期中测试（提升卷）-2024-2025学年高一下学期数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

期中考测试（提升卷） 考试时间：90分钟 满分150分 考试内容：平面向量及其应用、复数（第六、七章） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（24-25 吉林长春）若复数z满足，则（ ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3（2025·吉林长春）在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25 ·四川德阳）已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）在中，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 10．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 11．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（   ） A．的值是 B．的外接圆半径是 C．的面积是 D． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则 . 13．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 14．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）在中，，，、两点分别在边，上．若，则的最大值为 ． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）梯形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为8，求的长． 16．（24-25 江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 19．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，正方形的边长为分别为边上的点. (1)当时，求的值； (2)当的周长为2时， （i）求的大小： （ii）设为的面积，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考测试（提升卷） 考试时间：90分钟 满分150分 考试内容：平面向量及其应用、复数（第六、七章） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（24-25 吉林长春）若复数z满足，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，故选：A. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若夹角为钝角，则且不反向共线， 则，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“向量与向量的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：C 3（2025·吉林长春）在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 4．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 5．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 所以， 向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 7．（24-25 ·四川德阳）已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可作图如下： 由，则 由，则， 解得， 易知，则， 即， . 故选：B. 8．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）在中，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 则、均为单位向量，且与同向，与同向， 可知与的角平分线的方向向量共线， 因为，可知的角平分线与垂直， 即的角平分线与高线重合，所以为等腰三角形，且， 又因为， 且，可得， 则边上的高为，. 所以的周长为. 故选：B. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【解析】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 10．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 【答案】BD 【解析】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 11．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（   ） A．的值是 B．的外接圆半径是 C．的面积是 D． 【答案】ACD 【解析】因为为的平分线，，所以， 因为，则，则， 因为， 由正弦定理得， 所以， ，故AC正确； 若，， 由正弦定理可知，的外接圆直径为， 所以的外接圆半径，故B错误； 若，由正弦定理得，， 因为与互补，所以， 可得，故D正确. 故选：ACD. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则 . 【答案】/2.5 【解析】 正方形的边长为2，点为边的中点， ， ， 在上的投影的数量为. 所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以， . 故答案为：. 13．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可知， ∴． ∵与的夹角为锐角，∴， 解得或． 当时，与方向相同，其夹角为，不符合题意， 故实数的取值范围是． 故答案为： 14．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）在中，，，、两点分别在边，上．若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】在中，，，、 两点分别在边，上要求的最大值，不妨设，，则， 由，知，在中， 由正弦定理得，， 即，由， 则，即，则， 则，则的最大值为. 故答案为：. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）梯形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为8，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1），，，中，由正弦定理，得 ，为锐角，． （2）， ．， 由，． 在中，由余弦定理，得 ． 16．（24-25 江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且， 所以， 则， 故当时，最小为， 此时， 则， 又， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【答案】(1) (2)的最小值为，，． 【解析】（1）， 当且仅当时，复数z的模最小，为． （2）当复数z的模最小时，． 又点Z位于函数的图象上，所以． 又，，所以， 当且仅当时等号成立．又，，， 所以，．所以的最小值为， 此时，． 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由，得，则，即， 而，所以. （2）由等面积法得：，即， 因此，，在中，由余弦定理得， 即，所以. （3） 由平分，得， 在中，设，则， 在中，由正弦定理，得，则， 在中，由正弦定理，得，则， 得，故有． 在中，由正弦定理，得，则， 得代入式，可得，即． 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“=”． 于是，．即的面积的最小值为． 19．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，正方形的边长为分别为边上的点. (1)当时，求的值； (2)当的周长为2时， （i）求的大小： （ii）设为的面积，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解析】（1）因为正方形的边长为，， 则， 所以， ， ， 则， 所以， 则. （2）（i）设线段、的长度分别为、，， 因为正方形的边长为， 则，， 因为的周长为，所以， 则由勾股定理得，即， 又因为，， 则 因为，所以， 所以. （ii）由（i）知，设，， 则，，， ， 因为，所以， 则，则， 则， 所以， 所以的面积的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$