第6讲 工程问题 (讲义)-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第6讲 工程问题 (强化训练) 1.修筑一条道路，如果甲、乙、丙合作，90天可以完工；如果甲、乙、丁合作，120天可以完工；如果丙、丁合作，180天可以完工；如果甲、乙合作36天后，剩下的工作由甲、乙、丙、丁合作，还需多少天？ 2. 甲、乙两个打字员，要共同录入一份15400字的文稿。当甲完成录入任务的时，且乙完成录入任务的时，两人尚未录入的字数相等。问：甲录入任务是多少字？ 3.某学校计划建造一个水池，单独打开进水管3小时，可以把水池注满，单独打开出水管4小时，可以把水池排空。水池建造好后，发现水池漏水，如果同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满。当水池注满时，关闭进水管和出水管，经过多少小时，水才会漏完？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第 6 讲 工程问题 (强化训练) 1.修筑一条道路，如果甲、乙、丙合作，90天可以完工；如果甲、 乙、丁合作，120天可以完工；如果丙、丁合作，180天可以完工； 如果甲、乙合作 36天后，剩下的工作由甲、乙、丙、丁合作，还 需多少天？ 2. 甲、乙两个打字员，要共同录入一份 15400字的文稿。当甲完成 录入任务的 5 6 时，且乙完成录入任务的 4 5 时，两人尚未录入的字数相 等。问：甲录入任务是多少字？ 3.某学校计划建造一个水池，单独打开进水管 3小时，可以把水池 注满，单独打开出水管 4 小时，可以把水池排空。水池建造好后， 发现水池漏水，如果同时打开进水管和出水管 14小时才能把水池 注满。当水池注满时，关闭进水管和出水管，经过多少小时，水 才会漏完？ 第6讲 工程问题 强化训练 1.修筑一条道路，如果甲、乙、丙合作，90天可以完工；如果甲、乙、丁合作，120天可以完工；如果丙、丁合作，180天可以完工；如果甲、乙合作36天后，剩下的工作由甲、乙、丙、丁合作，还需多少天？ 【答案】60天 【分析】根据题意，令工作总量为单位“1”，则有工作效率： 甲+乙+丙= 甲+乙+丁= 丙+丁= 则甲、乙、丙、丁的工资效率之和为： 丙的工作效率为： 甲、乙的工作效率之和为： 则甲、乙合作36天后完成全部工作的 ，还余下工作的 。 要合作完，还需要的天数： 2.甲、乙两个打字员，要共同录入一份15400字的文稿。当甲完成录入任务的时，且乙完成录入任务的时，两人尚未录入的字数相等。问：甲录入任务是多少字？ 【答案】8400字 【分析】甲、乙录入任务的字数之比为 甲的录入任务： 15400 ÷ (6+5) × 6 = 8400（字） 3.某学校计划建造一个水池，单独打开进水管3小时，可以把水池注满，单独打开出水管4小时，可以把水池排空。水池建造好后，发现水池漏水，如果同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满。当水池注满时，关闭进水管和出水管，经过多少小时，水才会漏完？ 【答案】 84小时 【分析】令工程总量为单位"1"，则进水管的工作效率为 ，出水管的工作效率为 ，所以同时打开两个水管14个小时，应该有水量 ，则漏水效率为 所以，水池注满后经过84小时，水就会漏完。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               工程问题 第6讲     专题概述 工程问题研究的是工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系。工程问题分为整数工程问题和分数工程问题。其中分数工程问题是小学数学竞赛的常见题型。 由于在分数工程问题中，不给出具体的数值，工作总量一般用"1"表示，工作效率则表示为工作时间的倒数，所以这类题难度较大，题型也更复杂，需要我们在掌握基本解题方法的基础上，拓宽解题思路，正确分析数量关系。不过，万变不离其宗，不管是整数工程问题，还是分数工程问题，其解题思路都是一样的，即： 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 掌握了公式，自然解题就顺手了。 重点例题1 【例1】一项工程，如果由贾师傅单独做，12天可以完成。现在，贾师傅做了3天后，另有任务，余下的工程由李师傅做，要求15天完成。求：李师傅单独做这项工作要多少天？ 【思维点拨】解法一：我们可以用单位"1"的方法来解这道题目。把这项工程看成"1"，因为"贾师傅单独做，12天可以完成"，他的工作效率就是 ，他3天做了这项工程的 ，这时还剩下 。余下的工程由李师傅在15天完成，他的工作效率是 ，用工作总量除以李师傅的工作效率，就是李师傅单独做这项工作需要的时间。 解法二：我们可用假设法来解决这道题目。换个角度思考这道题目，李师傅完成贾师傅3天工作量所需要的时间，再加上李师傅完成余下部分工程所需要的时间，就是李师傅单独完成这项工程的时间了。 