11.1.2 不等式的性质 课时1 不等式的性质 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第十一章 不等式与不等式组 11.1 不等式 11.1.2 不等式的性质 课时1 不等式的性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 不等式的基本事实 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 2. 知识回顾 5. 知识点2 不等式的性质1 10. 拓展与延伸 6. 知识点3 不等式的性质2、3 9. 对接中考 3. 新课导入 1. 理解并掌握不等式的性质. 2.在探索不等式的性质的过程中，体会所应用到的归纳和类比方法. 学习目标 知识回顾 等式的性质有哪些？ 等式的两边加或减同一个数(或式子)，等式仍然成立. 等式的两边乘或除以同一个数(除数不为0)，等式仍然成立. 新课导入 对于某些简单的不等式，你可以直接得出它的解集. 例如：不等式x+3>6的解集是 ， 不等式2x<8的解集是 . 但是对于比较复杂的不等式（如）你能直接写出解集吗？ 怎样解不等式呢？ 与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质. x>3 x<4 新课讲解 知识点1 不等式的基本事实 等式有对称性及传递性，那么不等式具有对称性和传递性吗? 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实. (1) 对称性：交换不等式两边，不等号的方向改变. 如果 a>b，那么 b<a. 例如，由 5>x，可得x<5. (2) 传递性：不等关系可以传递. 如果a>b，b>c，那么a>c. 例如，由 y>x，x>-3 ，可得 y>-3. 新课讲解 知识点2 不等式的性质1 【探究1】用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： ① 5＞3 5+2 3+2，5+0 3+0，5+(-2) 3+(-2)，； ② -1＜3 -1+4 3+4，-1+0 3+0，-1+(-7) 3+(-7) ． ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ 规律：当不等式两边加或减同一个数时，不等号的方向不变． 新课讲解 由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立. 一般地，不等式有如下性质: 不等式的性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 符号语言：如果 a>b，那么 a±c>b±c. 你能总结出不等式的性质吗？ 新课讲解 例 解：因为 a>b，两边都加上3， 解：因为 a<b，两边都减去5， 由不等式基本性质1，得 a+3 > b+3. 由不等式基本性质1，得 a-5 < b-5 . （1）已知 a>b，则a+3 b+3 （2）已知 a<b，则a-5 b-5 > < 1. 用“>” 或“<”填空： 新课讲解 练一练 用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质： (1)若x＋3＞6，则x______3，根据_____________； (2)若a－2＜3，则a______5，根据____________ ． > < 不等式性质1 不等式性质1 新课讲解 知识点3 不等式的性质2、3 ① 6＞2 6×4 2×4， 6÷2 2÷2； ② -2＜4 -2×2 4×2，-2÷2 4÷2； ③ -4＜-2 -4×2 -2×2，-4÷2 -2÷2. ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ 规律：当不等式两边乘(或除以)同一个正数时，不等号的方向不变. 【探究2】用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： 新课讲解 你能总结出不等式的性质吗？ 不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 符号语言：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc(或). 新课讲解 【探究3】用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： ① 6＞2 6×(-4) 2×(-4)， 6÷(-2) 2÷(-2)； ② -2＜4 -2×(-2) 4×(-2)，-2÷(-2) 4÷(-2)； ③ -4＜-2 -4×(-2) -2×(-2)，-4÷(-2) -2÷(-2). < < > > > > 规律：当不等式两边乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变. 新课讲解 你能总结出不等式的性质吗？ 不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 符号语言：如果 a>b，c<0，那么 ac<bc(或). 两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0； 两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 总结 新课讲解 例 解：因为 a>b，两边都乘3， 解：因为 a>b，两边都乘-1， 由不等式基本性质2，得 3a > 3b. 由不等式基本性质3，得 -a < -b. （1）已知 a>b，则3a 3b ； （2）已知 a>b，则-a -b . > < 2. 用“>” 或“<”填空： 解：因为 a<b，两边都除以-3， 由不等式基本性质3，得 由不等式基本性质1，得 （3）已知 a<b，则 . > 因为，两边都加上2， . 新课讲解 不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点 类别 不同点 相同点 不等式 两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. (1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立. 