第6章 平行四边形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第6章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的每个内角为（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 3．（3分）下列说法正确的是（　　） A．平行四边形是轴对称图形 B．若锐角△ABC的三条边分别为a，b，c，则a2+b2＜c2 C．在平面内若直线m⊥n，n⊥α，则m⊥α D．10条直线相交最多有45个交点 4．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　） A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝AE D．四边形AECF为平行四边形 5．（3分）小刚在计算一个多边形的内角和时，求得内角和为1140°，检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个重复计算的内角度数以及多边形的边数分别为（　　） A．60°，6 B．60°，8 C．120°，6 D．120°，8 6．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还小180°，这个多边形的边数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 8．（3分）现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DEA＝25°，则∠B＝　 　． 10．（3分）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 　 　边形． 11．（3分）从一个多边形的一个顶点出发一共有15条对角线，则这个多边形的边数为 　 　． 12．（3分）如图为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度数为 　 　． 13．（3分）如图，在由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，平行四边形AEFG的顶点G在平行四边形ABCD的边CD上，平行四边形ABCD的顶点B在平行四边形AEFG的边EF上．求证：S▱ABCD＝S▱AEFG． 15．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由） 16．（8分）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求平行四边形ABCD的面积． 17．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CAD＝∠B，延长AD到点E，使DE＝AD，过点E作EF∥CB，交AC的延长线于点F． （1）求证：点C是AF的中点； （2）若EF＝CF＝2，求BD的长． 18．（9分）如图，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，并将OA，OB，BC，AC的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形DEFH． （1）求证：四边形DEFH是平行四边形； （2）如果∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8，求DE的长． 19．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿AC方向以4cm/S的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/S的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是tS（0＜t＜15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由 20．（12分）在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠B＝120°，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，连接PE、PF，令∠PED＝∠1，∠PFC＝∠2，∠EPF＝∠α． 初探： （1）如图①，若点P在线段CD上运动，试探究∠1+∠2与∠α之间的关系，并说明理由； 再探： （2）如图②，若点P在线段DC的延长线上运动，试探究∠1，∠2，∠α之间的关系，并说明理由； （3）若点P运动到四边形ABCD的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的关系 　 　． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先得到多边形的内角和为360°，然后根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：由条件可知：这个多边形的内角和是360°， 设多边形的边数为n， 则（n﹣2）×180＝360， 解得：n＝4， 故选：B． 2．（3分）若一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的每个内角为（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【分析】根据题意列出方程求得边数，即可求得每个内角度数． 【详解】解：正多边形的内角和为（n﹣2）×180°，正多边形的外角和360°， ∵正多边形的内角和是其外角和的2倍， ∴（n﹣2）×180°＝2×360°，解得n＝6， 则这个正多边形的每个内角为． 故选：C． 3．（3分）下列说法正确的是（　　） A．平行四边形是轴对称图形 B．若锐角△ABC的三条边分别为a，b，c，则a2+b2＜c2 C．在平面内若直线m⊥n，n⊥α，则m⊥α D．10条直线相交最多有45个交点 【分析】根据平行四边形的性质、轴对称图形的定义可判断A；在锐角△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理可推出AD2+BD2＝c2，再根据BD＜a，AD＜b，即得出a2+b2＞c2，可判断B；根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，可判断C；分别求出2条、3条、4条、5条直线相交最多的交点个数，总结出规律，从而即可求出10条直线相交最多的交点个数，可判断D． 【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故该选项错误，不符合题意； B．如图，在锐角△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D， ∴AD2+BD2＝c2． ∵BD＜a，AD＜b， ∴AD2+BD2＜a2+b2， ∴a2+b2＞c2，故该选项错误，不符合题意； C．在平面内若直线m⊥n，n⊥α，则m∥α，故该选项错误，不符合题意； D．∵2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有1+2＝3个交点， 4条直线相交最多有1+2+3＝6个交点， 5条直线相交最多有1+2+3+4＝10个交点， …… ∴n条直线相交最多有个交点， ∴10条直线相交最多有个交点，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　） A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝AE D．四边形AECF为平行四边形 【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件． 