高二下学期期末复习第五章 一元函数的导数及其应用（十五大题型专练+思维导图+知识清单）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

高二下学期期末复习第五章 一元函数的导数及其应用（十五大题型专练+思维导图+知识清单） 【人教A版（2019）】 【知识清单1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 题型一 变化率问题 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（多选）（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 4．（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 题型二 利用导数的定义解题 6．（24-25高二下·天津河东·期中）已知函数在处的导数为1，则等于（   ） A．2 B．1 C． D． 7．（24-25高二下·上海·期中）设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D． 8．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 10．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 【知识清单2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 题型三 曲线的切线问题 11．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·江西·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（24-25高二下·广西南宁·期中）已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数 . 15．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数和，其中为常数且. (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 【知识清单3 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 题型四 导数的运算 16．（24-25高二下·河南南阳·期中）下列求导运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为（   ） A．8 B．1 C．0 D． 18．（多选）（24-25高二下·安徽马鞍山·期中）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．函数是周期函数 D． 19．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数满足，则 ． 20．（24-25高二下·天津·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； 【知识清单4 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 题型五 利用导数判断单调性、求单调区间 21．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（多选）（24-25高二下·福建龙岩·期中）若函数在上单调递减，则实数的值可能为（   ） A． B． C．3 D．4 24．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 25．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，且在处的切线斜率为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性. 题型六 函数单调性的应用 26．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）设，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 28．（多选）（24-25高二下·湖北·期中）已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·上海宝山·期中）设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 . 30．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【知识清单5 函数的极值与最值】 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 4．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 题型七 函数的极值问题 31．（24-25高二下·福建漳州·期中）若函数在处取得极大值，则（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（多选）（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知为常数，函数有两个极值点，，则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数在处取得极值0，则 ． 35．（24-25高二下·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数在处的切线方程． (1)求，的值； (2)求的单调区间与极值． 题型八 函数的最值问题 36．（24-25高二下·北京丰台·期中）函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 37．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（多选）（24-25高二下·福建福州·阶段练习）下列函数有最小值的为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·安徽宿州·期中）设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 . 40．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若，求在区间上的最小值和最大值. 题型九 函数单调性、极值与最值的综合应用 41．（2025·河南·一模）若函数在区间上有极大值，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．e 42．（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 43．（多选）（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在处有极大值 C．若在上不单调，则 D．若在区间 上有最小值，则 44．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于.     其中所有正确结论的序号是 . 45．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知的一个极值点为2. (1)求m的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最值 【知识清单6 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 题型十 利用导数研究函数零点（方程根） 46．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（多选）（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 49．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 50．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【知识清单7 导数中的不等式问题】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．