时，对应的___________； （3）若九（1）班全体女生相互之间共通话153次，则该班共有多少名女生？ 【答案】（1）10，15 （2），1128； （3）18 【解析】 【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值； （2）根据y随x的变化情况，可得出，再代入可求出对应的y值； （3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话153次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15， 故答案为：10；15； 【小问2详解】 解：∵，，，，， ∴， 当时，， 故答案为：；1128； 【小问3详解】 解：依题意，得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该班共有18名女生． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，解题的关键是：（1）观察图形，数出当和时对应的y值；（2）根据y随x的变化，找出变化规律；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23. 阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；150；（2），理由见解析过程；（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城中学2024-2025学年下学期初二期中考试试卷数学 一、单选题 1. 把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 2 4. 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 或 5. 如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程的解为或，③；④当时，；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 7. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 8. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 9. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是___________． 10. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是______． 11. 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____． 12. 在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为______． 三、解答题 13 解下列方程： （1）； （2）； 14. 已知实数a，b满足，，求：的值． 15. 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出图象． 16. 如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，交于点，若，求的度数． 17. 已知二次函数． （1）求函数图象与坐标轴的交点坐标． （2）当时，直接写出的取值范围． 18 已知一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 19. 已知二次函数（k为常数）． （1）用含k代数式表示该二次函数的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）当时，该函数有最小值，求k的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； （3）在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 21. 如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线的上方，当取得最大值时，求点M的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使三角形的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 九（1）班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面方式来解决问题：用点分别表示第1名同学、第二名同学、第三名同学…第48名同学，把该班级人数与通电话次数之间的关系用下图模型表示： （1）下图中第四个图中的值为___________，第五个图中的值为___________； （2）通过探索发现，通电话次数与该班级人数之间的关系式为___________，当时，对应的___________； （3）若九（1）班全体女生相互之间共通话153次，则该班共有多少名女生？ 23. 阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$