贾师傅3天的工作量： 李师傅的工作效率： 贾师傅3天的工作量由李师傅来做需要的天数： 列算式如下： 解法三：我们可以把李师傅完成整个工程的时间看成单位"1"。李师傅做了整个工程的 用了15天，则用15天直接除以李师傅实际完成工作量的对应分率就可以了。 解法四：我们可以把费师傅做3天后余下的工作量看成单位"1"。 整个工程相当于"1"的 ，而15天的 就是李师傅单独做这项工程的时间。 设费师傅做3天后余下的工作量为"1"，则有 解法五：我们可以用比例的方法解这道题目。因为"工作总量÷工作效率＝工作时间"，工作效率一定，那么工作总量和工作时间成正比例。 设李师傅完成整个工程需要x天，则有 解得 。 答：李师傅单独做这项工程需要20天。 培优拔尖1 1、一份工作，甲单独做3小时可以完成，乙单独做6小时可以完成，丙单独做4小时可以完成。问：三个人合作，几小时可以完成？ 2、加工一批玩具，小贾单独做要8天完成，小李单独做要10天完成。两个人合作了4天，正好加工了207个。问：这批玩具一共有多少个？ 3、一项工作，甲单独做要用20天，乙单独做要用16天，两人合作8天后，剩余的工作由甲单独完成。问：甲还要做几天，才能完成工作？ 重点例题2、3 【例2】一项工作，赵、钱二人一起做，需要36天完成；钱、孙二人一起做，需要45天完成；赵、孙二人一起做，需要60天完成。问：赵、钱、孙单独做，各需要多少天完成？ 【思维点拨】我们可以把整个工作总量看成单位"1"。现知道三人两两一组的工作效率，只要求出三人一组的工作效率，也就可以求出每个人的工作效率了，再根据公式"工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率"，求出每个人的工作天数。 答： 赵单独做这项工作需要90天完成，钱单独做这项工作需要60天完成，孙单独做这项工作需要180天完成。 【例3】一项工作，贾师傅8天完成全部工作的，李师傅10天完成余下工作的，最后贾、李二人合作完成这项工作。问：贾、李二人还需要多少天才能完成这项工作？ 【思维点拨】我们可以把总工作量看成单位"1"，根据公式"工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间"，得出贾师傅的工作效率是 ，李师傅的工作效率是 ，贾、李二人合作的工作效率是 ，用余下的工作量除以贾、李二人合作的工作效率，就得出还需要的天数了。 答：余下的工作由贾、李二人合作还需要 天才能完成。 培优拔尖2 1、一份工作，小贾单独做需要20天完成，小李单独做需要30天完成，现由二人合作做了4天，再由小张参加，三人一起做了6天全部完成。如果三人同时开工做，那么几天可以完成？ 2、一项工作，贾、李合作6天能完成，如果贾单独做，那么贾完成工作的与李完成工作的所需时间相等。问：贾、李单独做，各需要多少天完成？ 3、 一条石子路，甲、乙两个工人合修12天可以完成。如果甲先修3天后，再由乙修8天，共完成这项工程的。如果这条石子路由甲单独修，那么需要多少天？ 重点例题4、5 【例4】有一个水池子，甲、乙两个水管同时开，5小时可放满水；乙、丙两个水管同时开，4小时可放满水。现在，先开乙水管6小时后，关掉乙水管，再同时开甲、丙水管2小时，才能把水池放满。如果乙水管单独开，需要几小时放满水？ 【思维点拨】根据"甲、乙两个水管同时开，5小时可放满水"，可知甲、乙两水管的工作效率之和是；根据"乙、丙两个水管同时开，4小时可放满水"，可知乙、丙两水管的工作效率之和是。"现在，先开乙水管6小时后，关掉乙水管，同时开甲、丙水管2小时，才能把水池放满"，换一种说法就是"甲、乙分开2小时，乙、丙再分开2小时，最后乙单独开2小时，刚好放满水"。用单位"1"减去甲、乙两水管2小时的放水量和乙、丙两水管2小时的放水量，余下的就是乙水管单独开2小时的放水量，据此可求出乙的工作效率，最后求出乙水管单独放水时间。 解： 答：乙水管单独开，需要20小时放满水。 【例5】有一个水池子，安装着甲、乙两个进水管，还有一个丙出水管。如果单独开甲水管，8小时可将空水池注满；如果单独开乙水管，12小时可将空水池注满；如果单独开丙水管，24小时可将满池的水放完。问：三个水管一起开，多少小时能注满这个水池的？ 【思维点拨】根据"如果单独开甲水管，8小时可将空水池注满"，可知甲水管的工作效率是；根据"如果单独开乙水管，12小时可将空水池注满"，可知乙水管的工作效率是；根据"如果单独开丙水管，24小时可将满池的水放完"，可知丙水管的工作效率是。同时开放这三个水管，其工作效率之和，即。然后，用除以三个水管的工作效率之和，就得出最后的结果了。 解： 答：三个水管齐开小时能注满这个水池的。 培优拔尖3 1、有一个水池，如果甲、乙两个水管合开，8小时可注满水。如果甲先开9小时，接着乙单独开4小时，也可以注满水。问：如果单独开甲水管，注满水需要多少小时？ 2、有一个大水池，甲、乙两台抽水机共同工作10小时，可以把水池里的水全部抽完。如果甲抽水机单独工作4小时，乙抽水机单独工作6小时，能够抽完整池水的。问：如果乙抽水机单独工作，几小时可以抽完一池水？ 