导数中的恒成立、存在性问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 题型十一 利用导数证明不等式 51．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知正数满足（e为自然对数的底数），则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 52．（23-24高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①，②，③ ，④ 中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．（多选）（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 54．（23-24高二下·北京海淀·期中）已知函数，存在，使得成立.给出下列四个结论: ①当时，;                        ②当时，; ③当时，;                    ④当时，. 其中所有正确结论的序号是 . 55．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 (1)求的极值； (2)证明：． 题型十二 利用导数研究不等式恒成立、存在性问题 56．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 57．（24-25高二下·广东广州·期中）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（多选）（24-25高二下·河南焦作·期中）已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（    ） A． B． C．e D．2e 59．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 . 60．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【知识清单8 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 题型十三 利用导数研究双变量问题 61．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高二下·湖南·期中）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 63．（多选）（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 64．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 65．（24-25高二下·浙江杭州·开学考试）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【知识清单9 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 题型十四 导数在实际问题中的应用 66．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 67．（24-25高二下·全国·课后作业）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（    ） A． B． C． D． 68．（多选）（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（    ） A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212 C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50 69．（24-25高二下·福建福州·期中）如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为 cm时，这个纸盒的容积最大. 70．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 题型十五 导数中的新定义问题 71．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 72．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 73．（多选）（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 74．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为 . 75．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围． (2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期末复习第五章 一元函数的导数及其应用（十五大题型专练+思维导图+知识清单） 【人教A版（2019）】 【知识清单1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 题型一 变化率问题 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用函数的平均变化率的公式，准确计算，即可求解. 【解答过程】由平均变化率的计算公式，可得平均变化率为. 故选：D. 2．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【解答过程】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 3．（多选）（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误． 故选：BC. 4．（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    【解题思路】根据图象求解函数表达式，即可由平均变化率的计算公式求解. 【解答过程】由图可知在上的函数表达式为，即可， 故当时，， 在上的函数表达式为，即可， 当 在区间上的平均变化率为， 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【解题思路】（1）根据平均速度的计算公式计算； （2）利用（1）代入求解即可； （3）求平均速度在时的极限即可. 【解答过程】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． 题型二 利用导数的定义解题 6．（24-25高二下·天津河东·期中）已知函数在处的导数为1，则等于（   ） A．2 B．1 C． D． 【解题思路】根据题意结合导数的定义即可得结果. 【解答过程】由题意可知：， 所以. 故选：B. 7．（24-25高二下·上海·期中）设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D． 【解题思路】由导数的概念求解即可. 【解答过程】由. 故选：B. 8．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的定义逐个求解. 【解答过程】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD. 9．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【解题思路】由导数的定义即可求解. 【解答过程】， 所以， 故答案为：. 10．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 【解题思路】（1）代入直接计算即可； （2）直接作商即可求解； （3）直接进行简单极限运算； （4）利用导函数概念求解导函数，代入法求解，. 【解答过程】（1） ； （2）； （3）； （4）由（2）知， 则，. 【知识清单2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 题型三 曲线的切线问题 11．