2025年中考数学专题训练：二次函数

2025年中考数学专题训练：二次函数 一、单选题 1．下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．是方程的解 3．从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④．正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 5．已知二次函数（为常数，且）的图象只经过两个象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 二、填空题 7．已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 8．如果二次函数的图像向左平移1个单位长度后关于轴对称，那么 ．（用含的代数式表示） 9．定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 10．一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，则段对应的函数解析式 ． 11．对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 12．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为 ． 三、解答题 13．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q． (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标； (2)点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N． ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由； ②当线段最长时，求点M的坐标． 14．已知：如图1，二次函数与x轴相交于A，两点，与y轴交于点C，连接，P是第一象限的抛物线上一点． (1)求二次函数和直线的表达式； (2)连接与交于点G，若，求点P的坐标； (3)如图2，已知M，N是x轴上点B左侧（N不与B重合）两个动点，M在N的左边，，连接交于点E，连接交于点F，求的最小值． 15．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴直线为． (1)求该抛物线的函数解析式及顶点坐标． (2)设点关于直线的对称点为点，是直线上的一个动点，是否存在点，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． (3)为抛物线上一点，连接，过点作交直线于点，若，求点的坐标． 18．如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学专题训练：二次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B C B D 1．D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数增减性，掌握一次函数，二次函数图象的性质是关键． 根据一次函数，二次函数解析式，判定函数的增减性即可． 【详解】解：A、，当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小；故原选项不符合题意； B、，当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大；故原选项不符合题意； C、，的值随值的增大而增大，原选项不符合题意； D、，的值随值的增大而减小，符合题意； 故选：D ． 2．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，熟悉二次函数图象的特点，能够通过图象直接获取信息，结合题中给出条件进行推断是解题的关键． 利用二次函数图象的性质，抛物线与坐标轴及直线交点的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.根据图象可知，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，，，故该选项错误，不符合题意； B.由图象可知，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意； C. 由图象可知，当时，，故该选项错误，不符合题意； D. ∵抛物线和直线都经过点， ∴是方程的解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了列表法与树状图法，二次函数的性质，概率公式，首先根据题意得到，，然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴； 列表如下： ∴共有20种等可能结果，其中使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的有2种结果， ∴使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的概率为． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，需要具备一定的数形结合分析能力，理解抛物线的解析式中参数a，b，c对图象的影响，综合抛物线的开口方向，对称轴的位置，函数图象与y轴的交点位置，与x轴的交点个数，以及函数图象中一些特殊的值，即可判断各个选项．解题的关键是观察抛物线与两条坐标轴的交点位置、交点个数以及对称轴的位置． 【详解】解：因为抛物线开口向下， 所以； 因为对称轴在y轴左侧， 所以； 因为抛物线与y轴交于正半轴， 所以， 故，故①正确； 因为抛物线与x轴有两个交点， 所以，故②正确； 因为抛物线对称轴为，即， 所以，故③正确； 因为抛物线对称轴为，且当时，， 所以当时，， 所以时，抛物线在x轴上方，故，故④错误； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了根据二次函数的图象经过的象限确定参数的取值范围，解一元一次不等式组，解题关键是将问题转化为不等式组求解．根据二次函数的图象只经过两个象限，列出不等式组求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为，顶点坐标为， ∵它的图象只经过两个象限， ∴或， 不等式组无解； 不等式组的解集为． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴一次函数经过一、二、四象限， 故选：D． 7． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 8． 【分析】该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象向左平移1个单位长度后关于轴对称得出，求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移1个单位长度后关于轴对称， ∴， 化简得：， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对称轴． 【详解】解：， ， 即， 对称轴为直线， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，二次函数交点式的计算是关键． 根据题意，得到即，运用交点式求二次函数即可． 