等式 两边乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立. 新课讲解 练一练 1. 设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质. （1） a - 7____b - 7； （2） a÷6____b÷6 （3） 0.1a____0.1b; （4） -4a____-4b （5） 2a+3____2b+3; （6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数). ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ 不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质2 不等式的性质3 不等式的性质1、2 不等式的性质2 新课讲解 练一练 2. 若 m>n，则下列不等式不一定成立的是( ) A. m+3>n+3 B. -3m<-3n C. D. m2>n2 加同一个数，不等号方向不变 除以同一个正数，不等号方向不变 乘同一个负数，不等号方向改变 当 m=2，n=-3 时，m2<n2 D 新课讲解 【变式】如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可变形为 x＞1，那么a 必须满足________. 解析：根据不等式的基本性质可判断，a＋1为负数，即a＋1＜0，可得 a＜－1. a＜－1 只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变． 方法总结 新课讲解 例如，110是不等式x>100的解，而90不是不等式x>100的解. 与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解. 代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法. 注意：一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. 判断一个数是不是不等式的解的方法 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立.若成立，则该数是不等式的一个解，反之不是. 总结 课堂小结 不等式的性质 对称性：如果a>b，那么b<a 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c 性质1：如果a>b，那么a±c>b±c 性质2：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc(或) 性质3：如果 a>b，c<0，那么 ac<bc(或) 基本事实 当堂小练 1. 设 a>b，用“<”或“>”填空. (1) a+2____b+2； (2) a-3____b-3； (3) -4a____-4b； (4) ____ . > > < > 加同一个数，不等号方向不变 减同一个数，不等号方向不变 乘同一个负数，不等号方向改变 除以同一个正数，不等号方向不变 当堂小练 2. 下列不等式变形错误的是 (　　) A. 若a>b，则1-a<1-b B. 若a<b，则 ax2≤bx2 C. 若ac>bc，则a>b D. 若m>n，则> C 除以同一个负数，不等号方向改变 当堂小练 A. ab<ac B. ac>bc C. a+c>b+c D. a+b<c+b 3. 若实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( ) c<b，a>0 ac<ab a<b，c<0 b>a，c<0 a>c，b>0 B c<0<a<b ac>bc b+c>a+c a+b>c+b 当堂小练 4. 已知 x ＞ y，则 1－2x_____1－2y（ 填“ ＞” “＜“或“＝”）. ＜ 当堂小练 5. 关于x 的不等式(1－a)x>3 的解集为x< ， 则a 的取值范围是( ) A. a>0 B. a<0 C. a>1 D. a<1 C 当堂小练 6. 若实数 在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是 ( ) A. B. C. D. B 当堂小练 7. 将物体“▲”的质量用 a 表示，物体“●”的质量用 b 表示，现已知 a<b，则下列四个天平的倾斜度一定正确的是( ) B 两边同时加a a+a＜b+a 当堂小练 8. 若m＞2，利用不等式的性质求出下列各式的取值范围： （1）m-4； （2）3m； （3）－3m＋2. 解：(1) ∵m＞2， ∴m－4＞2－4， ∴m－4＞－2. (2) ∵m＞2， ∴3m＞3×2， ∴3m＞6. (3) ∵ m＞2， ∴－3m＜－3×2， ∴－3m＜－6， ∴－3m＋2＜－6＋2， ∴－3m＋2＜－4. 当堂小练 9. 由 －3 ＞ －4，得 －3x ＞－4x，则 x 的值可能是________（写出一个即可） . 1 (答案不唯一) 对接中考 1. 若 a ＜ b，则（　　） A. a+3 ＞ b+3 B. a－2 ＞ b－2 C. －a ＜ －b D. 2a ＜ 2b D 解：若 a ＜ b，两边同时加上 3，得a+3 ＜ b+3，则 A 不符合题意； 若 a ＜ b，两边同时减去 2 得 a－2 ＜b－2，则 B 不符合题意； 若 a ＜ b，两 边同时乘 －1 得 －a ＞－b，则 C 不符合题意； 若 a ＜ b，两边同时乘 2 得 2a ＜ 2b，则 D 符合题意 . 对接中考 2. 已知a＞b，则一定﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（　　 ） A．＞ B．＜ C．≥ D．＝ 解：根据不等式的性质3，不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变． ∵a＞b， ∴﹣4a＜﹣4b． B 拓展与延伸 已知关于x的不等式的两边都除以，得， 试化简： 解：∵不等式的两边都除以(1-a)后不等号的方向发生了改变， ∴1-a<0， ∴a>1， ∴|a-1|+|a+2|=a-1+a+2=2a+1. $$