4、 有一个大水池，如果甲、乙水管同时开，6小时可注满水。如果乙、丙水管同时开，5小时可注满水。现在先开乙水管，6小时后关闭，还需要甲、丙两水管同时开2小时，才能将水池注满。问：乙水管单独开，需要多少小时才能注满水？ 重点例题6、7、8 【例6】有甲、乙两个工程队，分别负责两项工程。晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天。雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天的和。实际情况是，两队同时开工，又同时完工。请问：在施工期间，下雨天的天数是多少？ 【思维点拨】在晴天，甲、乙的工作效率分别是和，甲比乙的工作效率高；在雨天，甲、乙的工作效率分别为和，乙队的工作效率比甲队高，因为两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间是相同的，所以，在整个施工期间，晴天与雨天的比为。如果有8个晴天，则甲共完成工程的，而实际上的工程量为1，所以在施工期间，一共有个晴天，个雨天。 【例7】有一个蓄水池，每分钟流入4立方米水，如果打开5个水龙头，25小时就可以把水池里的水放空。如果打开8个水龙头，1.5小时就可以把水池里的水放空。现在打开13个水龙头，问：多长时间可以把水放空？ 【思维点拨】先计算1个水龙头每分钟放出的水量。2.5小时比1.5小时多60分钟，多流入水（立方米），所有的时间都用分钟作单位。1个水龙头每分钟的放水量是（立方米）。8个水龙头1.5小时的放水量是立方米，其中90分钟内流入的水量是立方米，因此原来水池中存有水立方米。打开13个水龙头，每分钟可以放出水立方米，除去每分钟流入4立方米，其余将放出原存的水，放空原存的5400立方米水，需要分钟。 2.5小时-1.5小时=1小时=60分钟 多流入的水量：立方米 1个水龙头每分钟的放水量：=8（立方米） 原来水池中存水量：（立方米） 把水放空所需要的时间：（分钟） 答：要54分钟可以把水放空。 【例8】有一个天然的水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的。当这个水池的水满时，打开甲水管，8小时可以将水池排空；打开乙水管，10小时可以将水池排空；打开丙水管，12小时可以将水池排空；如果打开甲、乙两水管，4小时可以将水池排空。问：如果打开乙、丙两水管，将水池排空需要多长时间？ 【思维点拨】解答本题的关键在于，我们在计算水管每小时排出水量的同时，也要考虑渗入的水量。甲水管8小时的排水量为1池水再加上8小时渗入的水量，那么甲水管每小时的排水量为池水再加上1小时渗入的水量。同理，乙水管每小时的排水量为池水再加上1小时渗入的水量，甲、乙两水管每小时的排水量为池水再加上1小时渗入的水量。另甲、乙两水管每小时的排水量为（池）水再加上1小时渗入的水量，因此可知1小时渗入的水量为（池）水。因此，乙水管每小时排水量为（池）水，丙水管每小时排水量为（池）水。 所以，乙、丙两水管排一池水，需要 （小时） 答： 水池排空需要4.8小时。 培优拔尖4 1、有一个游泳池、装着甲、乙、丙三个进水管，如果单开甲水管，需要20小时注满水池，甲、乙两水管合开需要8小时注满水池，乙、丙两水管合开需要6小时注满水池。问：单开丙水管，需要多少小时注满水池？ 2、 有一个蓄水池、装有甲、丙两条进水管，乙、丁两条出水管。要注满这池水，单开甲水管需要3小时，单开丙水管需要5小时；要排空这池水，单开乙水管需要4小时，单开丁水管需要6小时。现在，池中有池水，如果按照甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问：多长时间水开始溢出水池？ 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性 的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 工程问题研究的是工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关 系。工程问题分为整数工程问题和分数工程问题。其中分数工程问题 是小学数学竞赛的常见题型。 由于在分数工程问题中，不给出具体的数值，工作总量一般用"1" 表示，工作效率则表示为工作时间的倒数，所以这类题难度较大，题 型也更复杂，需要我们在掌握基本解题方法的基础上，拓宽解题思路， 正确分析数量关系。不过，万变不离其宗，不管是整数工程问题，还 是分数工程问题，其解题思路都是一样的，即： 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 掌握了公式，自然解题就顺手了。 工程问题第 6讲 专题概述 【例 1】一项工程，如果由贾师傅单独做，12天可以完成。现在， 贾师傅做了 3天后，另有任务，余下的工程由李师傅做，要求 15 天完成。求：李师傅单独做这项工作要多少天？ 【思维点拨】解法一：我们可以用单位"1"的方法来解这道题目。 