【详解】解：A、在▱ABCD中， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF， 故A可以使AE＝CF，不符合题意； B、∵AE∥CF，AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF， 故B可以使AE＝CF，不符合题意； C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF， 故C符合题意； D、∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF， 故D可以使AE＝CF，不符合题意； 故选：C． 5．（3分）小刚在计算一个多边形的内角和时，求得内角和为1140°，检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个重复计算的内角度数以及多边形的边数分别为（　　） A．60°，6 B．60°，8 C．120°，6 D．120°，8 【分析】设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，x＝1140°﹣（n﹣2）×180°，因为0°＜x＜180°，0°＜1140°﹣（n﹣2）×180°＜180°，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x， ∴x＝1140°﹣（n﹣2）×180°， ∵0°＜x＜180°， ∴0°＜1140°﹣（n﹣2）×180°＜180°， 解得：， ∵n为整数， ∴n＝8， x＝1140°﹣（8﹣2）×180°＝60°． 故这个重复计算的内角度数为60°，这个多边形的边数是8． 故选：B． 6．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还小180°，这个多边形的边数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360°，由此即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n， 由题意得：（n﹣2）•180°＝2×360°﹣180°， ∴n＝5． 故选：C． 7．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得∠BAM，∠FAB′，∠AB′F，在△AFB′中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴正五边形的一个内角为540°÷5＝108°． 由条件可知， ∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF， ∴，∠AB′F＝∠B＝108°， 在△AFB′中，∠AFB′＝180°﹣∠AB′F﹣∠FAB′＝180°﹣108°﹣27°＝45°， 故选：B． 8．（3分）现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【分析】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明ANCM是平行四边形即可． 【详解】解：乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD， ∴∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN， ∴∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN， ∴AB＝BM，CD＝DN， ∴BM＝DN， ∴AN＝CM，AN∥CM， ∴四边形ANCM是平行四边形； 甲：由作图可知，BM＝BA，DN＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴BM＝DN， ∴CM＝AN，CM∥AN， ∴四边形ANCM是平行四边形； 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DEA＝25°，则∠B＝　130°　． 【分析】由▱ABCD中，AE平分∠BAD，∠DEA＝25°，可得∠DEA＝∠BAE＝∠DAE＝25°，∠B＝∠D，则∠D＝180°﹣∠DEA﹣∠DAE，计算求解，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，∠B＝∠D， ∴∠BAE＝∠DEA＝25°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DEA＝∠BAE＝25°， ∴∠D＝180°﹣∠DEA﹣∠DAE＝130°， ∴∠B＝130°， 故答案为：130°． 10．（3分）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 　八　边形． 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得， （n﹣2）•180°＝3×360°， 解得n＝8， ∴这个多边形为八边形． 故答案为：八． 11．（3分）从一个多边形的一个顶点出发一共有15条对角线，则这个多边形的边数为 　18　． 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出15条对角线，设边数为n， ∴n﹣3＝15， 解得n＝18， 故答案为：18． 12．（3分）如图为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度数为 　720°　． 【分析】AA1之间添加两条边，可得∠B1+∠C1+∠D1＝∠EAD+∠AEA1+∠EA1B1，再根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：如图，AA1之间添加两条边， 由对顶角相等可知：360°﹣∠B1OD1＝360°﹣∠AOA1， ∴∠B1+∠C1+∠D1＝∠EAD1+∠AEA1+∠EA1B1， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1＝∠EAB+∠B+∠C+∠D+∠DA1E+∠E＝（5﹣2）×180°＝720°； 故答案为：720°． 13．（3分）如图，在由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数为 　84°　． 【分析】根据多边形的内角与外角、正多边形的性质解决此题． 【详解】解：如图． 由题意得，∠5＝60°，∠6＝72°，∠2＝108°，∠3＝120°． ∴∠4＝180°﹣∠5﹣∠6＝48°． ∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝84°． 故答案为：84°． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，平行四边形AEFG的顶点G在平行四边形ABCD的边CD上，平行四边形ABCD的顶点B在平行四边形AEFG的边EF上．求证：S▱ABCD＝S▱AEFG． 【分析】连接BG，AC，作AM⊥EF，垂足M，作AN⊥CD，垂足N．根据三角形的面积公式证明S▱ABCD＝2S△ABG，S▱AEFG＝2S△ABG，即可证明结论． 【详解】解：连接BG，AC，过A作AM⊥EF于M，作AN⊥CD于N． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∴， ∵S△ACG+S△ADGCG•ANDG•ANCD•AN， ∴S△ADC+S△ADG＝S△ABG， ∴S▱AEFG＝2S△ABG，S▱ABCD＝2S△ABG， ∴S▱ABCD＝S▱AEFG． 15．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由） 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．