5.4 分式方程 第2课时 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程 5.4 分式方程 第2课时 分式方程的解法 1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； 2.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验 根的方法. 学习目标 回顾：解整式方程： 方程两边同乘以6，得： 解得： 解分式方程 探究新知 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ “去分母” 方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x) 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得 检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=6是原分式方程的解. 90（30-x)=60(30+x)， 解得 x=6. x=6是原分式方程的解吗？ 解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？ 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 思考： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验------必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 知识归纳 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解； 4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤 解方程 . 解 : 方程两边同乘以x(x－3),得 2x ＝ 3x － 9 解得 x＝9 分式方程 整式方程 解整式方程 检 验 化转 检验:当x ＝9时 x(x－3)≠0， 一去 二解 三验 四写 ∴x ＝ 9是原分式方程的解 . 例 题 分式 方程的解法 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验 课堂小结 知识点1　分式方程的解法 1.（2024·广东）方程 ＝ 的解是（　D　） A. x＝－3 B. x＝－9 C. x＝3 D. x＝9 D 随堂练习 2.将方程 ＋3＝ 去分母，两边同乘x－1后的式子为（　B　） A. 1＋3＝3x（1－x） B. 1＋3（x－1）＝－3x C. x－1＋3＝－3x D. 1＋3（x－1）＝3x B 3.分式方程 － ＝0的解是 ⁠. x＝4　 4.若分式方程 ＝ 的解是x＝2，则m的值为 ⁠. －6　 5. 解方程： （1） ＝ ； 解：方程两边都乘x（x－4），得3x＝2x＋1. 解得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的根. （2） －1＝ ； 解：方程两边都乘x－2，得4x－（x－2）＝－3. 解得x＝－ . 经检验，x＝－ 是原方程的根. （3） － ＝1. 解：原方程可变形为 ＋ ＝1. 方程两边都乘3（1－x），得3＋2x＝3（1－x）. 解得x＝0. 经检验，x＝0是原方程的根. 知识点2　分式方程的增根 6.若关于x的方程 －3＝ 有增根，则增根为（　B　） A. x＝6 B. x＝5 C. x＝4 D. x＝3 B 7.若关于x的分式方程 ＋ ＝3有增根，则m＝ ⁠. －1　 8.（2024·西安雁塔区校级模拟）解分式方程： － ＝1. 解：方程两边都乘x2－1，得（x＋1）2－4＝x2－1. 解得x＝1. 经检验，x＝1是原分式方程的增根，所以原分式方程无解. 易错点　解分式方程时常见错误 9.（过程性学习）小丁和小迪解方程 － ＝1的过程分别如下： 小丁： 解：去分母，得x－（x－3）＝x－2. 去括号，得x－x＋3＝x－2. 合并同类项，得3＝x－2. 解得x＝5. ∴原方程的解是x＝5. 　小迪： 解：去分母，得x＋（x－3）＝1. 去括号，得x＋x－3＝1. 合并同类项，得2x－3＝1. 解得x＝2. 经检验，x＝2是方程的增根， ∴原方程无解. 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若不 正确，请写出正确的解答过程. 解：我认为小丁和小迪的解法都不正确，正确的解答过程如下： 方程两边都乘x－2，得x＋x－3＝x－2. 解得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的根. 10.若定义新运算a⊗b＝2a＋ ，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（　B　） A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝ B 11.关于x的方程 －3＝ 的解为非负数，则m的取值范围是 . m≥－5且 m≠－3　 12.解方程： （1） ＋ ＝ ； 解：方程两边都乘（x＋1）（x－1），得3（x－1）＋5（x＋1）＝10. 解得x＝1.经检验，x＝1是分式方程的增根，所以原分式方程无解. （2） ＝ － . 解：原方程可变形为 ＝ － . 方程两边都乘（2x＋1）（2x－1），得x＋1＝3（2x－1）－ 2（2x＋1）.解得x＝6.经检验，x＝6是原方程的根. 13.已知关于x的分式方程 ＋ ＝ . （1）若方程的增根为x＝2，求m的值； 解：方程两边都乘x2－4，得2（x＋2）＋mx＝2（x－2）. 整理，得mx＝－8. （1）因为原分式方程的增根为x＝2，所以2m＝－8，解得m＝－4. 解得x＝－2或x＝2. 当x＝－2时，－2m＝－8，解得m＝4； 当x＝2时，2m＝－8，解得m＝－4. 所以当原分式方程有增根时，m＝±4. （2）若方程有增根，求m的值； （2）因为原分式方程有增根，所以（x＋2）（x－2）＝0. （3）若方程无解，求m的值. （3）由（2），知当m＝±4时，原分式方程有增根，即原分式方程无解； 当m＝0时，方程mx＝－8无解. 综上所述，当原分式方程无解时，m＝±4或m＝0. 14.（代数推理）观察发现： ＝1－ ； ＝ － ； ＝ － ；….根据你发现的规律，回答下列问题： （1）计算： ＋ ＋ ＋…＋ ＝  　； （2）解方程： ＋ ＋…＋ ＝ . 　 解：（2）∵ ＝ （ － ）， ∴ ＋ ＋…＋ ＝ （ － ）＋ （ － ）＋…＋ （ － ） ＝ （ － ＋ － ＋…＋ － ） ＝ （ － ） ＝ . ∴ ＝ .∴x＝50. 经检验，x＝50是分式方程 ＝ 的根. $$