把这项工程看成"1"，因为"贾师傅单独做，12天可以完成"，他的 工作效率就是 1 12 ，他 3天做了这项工程的 1 12 × 3 = 1 4 ，这时还剩 下 1− 1 4 = 3 4 。余下的工程由李师傅在 15天完成，他的工作效率是 3 4 ÷ 15 = 1 20 ，用工作总量除以李师傅的工作效率，就是李师傅单 独做这项工作需要的时间。 1 ÷ [(1− 1 12 × 3) ÷ 15] = 1 ÷ [(1− 1 4 ) ÷ 15] = 1 ÷ ( 3 4 ÷ 15) = 1 ÷ 1 20 = 20天 解法二：我们可用假设法来解决这道题目。换个角度思考这道题目， 李师傅完成贾师傅 3天工作量所需要的时间，再加上李师傅完成余 下部分工程所需要的时间，就是李师傅单独完成这项工程的时间了。 重点例题 1 贾师傅 3天的工作量： 1 12 × 3 = 1 4 李师傅的工作效率： (1− 1 4 ) ÷ 15 = 1 20 贾师傅 3天的工作量由李师傅来做需要的天数： 1 4 ÷ 1 20 = 5天 列算式如下： 1 12 × 3 ÷ [(1− 1 12 × 3) ÷ 15] + 15 = 1 4 ÷ ( 3 4 ÷ 15) + 15 = 1 4 ÷ 1 20 +15 = 5 + 15 = 20天 解法三：我们可以把李师傅完成整个工程的时间看成单位"1"。李 师傅做了整个工程的 1− 1 12 × 3 = 3 4 用了 15天，则用 15天直接除以李师傅实际完成工作量的对应分率 就可以了。 15 ÷ (1− 1 12 × 3) = 15 ÷ 3 4 = 20天 解法四：我们可以把费师傅做 3天后余下的工作量看成单位"1"。 整个工程相当于"1"的 1 + 3 12 = 1 1 3 ，而 15 天的 1 1 3 就是李师傅单 独做这项工程的时间。 设费师傅做 3天后余下的工作量为"1"，则有 15 × (1 + 3 12 ) = 15 × (1 + 1 3 ) = 15 × 1 1 3 = 20天 解法五：我们可以用比例的方法解这道题目。因为"工作总量÷工 作效率＝工作时间"，工作效率一定，那么工作总量和工作时间成 正比例。 设李师傅完成整个工程需要 x天，则有 1 x = 1− 1 12 × 3 15 解得 x = 20。 答：李师傅单独做这项工程需要 20天。 1、一份工作，甲单独做 3 小时可以完成，乙单独做 6 小时可以完成， 丙单独做 4小时可以完成。问：三个人合作，几小时可以完成？ 2、加工一批玩具，小贾单独做要 8天完成，小李单独做要 10天完成。 两个人合作了 4天，正好加工了 207个。问：这批玩具一共有多少个？ 3、一项工作，甲单独做要用 20天，乙单独做要用 16天，两人合作 8 天后，剩余的工作由甲单独完成。问：甲还要做几天，才能完成工作？ 培优拔尖 1 【例 2】一项工作，赵、钱二人一起做，需要 36天完成；钱、孙 二人一起做，需要 45天完成；赵、孙二人一起做，需要 60天完成。 问：赵、钱、孙单独做，各需要多少天完成？ 【思维点拨】我们可以把整个工作总量看成单位"1"。现知道三人 两两一组的工作效率，只要求出三人一组的工作效率，也就可以求 出每个人的工作效率了，再根据公式"工作时间 = 工作总量 ÷ 工 作效率"，求出每个人的工作天数。 赵工作效率 + 钱工作效率 = 1 36 钱工作效率 + 孙工作效率 = 1 45 赵工作效率 + 孙工作效率 = 1 60 赵工作效率 + 钱工作效率 + 孙工作效率 = ( 1 36 + 1 45 + 1 60 重点例题 2、3 ) ÷ 2 = 1 30 孙工作天数：1 ÷ ( 1 30 − 1 36 ) = 180天 赵工作天数：1 ÷ ( 1 30 − 1 45 ) = 90天 钱工作天数：1 ÷ ( 1 30 − 1 60 ) = 60天 答： 赵单独做这项工作需要 90天完成，钱单独做这项工作需要 60 天完成，孙单独做这项工作需要 180天完成。 【例 3】一项工作，贾师傅 8天完成全部工作的 1 4 ，李师傅 10天完 成余下工作的 1 3 ，最后贾、李二人合作完成这项工作。问：贾、李 二人还需要多少天才能完成这项工作？ 【思维点拨】我们可以把总工作量看成单位"1"，根据公式"工作效 率 = 工作量 ÷ 工作时间"，得出贾师傅的工作效率是 1 4 ÷ 8 = 1 32 ，李师傅的工作效率是 (1− 1 4 ) × 1 3 ÷ 10 = 1 40 ，贾、李二人合 作的工作效率是 1 32 + 1 40 ，用余下的工作量除以贾、李二人合作的 工作效率，就得出还需要的天数了。 [1− 1 4 −(1− 1 4 ) × 1 3 ] ÷ [ 1 4 ÷ 8 + (1− 1 4 ) × 1 3 ÷ 10] = (1− 1 4 − 1 4 ) ÷ ( 1 32 + 1 40 ) = 1 2 × 160 9 = 8 8 9 天 答：余下的工作由贾、李二人合作还需要 8 8 9 天才能完成。 1、一份工作，小贾单独做需要 20天完成，小李单独做需要 30天完 成，现由二人合作做了 4天，再由小张参加，三人一起做了 6天全部 完成。