2025年中考数学解答题专题系列：圆相关问题

2025年中考数学解答题专题系列：圆相关问题 1．如图，是的外接圆，是直径，点是上的一个点，且，是延长线上的一点，连接，若恰好平分． (1)求证：为的切线． (2)已知，，求的长． 2．在中，点C是弧的中点，交弦于点D，且D是的中点． (1)求的度数； (2)延长交于点E，连接，交于点F，如果，求的长度． 3．如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接． (1)求的值； (2)若的半径为2，求弦的长． 4．如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交的延长线于点C，与相切于点D，连接．    (1)求证：； (2)若，的长为π，求的长． 5．已知：和分别是⊙上的两条劣弧，且⊙的半径为5，，，和都可以在⊙上运动，且和没有公共点，连接，，，且，交于点． (1)如图1，若经过圆心． ①求的长； ②求的度数； (2)如图2，在和运动的过程中，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，连接，在和运动的过程中，四边形的面积也发生变化，记四边形的面积为，请直接写出的取值范围． 6．如图，是的直径，与相切于点B，D，过点C作分别交，于E，F两点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的半径为，，求的长． 7．如图1，的半径，弦．直线与相切于点C，．点P为弦的中点，连接． (1)如图1，求大小及线段的长度； (2)若弦以圆心为旋转中心，逆时针旋转到时停止，如图2所示，求点走过的路线长． 8．如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 9．如图，是的直径，是的弦，为上一点，连接，，过点作交延长线于点，连接并延长交于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为10，，求的长． 10．如图，锐角是的内接三角形，E为边的中点，D在边的延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出一条与弦垂直的直径； (2)在图2中，作出的平分线． 11．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 12．已知在直角三角形中，，以为直径作，圆上一点D满足，延长与相交于点E，与相交于点F． (1)若点D为的中点，求证：； (2)若，求的半径． 13．淇淇清明假期去游乐园玩，她玩了游乐园里的小型摩天轮后编制了一道数学问题：将摩天轮看作，如图1，摩天轮上的12个轿厢看作均匀分布在上的点，摩天轮运行时保持顺时针匀速转动，线段表示上下摩天轮的平台，表示摩天轮的支架，分别过图中两个轿厢的位置，乘客都从图中点位置的轿厢上下摩天轮，摩天轮直径为40米，运转一周用时12分钟，米．（参考数据：） (1) °； (2)如图2，当淇淇到达点处时，与她开始进入轿厢的位置（点）之间恰好相距32米（即线段的长为32米），求淇淇转过的弧的长度； (3)设淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点，连接，若与⊙O相切，直接写出此时的值． 14．如图， 在中， ， 是的平分线，的平分线 交 于点 ，点在上，以点为圆心的长为半径的圆经过点，交于点，交 于点． (1)求证： 为的切线． (2)当， 时，求的半径． (3)在（2）的条件下， 线段 ； ． 15．如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点． (1)求的正切值． (2)当与相似时，求的长． (3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学解答题专题系列：圆相关问题》参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，得到由直径所对的圆周角是直角得到，继而得到，即可得到结论； （2）先证明，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 平分， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解： ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 2．(1)60度 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，解直角三角形，圆周角定理，等边对等角等等，熟知垂径定理的推理是解题的关键． （1）由垂径定理的推论可得，再由线段中点的定义可得，据此解直角三角形即可得到答案； （2）先求出，则，再由垂径定理的推论得到，，解直角三角形得到，再证明，解直角三角形得到，则． 【详解】（1）解：连接 ∵在中，点C是弧的中点， ∴， ∵D是的中点，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵在中，点C是弧的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，解直角三角形，熟知直角三角形中各边之间与三角函数对应的关系是解题的关键． （1）设正方形的边长为a，利用正方形的性质即可解答； （2）设，利用勾股定理列方程求得，即可解答． 【详解】（1）解：设正方形的边长为a， 则圆O的半径， ， ； （2）解：为的直径， ， 半径， ， ， 设， 则， ， ． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，弧长公式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，得出，，再利用圆周角定理，得出，据此即可得证； （2）根据弧长公式计算求得，在中，利用正切函数的定义，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接．    ∵与相切于点D， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，的长为π， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 5．(1)①8；② (2)不变，见解析 (3) 【分析】（1）①根据勾股定理可得答案； ②根据“弧，弦，圆心角的关系”得，然后根据得出答案； （2）连接，并延长交于点F，连接，根据勾股定理求出， 可得，进而得，，然后根据可得答案； （3）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，然后根据可得部分取值范围，接下来根据当点H，O，G三点共线时最大，结合面积公式得出答案． 【详解】（1）解：①根据题意可知， ∵是的直径，且， ∴， 根据勾股定理，得； ②∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 如图所示，连接，并延长交于点F，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点O作，交于点G，H， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 即． 当点H，O，G三点共线时最大， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了“弧，弦，圆心角的关系”，圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键． 6．