再证明DF＝BE，然后由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证明AF＝BE，再由平行四边形的性质得AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D． ∵AF＝CE， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， ∴DF＝BE， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：如图，添加BE＝CE，理由如下： ∵AF＝CE，BE＝CE， ∴AF＝BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴四边形ABEF是平行四边形． 16．（8分）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合DF平分∠ADC可推出∠F＝∠ADF，即可证明AD＝AF； （2）过点D作DH⊥BA，垂足为H，可推出∠DAH＝60°，利用DH＝ADsin∠DAH，得到DH，最后根据S▱ABCD＝AB•DH即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠F＝∠CDF， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDF＝∠ADF， ∴∠F＝∠ADF， ∴AD＝AF； （2）解：过点D作DH⊥BA，垂足为H， ∵∠BAD＝120°，AB＝3，AD＝6， ∴∠DAH＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°， ∴， ∴． 17．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CAD＝∠B，延长AD到点E，使DE＝AD，过点E作EF∥CB，交AC的延长线于点F． （1）求证：点C是AF的中点； （2）若EF＝CF＝2，求BD的长． 【分析】（1）根据三角形中位线定理证明； （2）根据三角形中位线定理求出CD，证明△FAE≌△BCA，根据全等三角形的性质得到BC＝AF＝4，计算即可． 【详解】（1）证明：∵EF∥CB，DE＝AD， ∴AC＝CF，即点C是AF的中点； （2）解：∵DE＝AD，AC＝CF， ∴DE是△AEF的中位线， ∴CDEF＝1， ∵EF∥CB， ∴∠F＝∠ACB，∠E＝∠ADC， ∵EF＝CF， ∴EF＝AC， 在△FAE和△BCA中， ， ∴△FAE≌△BCA（AAS）， ∴BC＝AF＝4， ∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3． 18．（9分）如图，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，并将OA，OB，BC，AC的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形DEFH． （1）求证：四边形DEFH是平行四边形； （2）如果∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8，求DE的长． 【分析】（1）由D，E，F，H分别是OA，OB、BC、AC的中点，根据三角形中位线定理得DE∥AB，且DEAB，HF∥AB，且HFAB，则DE∥HF，且DE＝HF，即可证明四边形DEFH是平行四边形； （2）作OG⊥AB于点G，因为∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8，所以∠AOG＝∠OAB＝45°，OGOB＝4，则AG＝OG＝4，BG4，求得AB＝4+4，则DEAB＝2+2． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是OA，OB、BC、AC的中点， ∴DE∥AB，且DEAB，HF∥AB，且HFAB， ∴DE∥HF，且DE＝HF， ∴四边形DEFH是平行四边形． （2）解：作OG⊥AB于点G，则∠AGO＝∠BGO＝90°， ∵∠OAB＝45°，∠ABO＝30°，OB＝8， ∴∠AOG＝∠OAB＝45°，OGOB＝4， ∴AG＝OG＝4，BG4， ∴AB＝AG+BG＝4+4， ∴DEAB（4+4）＝2+2， ∴DE的长是2+2． 19．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿AC方向以4cm/S的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/S的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是tS（0＜t＜15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由 【分析】（1）由题意得：CD＝4t，AE＝2t，∠C＝30°，根据即可求证； （2）分类讨论①∠EDF＝90°，②∠DEF＝90°两种情况，画出图形即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：CD＝4t，AE＝2t，∠DFC＝90°， ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°， ∵， ∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形； （2）解：①∠EDF＝90°时，如图所示： 则DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C＝30°， ∴， 由（1）得：AD＝AC﹣CD＝60﹣4t， ∴， 30﹣2t＝2t， 4t＝30， 解得：； ②∠DEF＝90°时，如图所示： 由（1）可得：AD∥EF， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∴∠AED＝30°， ∴ ∴， 60﹣4t＝t， 5t＝60， 解得：t＝12； 综上所述：或t＝12，△DEF为直角三角形． 20．（12分）在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠B＝120°，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，连接PE、PF，令∠PED＝∠1，∠PFC＝∠2，∠EPF＝∠α． 初探： （1）如图①，若点P在线段CD上运动，试探究∠1+∠2与∠α之间的关系，并说明理由； 再探： （2）如图②，若点P在线段DC的延长线上运动，试探究∠1，∠2，∠α之间的关系，并说明理由； （3）若点P运动到四边形ABCD的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的关系 　∠1+∠2＝40°+∠α　． 【分析】（1）由题意知，∠A+∠B+（180°﹣∠2）+∠α+（180°﹣∠1）＝540°，进而可求∠1+∠2＝40°+∠α； （2）如图②，记PE、BC的交点为H，则∠BHE＝∠2+∠α，由∠A+∠B+∠BHE+（180°﹣∠1）＝360°，可得∠1﹣∠2＝∠α+40°； （3）如图备用图，同理（1）求解作答即可． 【详解】解：（1）∠1+∠2＝40°+∠α，理由如下； 由题意知，∠A+∠B+（180°﹣∠2）+∠α+（180°﹣∠1）＝540°， ∵∠A＝100°，∠B＝120°， ∴∠1+∠2＝40°+∠α； （2）∠1﹣∠2＝∠α+40°，理由如下； 如图②，记PE、BC的交点为H， 由题意知，∠BHE＝∠2+∠α， ∵∠A+∠B+∠BHE+（180°﹣∠1）＝360°， ∴100°+120°+∠2+∠α+（180°﹣∠1）＝360°，即∠1﹣∠2＝∠α+40°； （3）如图备用图， 由题意知，∠A+∠B+（180°﹣∠2）+∠α+（180°﹣∠1）＝540°， ∴∠1+∠2＝40°+∠α， 故答案为：∠1+∠2＝40°+∠α． / 学科网（北京）股份有限公司 $$