如果三人同时开工做，那么几天可以完成？ 2、一项工作，贾、李合作 6天能完成 5 8 ，如果贾单独做，那么贾完成 工作的 1 3 与李完成工作的 1 2 所需时间相等。问：贾、李单独做，各需要 多少天完成？ 3、一条石子路，甲、乙两个工人合修 12天可以完成。如果甲先修 3 天后，再由乙修 8天，共完成这项工程的 5 12 。如果这条石子路由甲单 独修，那么需要多少天？ 培优拔尖 2 【例 4】有一个水池子，甲、乙两个水管同时开，5小时可放满水； 乙、丙两个水管同时开，4小时可放满水。现在，先开乙水管 6小 时后，关掉乙水管，再同时开甲、丙水管 2小时，才能把水池放满。 如果乙水管单独开，需要几小时放满水？ 【思维点拨】根据"甲、乙两个水管同时开，5小时可放满水"，可 知甲、乙两水管的工作效率之和是 1 5 ；根据"乙、丙两个水管同时开， 4小时可放满水"，可知乙、丙两水管的工作效率之和是 1 4 。"现在， 先开乙水管 6小时后，关掉乙水管，同时开甲、丙水管 2小时，才 能把水池放满"，换一种说法就是"甲、乙分开 2小时，乙、丙再分 开 2小时，最后乙单独开 2小时，刚好放满水"。用单位"1"减去甲、 乙两水管 2小时的放水量和乙、丙两水管 2小时的放水量，余下的 就是乙水管单独开 2小时的放水量，据此可求出乙的工作效率，最 后求出乙水管单独放水时间。 重点例题 4、5 解：(1− 1 5 × 2− 1 4 × 2) ÷ (6−2−2) = 1 20 1 ÷ 1 20 = 20小时 答：乙水管单独开，需要 20小时放满水。 【例 5】有一个水池子，安装着甲、乙两个进水管，还有一个丙出 水管。如果单独开甲水管，8小时可将空水池注满；如果单独开乙 水管，12 小时可将空水池注满；如果单独开丙水管，24 小时可将 满池的水放完。问：三个水管一起开，多少小时能注满这个水池的 3 4 ？ 【思维点拨】根据"如果单独开甲水管，8小时可将空水池注满"， 可知甲水管的工作效率是 1 8 ；根据"如果单独开乙水管，12 小时可 将空水池注满"，可知乙水管的工作效率是 1 12 ；根据"如果单独开丙 水管，24 小时可将满池的水放完"，可知丙水管的工作效率是 1 24 。 同时开放这三个水管，其工作效率之和，即 1 8 + 1 12 − 1 24 = 1 6 。然后， 用 3 4 除以三个水管的工作效率之和，就得出最后的结果了。 解： 3 4 ÷ ( 1 8 + 1 12 − 1 24 ) = 4 1 2 小时 答：三个水管齐开4 1 2 小时能注满这个水池的 3 4 。 1、有一个水池，如果甲、乙两个水管合开，8小时可注满水。如果 甲先开 9小时，接着乙单独开 4小时，也可以注满水。问：如果单独 开甲水管，注满水需要多少小时？ 2、有一个大水池，甲、乙两台抽水机共同工作 10小时，可以把水池 里的水全部抽完。如果甲抽水机单独工作 4小时，乙抽水机单独工作 6小时，能够抽完整池水的 7 15 。问：如果乙抽水机单独工作，几小时 可以抽完一池水？ 4、有一个大水池，如果甲、乙水管同时开，6小时可注满水。如果 乙、丙水管同时开，5小时可注满水。现在先开乙水管，6小时后关 培优拔尖 3 闭，还需要甲、丙两水管同时开 2小时，才能将水池注满。问：乙水 管单独开，需要多少小时才能注满水？ 【例 6】有甲、乙两个工程队，分别负责两项工程。晴天，甲完成 工程需要 10天，乙完成工程需要 16天。雨天，甲和乙的工作效率 分别是晴天的 3 10 和 4 5 。实际情况是，两队同时开工，又同时完工。 请问：在施工期间，下雨天的天数是多少？ 【思维点拨】在晴天，甲、乙的工作效率分别是 1 10 和 1 16 ，甲比乙的 工作效率高 1 10 − 1 16 = 3 80 ；在雨天，甲、乙的工作效率分别为 1 10 × 3 10 = 3 100 和 1 16 × 4 5 = 1 20 ，乙队的工作效率比甲队高 1 20 − 3 100 = 1 50 ，因为 两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间是相同的，所以， 在整个施工期间，晴天与雨天的比为 1 50 ÷ 3 80 = 8:15。如果有 8个 重点例题 6、7、8 晴天，则甲共完成工程的 1 10 × 8 + 3 100 × 15 = 1.25，而实际上 的工程量为 1，所以在施工期间，一共有8 ÷ 1.25 = 6.4个晴天， 15 ÷ 1.25 = 12个雨天。 【例 7】有一个蓄水池，每分钟流入 4立方米水，如果打开 5个水 龙头，25小时就可以把水池里的水放空。如果打开 8个水龙头， 1.5小时就可以把水池里的水放空。现在打开 13个水龙头，问： 多长时间可以把水放空？ 【思维点拨】先计算 1个水龙头每分钟放出的水量。2.5小时比 1.5 小时多 60 分钟，多流入水4 × 60 = 240（立方米），所有的时间 都 用 分 钟 作 单 位 。 1 个 水 龙 头 每 分 钟 的 放 水 量 是 240 ÷ (5 × 150−8 × 90) = 8（立方米）。