【详解】解：抛物线：，记为， ∴，顶点坐标为， ∴， 将绕点旋转得， ∴，， 将绕点旋转得， ∴，， ∴，，即， ∴的解析式为， 故答案为： ． 11． 【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的、的值，由得，解出再代入，即可求解． 【详解】解：抛物线，，， ，， ， 解得：或， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 12． 【分析】先求出抛物线与坐标轴的交点以及对称轴，在轴上取点，连接，可得四边形为平行四边形，则，那么，当点共线时，取得最小值，即为，此时点为与抛物线对称轴的交点，由待定系数法求出直线表达式即可求解点． 【详解】解：对称轴为直线， 当， 当，， 解得：， ∴， 在轴上取点，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线关于直线对称，且点是抛物线与轴交点， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值，即为， 此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线表达式为， 代入点，得， 解得：， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点E坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 13．(1)，直线，， (2)①点M是线段的中点，理由见解析；② 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用． （1）将点代入中，求出b的值，再根据二次函数的性质确定对称轴和对称点即可； （2）①设直线的表达式为，从而求出M的坐标为，根据二次函数解析式，求出点P的坐标为，进而判断即可； ②将的长度表示出来，根据二次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， 点C关于对称轴的对称点的坐标为； （2）解：①点M是线段的中点，理由如下： 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 此时点M的坐标为， 当时，，即点P的坐标为，， 点M为线段的中点； ②设，，则， ， ， 当时，最长， 将代入，得，即， 当线段最长时，点M的坐标为 14．(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图1，过点作轴交于点，设，，则，表示出，然后证明出，得到，然后得到求解即可； （3）如图2，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，推出，设，则，表示出，，得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）把点代入中， ， ， ， 点的坐标为． 设直线的表达式为，且经过点和点， 则，解得， ∴直线的表达式为． ∴二次函数的表达式为，直线的表达式为． （2）如图1，过点作轴交于点． 设，，则． ． 轴， ， ． ，， ， ， ，， ，； （3）如图2，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴． ，， ，， ， 设，则，把它们的横坐标代入中， ，， ． 由（2）知． ， ． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，线段问题，待定系数法求二次函数和一次函数表达式，相似三角形的性质和判定， 15．(1) (2)有最大值 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 16．(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 17．(1)， (2)存在，最大值 (3)的坐标为或或或． 【分析】（1）先根据抛物线的对称轴为直线，求出，再根据抛物线经过点，求出，然后代回，，写出抛物线的解析式，化为顶点式求出顶点坐标； （2）先求出，，的坐标，再利用轴对称的性质说明，，然后分“点不与点重合”、“点与点重合”说明最大值为，利用勾股定理求出即可； （3）先求出点的纵坐标，再设，可得出点的横坐标为，然后证明，列出比例式结合三角函数求出，从而可得的横坐标为1，再利用，得到关于的方程求解，求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ． 又此抛物线经过点， ， ， 该抛物线的函数解析式为． 由于， 顶点坐标是． （2）在直线上存在一点，使有最大值． 如图1，连接并延长，交直线于点，在直线上任取一点，连接． 对于， 令，得或，，； 令，得，． 点关于直线的对称点为点， ，． 当点不与点重合时，， 当点与点重合时，，此时的值最大，即为的长． ，， ， 的最大值为． （3）如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则点的纵坐标为3． 设，则点的横坐标为． ，． 又， ， ． ， ， ． 点在直线（即直线）上， 点的横坐标为1， ，即， 或， 解得或或或， 点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 18．(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）将点、点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，交直线于点，证明为等腰直角三角形，利用三角函数解得；利用待定系数法求得直线解析式，设，则，易得，进而可得，结合二次函数的性质，即可获得答案； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，首先确定抛物线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，易得，，，，再设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，；证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，，由图像可知，易知，进一步可得，即可确定直线的解析式为，当时，可有，即可证明结论． 【详解】（1）解：将点、点代入抛物线， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点， 对于抛物线，当时，可有， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵抛物线， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为， ∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 设直线的解析式为， 联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得，整理可得， 则有，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理可得， 由图像可知， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，可有， ∴直线经过一定点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程的根与系数的关系等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$