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导，即可求和，即可求得切线方程. 【解答过程】由，得， 则， 则， 所以切线方程为. 故选：A. 12．（24-25高二下·江西·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【解答过程】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故选：D. 13．（多选）（24-25高二下·广西南宁·期中）已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，设切点，由导数几何意义结合点斜式求出切线方程，再由切线过点求出参数即可求解. 【解答过程】由题意的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，又切线过点， 所以或或， 所以代入切线方程整理得切线方程为或或. 故选：ACD. 14．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数 . 【解题思路】设出切点，写出切线方程，根据题意，列出方程组，即可求得参数值. 【解答过程】，故，又 ，故 ， 故在处的切线为： ，也即； 设与曲线切于点，又 ，故 ， 则，且，则可得，解得， 故. 故答案为：. 15．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数和，其中为常数且. (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 【解题思路】（1）设切点坐标为，得到切线方程，根据切线过点，得到，转化为只有一个实数解，根据，求得或，进而得到切线方程； （2）根据题意，求得，设曲线和在点处的切线的斜率为，得到和，根据直线的斜率为，得到，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）解：由函数，可得， 设切点坐标为，可得， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则关于的方程只有一个实数解， 即只有一个实数解， 由，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为. （2）解：由，且定义域为， 函数的定义域为，且， 设曲线在点处的切线的斜率为， 则，所以，则点， 设曲线在点处的切线的斜率为， 可得，解得，则点， 因为直线的斜率为，所以， 又因为，所以，即的取值范围为. 【知识清单3 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 题型四 导数的运算 16．（24-25高二下·河南南阳·期中）下列求导运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由基本初等函数的求导公式，可得答案. 【解答过程】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确；对于D，，故D正确. 故选：B. 17．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为（   ） A．8 B．1 C．0 D． 【解题思路】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性计算即可. 【解答过程】为偶函数，则，左右两边同时求导得，，将看作整体得①， 将图象向右平移2个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故， 即的周期为， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则. 故选：C. 18．（多选）（24-25高二下·安徽马鞍山·期中）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．函数是周期函数 D． 【解题思路】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A：由，故为奇函数，故A错误； 对于B：由，则， 又由得， 即，取，解得，故B正确； 对于C：由，，， 所以，则， 所以，， 所以，所以， 则函数是周期为的周期函数，函数是周期为的周期函数，故C正确； 对于D：由是周期为的周期函数， 由，令，则，即， 令，则，即， 由，， 则，则关于对称，则关于对称， 又为奇函数，即关于中心对称， 故关于对称，则， 则，故D正确. 故选：BCD. 19．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数满足，则 ． 【解题思路】先求，将代入可求解，进而得到的解析式，令即可求解. 【解答过程】因为，所以， 所以，解得， 所以，所以. 故答案为：. 20．（24-25高二下·天津·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； 【解题思路】（1）根据两个函数乘积的导数运算法则可得结果. （2）根据两个函数和的导数运算法则可得结果. （3）根据两个函数商的导数运算法则可得结果. （4）利用对数函数的求导公式及复合函数求导法则计算. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. （4）. 【知识清单4 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 题型五 利用导数判断单调性、求单调区间 21．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出导函数，再根据导函数为正得出函数增区间. 【解答过程】因为，令，得，所以的单调递增区间是． 故选：C． 22．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导后令导数小于等于零，分离参数再由二次函数性质求解. 【解答过程】由得， 由函数单调递减可得恒成立， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 23．（多选）（24-25高二下·福建龙岩·期中）若函数在上单调递减，则实数的值可能为（   ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】对函数求导并利用不等式恒成立以及对勾函数性质求得实数的取值范围可得结论. 【解答过程】根据题意可得函数的定义域为， 又， 若函数在上单调递减，可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以， 根据对勾函数性质可得在上单调递增， 当时，当时，所以， 所以， 结合选择可知B、C、D符合题意. 故选：BCD. 24．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【解题思路】由题意可得在上恒成立，分离变量得，通过令，求得最大值即可. 【解答过程】由题可知在上恒成立，所以， 故，令， 由对勾函数知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 25．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，且在处的切线斜率为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性. 【解题思路】(1)对原函数求导，根据已知条件代入即可求出的值； (2)分形解，即可得解． 【解答过程】（1）因为函数，求导得， 在处的切线斜率为，即，， 解得； （2）由(1)可知，求导， 令，解得；令，解得. 函数在上单调递增，在上单调递减． 题型六 函数单调性的应用 26．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）设，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，判断单调性，利用单调性比较大小. 【解答过程】令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， ， 因为，所以， 故选：A. 27．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【解题思路】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合偶函数的性质即可进一步得解. 