8个水龙头 1.5小时 的放水量是8 × 8 × 90立方米，其中 90 分钟内流入的水量是 4 × 90立 方 米 ， 因 此 原 来 水 池 中 存 有 水 8 × 8 × 90−4 × 90 = 5400立方米。打开 13个水龙头，每分钟 可以放出水8 × 13立方米，除去每分钟流入 4 立方米，其余将放 出 原 存 的 水 ， 放 空 原 存 的 5400 立 方 米 水 ， 需 要 5400 ÷ (8 × 13−4) = 54分钟。 2.5小时-1.5小时=1小时=60分钟 多流入的水量：4 × 60 = 240立方米 1 个水龙头每分钟的放水量：240 ÷ (5 × 150−8 × 90)=8（立 方米） 原来水池中存水量：8 × 8 × 90−4 × 90 = 5400（立方米） 把水放空所需要的时间：5400 ÷ (8 × 13−4) = 54（分钟） 答：要 54分钟可以把水放空。 【例 8】有一个天然的水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水 池的水量是固定的。当这个水池的水满时，打开甲水管，8小时可 以将水池排空；打开乙水管，10小时可以将水池排空；打开丙水 管，12小时可以将水池排空；如果打开甲、乙两水管，4小时可以 将水池排空。问：如果打开乙、丙两水管，将水池排空需要多长时 间？ 【思维点拨】解答本题的关键在于，我们在计算水管每小时排出水 量的同时，也要考虑渗入的水量。甲水管 8小时的排水量为 1池水 再加上 8 小时渗入的水量，那么甲水管每小时的排水量为 1 8池水再 加上 1小时渗入的水量。同理，乙水管每小时的排水量为 1 10池水再 加上 1 小时渗入的水量，甲、乙两水管每小时的排水量为 1 4池水再 加上 1小时渗入的水量。另甲、乙两水管每小时的排水量为 1 8 + 1 10 = 9 40（池）水再加上 1 小时渗入的水量，因此可知 1 小时渗入的 水量为 1 4− 9 40 = 1 40（池）水。因此，乙水管每小时排水量为 1 10 + 1 40 = 1 8（池）水，丙水管每小时排水量为 1 12 + 1 40 = 13 120（池）水。 所以，乙、丙两水管排一池水，需要 1 ÷ ( 1 8 + 13 120− 1 40) = 4.8（小时） 答： 水池排空需要 4.8小时。 1、有一个游泳池、装着甲、乙、丙三个进水管，如果单开甲水管， 需要 20 小时注满水池，甲、乙两水管合开需要 8 小时注满水池，乙、 丙两水管合开需要 6小时注满水池。问：单开丙水管，需要多少小时 注满水池？ 2、有一个蓄水池、装有甲、丙两条进水管，乙、丁两条出水管。要 注满这池水，单开甲水管需要 3小时，单开丙水管需要 5小时；要排 空这池水，单开乙水管需要 4 小时，单开丁水管需要 6 小时。现在， 培优拔尖 4 池中有 1 6 池水，如果按照甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次 每管开 1小时，问：多长时间水开始溢出水池？ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，并单独成卷，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               工程问题 第6讲     专题概述 工程问题研究的是工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系。工程问题分为整数工程问题和分数工程问题。其中分数工程问题是小学数学竞赛的常见题型。 由于在分数工程问题中，不给出具体的数值，工作总量一般用"1"表示，工作效率则表示为工作时间的倒数，所以这类题难度较大，题型也更复杂，需要我们在掌握基本解题方法的基础上，拓宽解题思路，正确分析数量关系。不过，万变不离其宗，不管是整数工程问题，还是分数工程问题，其解题思路都是一样的，即： 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 掌握了公式，自然解题就顺手了。 重点例题1 【例1】一项工程，如果由贾师傅单独做，12天可以完成。现在，贾师傅做了3天后，另有任务，余下的工程由李师傅做，要求15天完成。求：李师傅单独做这项工作要多少天？ 【思维点拨】解法一：我们可以用单位"1"的方法来解这道题目。把这项工程看成"1"，因为"贾师傅单独做，12天可以完成"，他的工作效率就是 ，他3天做了这项工程的 ，这时还剩下 。余下的工程由李师傅在15天完成，他的工作效率是 ，用工作总量除以李师傅的工作效率，就是李师傅单独做这项工作需要的时间。 解法二：我们可用假设法来解决这道题目。换个角度思考这道题目，李师傅完成贾师傅3天工作量所需要的时间，再加上李师傅完成余下部分工程所需要的时间，就是李师傅单独完成这项工程的时间了。 贾师傅3天的工作量： 李师傅的工作效率： 贾师傅3天的工作量由李师傅来做需要的天数： 列算式如下： 解法三：我们可以把李师傅完成整个工程的时间看成单位"1"。