(1)详见解析 (2)2 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、圆的切线的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）如图：连接，根据切线的性质，再根据角平分线的判定定理可得平分，进而得到，然后角的和差以及三角形外角的性质可得，则，最后结合即可证明结论； （2）由平行线的性质可得，再结合，进而得到，再根据切线的性质可得；设，则，然后根据勾股定理得到方程求解即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， ∴，即． 7．(1)， (2) 【分析】（1）连接，，由切线得到，求出，然后利用圆周角定理求出；由垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）连接，求出为直径，点在线段上，然后求出旋转角为，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵直线与相切于点C， ∴， ， ∵点P为弦的中点 ∴垂直平分 ； （2）连接， ∵， ∴为直径，点在线段上． 与圆相切， ． 又， ，即旋转角为． 点走过的路线长为． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弧长等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．(1)证明见解析 (2)的长为，的长为 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 9．(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，利用平行线的判定定理证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，，证明，推出，利用勾股定理求得，推出是等边三角形，在中，利用正切函数求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，， 由（1）知，是的切线， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为10，， ， ， 解得（负值已舍去）， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作直线分别交于，则由垂径定理可得，则直径即为所求； （2）在（1）图上作射线，射线即为所求，连接，由圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，由垂径定理可得，从而得出，即射线平分． 【详解】（1）解：如图，直径即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，则，从而有，得到，从而求证； （）连接，由圆周角定理可得，根据三角函数可得，又四边形是的内接四边形，则，则有，所以，然后根据，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵所对的弧为， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在Rt中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，圆内接四边形，切线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 12．(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，设利用勾股定理得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：为的直径， ． ∵点D为的中点， ， ． 在和中， ， ． （2）解：， ． 为的直径， ． 在和中， ． ， ． 设， 由勾股定理得，， ，， 即 解得． 为的直径， 的半径为． 13．(1)60 (2)弧的长为米 (3)分钟或分钟 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出相邻的轿厢与圆心形成的圆心角，即可作答． （2）运用垂径定理得米，，结合勾股定理得，根据，所以，则，再运用弧长公式列式计算，即可作答． （3）结合切线的性质得，则，结合，故，因为运转一周用时12分钟，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵摩天轮上的12个轿厢看作均匀分布在上的点， ∴相邻的轿厢与圆心形成的圆心角， 则， 故答案为：60； （2）解：如图所示：过点O作， ∵， ∴米，， ∵摩天轮直径为40米， ∴米， 在中，（米）， 则， 故， ∴ 则（米），， ∴弧的长为米； （3）解：依题意，，分别是的切线，连接，如图所示： 依题意，米，， ∵米， ∴在中，， ∴， ∴， 由（1）得相邻的轿厢与圆心形成的圆心角， 即， ∴， ∵运转一周用时12分钟， ∴， ∴当淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点， ∴； ∴当淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点， ∴（分钟）； 综上：分钟或分钟 14．(1)见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查了切线的证明，相似三角形的判定与性质等，勾股定理与矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接．利用角平分线的性质和平行线的性质得到，后即可证得是的切线； （2）设的半径为，根据，得到，利用平行线的性质得到，即可解得 ，的半径为； （3）过点作于点，则，根据得到四边形是矩形，从而得到和，证得结论，进而根据勾股定理求得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接． ，平分， ，   ， ， 平分， ， ， 又， ， 是的切线； （2）∵，， ， ， 即， 解得， 的半径为； （3）过点作于点，则， 又，， ∴ 四边形是矩形， ， ， ． 在中， ∴ 故答案为：，． 15．(1)； (2)； (3)当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交． 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角得到，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义可得答案； （2）分在的左侧和在的右侧两种情况，讨论求解即可； （3）如解析图示中，求出圆与圆内切时，，再求出时，，据此分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：如图：当在的左侧时；过作， ∴， ∴， 设，则 与相似， ， ， ∵，即， ∴，即， ∴， ∵， ， ，即 解得（已检验，符合题意） ； 如图：当在的右侧时； 过作于，过过于，过作于， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相似， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ， ， 综上：； （3）解：如图，当圆与圆内切时，则， 过作于，过过于， 同（2）可证明， ∵， ∴， ∴， ∴ 如图，当时，在内切的基础上，点D会更靠近点B，即此时一定有， ∴， ∴内含于； 如图，过点O作交于T，则， ∴； 如图，当时，，则一定有， ∴与相交； 当时，如图， ∵， ∴， ∴与相交； 综上所述，当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交． 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$