【解答过程】是定义在上的偶函数， 当时，令，则，所以在上单调递减， 当时，，即， 当时，，即， 即当时，的解集为， 因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知： 当时，的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 28．（多选）（24-25高二下·湖北·期中）已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在上单调递增，结合各个选项化简即可得出结果． 【解答过程】设，则， 因为对任意的都有，则恒成立，所以在上单调递增； 因为，所以，则，所以A错误； 因为，所以，则，所以B正确； 因为，所以，则，所以C正确； 因为，所以，则，所以D错误； 故选：BC． 29．（24-25高二下·上海宝山·期中）设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 . 【解题思路】构造，求定义域，求导，得到在上单调递增，结合，得到时，，故，求出为奇函数，故在上单调递增，故当时，，故，得到不等式解集. 【解答过程】令，的定义域为， 则， 时，恒成立，故， 所以在上单调递增， 又，所以， 故当时，，， 当时，，， 当时，，故， 是定义在R上的偶函数，故， 所以， 所以为奇函数，故在上单调递增， ，故， 当时，，， 故当时，，， 当时，，故， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 30．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【解题思路】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）将问题转化为在区间上恒成立． 构造，即可求导，根据导数求解函数的单调性，进而求解最值求解， （3）根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【解答过程】（1）的定义域为，． 当时，，，所以，． 因此，曲线在处的切线方程为． （2）因为是增函数，所以在区间上恒成立． 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为． 因此，，即，经检验符合题意，所以的取值范围为． （3）由（2）可知，当时，单调递增． ①若，由（2）可知，所以在上单调递增， 所以当时，，所以符合题意； ②若，则，， 所以存在，使得，且当时，， 所以在上单调递减，所以当时，， 这与当时，矛盾，所以不合题意，舍去； 综上可得，实数的取值范围为． 【知识清单5 函数的极值与最值】 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 4．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 题型七 函数的极值问题 31．（24-25高二下·福建漳州·期中）若函数在处取得极大值，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而结合极大值求参数. 【解答过程】， 当时，单调递增；单调递减；单调递增； 所以处取得极小值，不合题意舍； 当时，单调递增；单调递减；单调递增； 所以处取得极大值，符合题意； 当时，单调递增，无极大值，不合题意舍； 所以． 故选：D. 32．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的定义域与导函数，依题意有两个不同正根，即有两个不同正根，则，即可得解. 【解答过程】函数的定义域为， 又， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根（不妨设为）， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 33．（多选）（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知为常数，函数有两个极值点，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由有，令，利用导数研究单调性作出函数图像，逐一验证即可. 【解答过程】由题意有函数的定义域为， 所以，令有，即，令，所以，令有，当时，，当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，，当时，，当时，，令有， 所以，即，且，故A正确； 当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在单调递减，在上单调递增，在上单调递减； ，故B正确； ，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：ABC.    34．（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数在处取得极值0，则 2 ． 【解题思路】根据函数在处取得极值0，可得，，进而求解即可. 【解答过程】由，得， 因为函数在处取得极值0， 所以，解得或， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，，则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极小值. 综上所述，. 故答案为：2. 35．（24-25高二下·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数在处的切线方程． (1)求，的值； (2)求的单调区间与极值． 【解题思路】(1)根据在处切线方程求解； （2）由（1）求解判断与的大小，得到单调区间，得到极值. 【解答过程】（1）， 又在处切线方程，所以， 可得， 解得． （2）由（1）可得， ∴ ， 令，解得；令，解得， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当时，的极小值为，无极大值． 题型八 函数的最值问题 36．（24-25高二下·北京丰台·期中）函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 【解题思路】利用导数判断函数的单调性，即可求解. 【解答过程】，， 得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以函数的最大值是，，，所以函数的最小值是. 故选：D. 37．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【解答过程】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 38．（多选）（24-25高二下·福建福州·阶段练习）下列函数有最小值的为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】通过求导分析函数的单调性，逐项判断可得答案. 【解答过程】A.由，得， 由得，，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴有唯一的极小值，也是最小值，最小值为，A正确． B.由得， ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递增， ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴有唯一的极小值，也是最小值，最小值为，B正确． C.由得， ∴在上单调递增，故无最小值，C错误. D.由得， ∴在上单调递减，故无最小值，D错误. 故选：AB. 39．（24-25高二下·安徽宿州·期中）设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 . 【解题思路】首先求函数的导数，再判断函数的单调性，根据最值列不等式，即可求解. 【解答过程】的定义域为，， ，，，在上单调递增， 故在上的最大值为，即. 故答案为：. 40．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若，求在区间上的最小值和最大值. 【解题思路】（1）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性； （2）求导，得到函数单调性，进而求出最值. 