李师傅做了整个工程的 用了15天，则用15天直接除以李师傅实际完成工作量的对应分率就可以了。 解法四：我们可以把费师傅做3天后余下的工作量看成单位"1"。 整个工程相当于"1"的 ，而15天的 就是李师傅单独做这项工程的时间。 设费师傅做3天后余下的工作量为"1"，则有 解法五：我们可以用比例的方法解这道题目。因为"工作总量÷工作效率＝工作时间"，工作效率一定，那么工作总量和工作时间成正比例。 设李师傅完成整个工程需要x天，则有 解得 。 答：李师傅单独做这项工程需要20天。 培优拔尖1 1、一份工作，甲单独做3小时可以完成，乙单独做6小时可以完成，丙单独做4小时可以完成。问：三个人合作，几小时可以完成？ 【答案】1时 【分析】把工作总量看成单位“1”，根据“工作效率=1÷工作时间”，求出甲、乙、丙的工作效率，从而求出工作效率之和。再根据“工作时间=工作总量÷工作效率之和”，就能求出工作时间了。三个入合作所需要的时间：1÷()=1（时）。 2、加工一批玩具，小贾单独做要8天完成，小李单独做要10天完成。两个人合作了4天，正好加工了207个。问：这批玩具一共有多少个？ 【答案】230个 【分析】先求出二入合作4天完成这批玩具的几分之几，再根据需求对应的关系，求出玩具的总数。 4天完成的工作量： 这批玩具的总数：207÷=230（个） 3、一项工作，甲单独做要用20天，乙单独做要用16天，两人合作8天后，剩余的工作由甲单独完成。问：甲还要做几天，才能完成工作？ 【答案】 2天 【分析】两人合作5天后的工作量： 1- 甲完成剩余工作的次数： 重点例题2、3 【例2】一项工作，赵、钱二人一起做，需要36天完成；钱、孙二人一起做，需要45天完成；赵、孙二人一起做，需要60天完成。问：赵、钱、孙单独做，各需要多少天完成？ 【思维点拨】我们可以把整个工作总量看成单位"1"。现知道三人两两一组的工作效率，只要求出三人一组的工作效率，也就可以求出每个人的工作效率了，再根据公式"工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率"，求出每个人的工作天数。 答： 赵单独做这项工作需要90天完成，钱单独做这项工作需要60天完成，孙单独做这项工作需要180天完成。 【例3】一项工作，贾师傅8天完成全部工作的，李师傅10天完成余下工作的，最后贾、李二人合作完成这项工作。问：贾、李二人还需要多少天才能完成这项工作？ 【思维点拨】我们可以把总工作量看成单位"1"，根据公式"工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间"，得出贾师傅的工作效率是 ，李师傅的工作效率是 ，贾、李二人合作的工作效率是 ，用余下的工作量除以贾、李二人合作的工作效率，就得出还需要的天数了。 答：余下的工作由贾、李二人合作还需要 天才能完成。 培优拔尖2 1、一份工作，小贾单独做需要20天完成，小李单独做需要30天完成，现由二人合作做了4天，再由小张参加，三人一起做了6天全部完成。如果三人同时开工做，那么几天可以完成？ 【答案】 9天 【分析】小张的工作效率： [1- 三人合作的天数： （天） 2、一项工作，贾、李合作6天能完成，如果贾单独做，那么贾完成工作的与李完成工作的所需时间相等。问：贾、李单独做，各需要多少天完成？ 【答案】贾24天，李16天。 【分析】贾的天数：， （天） 李的天数：（天）。 3、一条石子路，甲、乙两个工人合修12天可以完成。如果甲先修3天后，再由乙修8天，共完成这项工程的。如果这条石子路由甲单独修，那么需要多少天？ 【答案】20天 【分析】把甲先修3天，乙修8天，看成两人合修3天，乙再修5天。 （天） 重点例题4、5 【例4】有一个水池子，甲、乙两个水管同时开，5小时可放满水；乙、丙两个水管同时开，4小时可放满水。现在，先开乙水管6小时后，关掉乙水管，再同时开甲、丙水管2小时，才能把水池放满。如果乙水管单独开，需要几小时放满水？ 【思维点拨】根据"甲、乙两个水管同时开，5小时可放满水"，可知甲、乙两水管的工作效率之和是；根据"乙、丙两个水管同时开，4小时可放满水"，可知乙、丙两水管的工作效率之和是。"现在，先开乙水管6小时后，关掉乙水管，同时开甲、丙水管2小时，才能把水池放满"，换一种说法就是"甲、乙分开2小时，乙、丙再分开2小时，最后乙单独开2小时，刚好放满水"。用单位"1"减去甲、乙两水管2小时的放水量和乙、丙两水管2小时的放水量，余下的就是乙水管单独开2小时的放水量，据此可求出乙的工作效率，最后求出乙水管单独放水时间。 解： 答：乙水管单独开，需要20小时放满水。 【例5】有一个水池子，安装着甲、乙两个进水管，还有一个丙出水管。如果单独开甲水管，8小时可将空水池注满；如果单独开乙水管，12小时可将空水池注满；如果单独开丙水管，24小时可将满池的水放完。问：三个水管一起开，多少小时能注满这个水池的？ 【思维点拨】根据"如果单独开甲水管，8小时可将空水池注满"，可知甲水管的工作效率是；根据"如果单独开乙水管，12小时可将空水池注满"，可知乙水管的工作效率是；根据"如果单独开丙水管，24小时可将满池的水放完"，可知丙水管的工作效率是。同时开放这三个水管，其工作效率之和，即。然后，用除以三个水管的工作效率之和，就得出最后的结果了。 解： 答：三个水管齐开小时能注满这个水池的。 培优拔尖3 1、有一个水池，如果甲、乙两个水管合开，8小时可注满水。如果甲先开9小时，接着乙单独开4小时，也可以注满水。问：如果单独开甲水管，注满水需要多少小时？ 【答案】10小时 【分析】“甲先开9小时，然后乙单独开4小时，也可以注满水”，换种说法就是“甲、乙合并4小时，甲再单独开5小时”。 （时） 2、有一个大水池，甲、乙两台抽水机共同工作10小时，可以把水池里的水全部抽完。如果甲抽水机单独工作4小时，乙抽水机单独工作6小时，能够抽完整池水的。问：如果乙抽水机单独工作，几小时可以抽完一池水？ 【答案】30小时 【分析】“甲抽水机单独工作4小时，乙抽水机单独工作6小时”，换言之，就是“甲、乙合并4小时，乙再单独开2小时”。 （时） 3、有一个大水池，如果甲、乙水管同时开，6小时可注满水。如果乙、丙水管同时开，5小时可注满水。现在先开乙水管，6小时后关闭，还需要甲、丙两水管同时开2小时，才能将水池注满。问：乙水管单独开，需要多少小时才能注满水？ 【答案】小时 【分析】“先开乙水管，6小时后关闭，还需要用，两两水管同时开2小时，才能将水池注满”。意思是“甲、乙合并2小时，乙、丙合并2小时，乙再单独开2小时”。 （时） 重点例题6、7、8 【例6】有甲、乙两个工程队，分别负责两项工程。晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天。雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天的和。实际情况是，两队同时开工，又同时完工。请问：在施工期间，下雨天的天数是多少？ 【思维点拨】在晴天，甲、乙的工作效率分别是和，甲比乙的工作效率高；在雨天，甲、乙的工作效率分别为和，乙队的工作效率比甲队高，因为两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间是相同的，所以，在整个施工期间，晴天与雨天的比为。如果有8个晴天，则甲共完成工程的，而实际上的工程量为1，所以在施工期间，一共有个晴天，个雨天。 【例7】有一个蓄水池，每分钟流入4立方米水，如果打开5个水龙头，25小时就可以把水池里的水放空。如果打开8个水龙头，1.5小时就可以把水池里的水放空。现在打开13个水龙头，问：多长时间可以把水放空？ 【思维点拨】先计算1个水龙头每分钟放出的水量。2.5小时比1.5小时多60分钟，多流入水（立方米），所有的时间都用分钟作单位。1个水龙头每分钟的放水量是（立方米）。8个水龙头1.5小时的放水量是立方米，其中90分钟内流入的水量是立方米，因此原来水池中存有水立方米。打开13个水龙头，每分钟可以放出水立方米，除去每分钟流入4立方米，其余将放出原存的水，放空原存的5400立方米水，需要分钟。 2.5小时-1.5小时=1小时=60分钟 多流入的水量：立方米 1个水龙头每分钟的放水量：=8（立方米） 原来水池中存水量：（立方米） 把水放空所需要的时间：（分钟） 答：要54分钟可以把水放空。 【例8】有一个天然的水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的。当这个水池的水满时，打开甲水管，8小时可以将水池排空；打开乙水管，10小时可以将水池排空；打开丙水管，12小时可以将水池排空；如果打开甲、乙两水管，4小时可以将水池排空。问：如果打开乙、丙两水管，将水池排空需要多长时间？ 【思维点拨】解答本题的关键在于，我们在计算水管每小时排出水量的同时，也要考虑渗入的水量。甲水管8小时的排水量为1池水再加上8小时渗入的水量，那么甲水管每小时的排水量为池水再加上1小时渗入的水量。同理，乙水管每小时的排水量为池水再加上1小时渗入的水量，甲、乙两水管每小时的排水量为池水再加上1小时渗入的水量。另甲、乙两水管每小时的排水量为（池）水再加上1小时渗入的水量，因此可知1小时渗入的水量为（池）水。因此，乙水管每小时排水量为（池）水，丙水管每小时排水量为（池）水。 所以，乙、丙两水管排一池水，需要 （小时） 答： 水池排空需要4.8小时。 培优拔尖4 1、有一个游泳池、装着甲、乙、丙三个进水管，如果单开甲水管，需要20小时注满水池，甲、乙两水管合开需要8小时注满水池，乙、丙两水管合开需要6小时注满水池。问：单开丙水管，需要多少小时注满水池？ 【答案】 小时 【分析】乙水管工作效率： 丙水管工作效率： 丙水管需要的时间： 2、 有一个蓄水池、装有甲、丙两条进水管，乙、丁两条出水管。要注满这池水，单开甲水管需要3小时，单开丙水管需要5小时；要排空这池水，单开乙水管需要4小时，单开丁水管需要6小时。现在，池中有池水，如果按照甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问：多长时间水开始溢出水池？ 【答案】 小时 【分析】 学科网（北京）股份有限公司 $$