【解答过程】（1）由题知， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，由得，（舍负）， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）因为，， 因为，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， ，， 由于，则， 故时，的最小值为，最大值为. 题型九 函数单调性、极值与最值的综合应用 41．（2025·河南·一模）若函数在区间上有极大值，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．e 【解题思路】设极大值点为，由题意可得，，进而有，构造函数，求得最小值即可. 【解答过程】由，若在上有极大值，必存在极大值点， 即在上有解，即有解，所以有，， ， 所以有，令， 有， 可得函数的减区间为，增区间为，有， 当时，，则上，上， 所以在上单调递增，上单调递减，满足题设， 故的最小值为. 故选：A． 42．（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据极值点为导函数零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【解答过程】由题知，的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，则①， 令，因为，所以， 将代入①整理可得， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以. 故选：D. 43．（多选）（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在处有极大值 C．若在上不单调，则 D．若在区间 上有最小值，则 【解题思路】求导，判断函数的单调性，然后画出函数图象，即可判断ABCD四项是否正确. 【解答过程】， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以A项正确，B项错误. 根据单调性可得，若在上不单调，则，C项正确. 对于D项，当时，在区间上单调递减，无最小值； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，有最小值； 当时，在区间 上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，要使有最小值，则； 综上可得，，故D正确. 故选：ACD. 44．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于.     其中所有正确结论的序号是 ①③④ . 【解题思路】当时，利用导数分析函数的单调性，可判断①②的正误；利用函数的最值与导数的关系可判断③的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【解答过程】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数有两个极值点，①对； 对于②，当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，②错； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， 因为，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③对； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①③④. 45．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知的一个极值点为2. (1)求m的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最值 【解题思路】（1）由题意可得，求解即可； （2）由（1）可得函数解析式，根据导数的意义求得函数的单调区间； （3）根据（2）中对函数单调性的研究，可以判断在区间上的单调性，从而得出最大最小值 【解答过程】（1）因为，所以， ∵的一个极值点为2， ∴，解得， 经验证时，有极值点2. （2）由（1），， 令，得或， 令，得；令，得或， 故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增. （3）由（2）知，在上为增函数，在上为减函数， ∴是函数的极大值点，又，，， ∴函数在区间上的最小值为，最大值为13. 【知识清单6 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 题型十 利用导数研究函数零点（方程根） 46．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； 【解答过程】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A. 47．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数零点的定义转化为有三个根，利用数形结合进行求解即可. 【解答过程】由题意得函数有三个零点， 则函数，即有三个根， 当时，，则， 由得，即，此时在上单调递减， 由得，即，此时在上单调递增， 当时，，当时，取得极小值， 下面我们作出的图象如图： 要使有三个根，则，故D正确. 故选：D. 48．（多选）（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解. 【解答过程】由，，得， 求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数. 函数的导函数，当时；当时. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 时有最大值，时， 时，，. 过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示. 所以函数的零点个数为1个或2个. 故选：BC. 49．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【解题思路】函数有两个零点等价于的图象有两个交点，对每段函数分别求导，求出函数的单调区间，再求出每一段上的最大值，进而画出函数的图象，即可求出m的取值范围. 【解答过程】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为：. 50．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解； （2）（ⅰ）转化为有两个相异正根，，利用导数研究的大致情况得解； （ⅱ）设，利用导数判断函数单调性，据此可得当时，，再由及函数单调性得出得证. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 （2）（ⅰ） 易知的定义域为， 由题意得，方程有两个相异正根，， 即方程有两个相异正根，， 设，则， 因为，所以， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 由，及的性质知， 当且时，，， 所以当时，，又，， 所以要使有两个相异正根，，必有， 故实数的取值范围为. （ⅱ）证明：由题意可知，，不妨设，则， 设，则 ， 令， 则当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 所以当时，， 所以在上单调递减，故当时，， 所以当时，， 所以，即， 又，， 由（ⅰ）可知，在上单调递减，所以，故. 【知识清单7 导数中的不等式问题】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．导数中的恒成立、存在性问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 题型十一 利用导数证明不等式 51．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知正数满足（e为自然对数的底数），则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】由题设且，构造、，利用导数、零点存在性定理判断在上的函数值符号，即可得答案. 【解答过程】由题设，则，且，则， 令且，故， 令，则在上递增， 故， 所以在上递增，故， 所以在上递增，故， 即在上恒成立，故，D错，C对； 对于的大小关系，令且， 而，， 显然在上函数符号有正有负，故的大小在上不确定， 即的大小在上不确定，所以A、B错. 故选：C. 52．（23-24高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①，②，③ ，④ 中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】首先证明、，利用判断①②③，令令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④. 【解答过程】令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以（当且仅当时取等号）； 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以（当且仅当时取等号）； 对于①：当时，所以，故①正确； 对于②：因为（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，故②正确； 对于③：（当且仅当时取等号），故③错误； 对于④：令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以（当且仅当时取等号），故④正确；综上可得①②④正确． 故选：C. 53．（多选）（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【解题思路】构造，根据条件，判断函数的单调性，再结合函数的单调性得到相应的不等式以判断各个选项的正确性. 【解答过程】设，. 则 . 所以在上单调递增. 对A：由 ，故A错误； 对B：由 ，故B正确； 对C：由 ，故C正确； 对D：当时，，所以 ，故D错误. 故选：BC. 54．（23-24高二下·北京海淀·期中）已知函数，存在，使得成立.给出下列四个结论: ①当时，;                        ②当时，; ③当时，;                    ④当时，. 其中所有正确结论的序号是 ①②④ . 【解题思路】由，可得，即，转化为，然后对求导，求出其单调区间，画出的图象，结合图象逐个分析判断即可． 【解答过程】由，得， 所以当时，；当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以的大致图象如图所示：    因为， 所，即， 所以， 当时，或或或， 则或或或，所以，所以①正确； 当时，若，此时与均可以趋于，所以③错误； 当时，由，得，所以， 因为，所以由图象可知当时，有， 所以，所以②正确； 当时，由图和②可知， 则， 所以， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立，所以④正确． 故答案为：①②④． 55．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 (1)求的极值； (2)证明：． 【解题思路】（1）求导数，然后利用极值的概念即得； （2）构造函数，求其最小值即可. 【解答过程】（1）， 令，解得：， 当或时，；当时， ， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，的极小值为； （2）由题意，要证，即证对于恒成立． 令，则， 因在上单调递增，，， 则在上存在唯一的零点，则，即，可得， 又 ，则得；得； 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则时，恒成立，从而恒成立， 即成立． 题型十二 利用导数研究不等式恒成立、存在性问题 56．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】“当时，不等式恒成立”等价于“，恒成立”，设函数，通过导数分析其单调性得；再设 并通过导数得在上单调递增，且，故得a的取值范围是. 【解答过程】由函数，，所以不等式恒成立，等价于 恒成立； 因为，所以； 设函数，，则， 计算，且； 所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设 ，则， 所以在上单调递增，且； 要使恒成立，需使恒成立，即 所以a的取值范围是. 故选：B. 57．（24-25高二下·广东广州·期中）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围. 【解答过程】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，    ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得. 故选：D. 58．（多选）（24-25高二下·河南焦作·期中）已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（    ） A． B． C．e D．2e 【解题思路】分情况讨论函数单调性，利用导数求出函数的最值，画出图像，找出相切情况，进而可得出答案. 【解答过程】解析  由题知，不等式对任意恒成立， 设，则，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，当时，， 当时，，，∴当时.直线恒过点， 设直线与的图像相切时，切点为，∴ ，解得或， ∴直线与的图象相切时，切线斜率分别为，， 在同一坐标系中作出函数的图象与直线，由图知，要使对恒成立，则， 故选：BCD.    59．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 . 【解题思路】利用导数求解最小值，利用分离参数法可求答案. 【解答过程】因为，所以， 时，，为减函数，时，，为增函数， 所以时，的最小值为. 若任意，使，则， 所以在上有解，即在上有解， 令，，得， 当时，，为增函数，当时，，为减函数； 因为，，且， 所以，所以. 故答案为：. 60．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【解题思路】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在上的最大值小于等于在的最大值，在（1）基础上得到的最大值，并求出，从而得到不等式，得到，令，，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案. 【解答过程】（1）由，定义域为， 则， 当时，， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令得，令得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最大值小于等于在的最大值， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减； 故. 由，，则， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，即. 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，， 故m的取值范围为. 【知识清单8 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 题型十三 利用导数研究双变量问题 61．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【解答过程】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 62．（23-24高二下·湖南·期中）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先设切点坐标，利用导数的几何意义确定切线方程，参变分离得方程有两不同解，构造函数，判定其单调性求其最小值，化为解，构造函数，判定其单调性从而解得化简待求式得，即可得结果. 【解答过程】因为，设切点坐标为， 则曲线在该点处的切线方程为：， 又在切线上，即， 则方程有两不同解， 令， 易知时，单调递增不合理，故． 当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值； 要使有两解，则，即， 令在上单调递增， 又因为，所以 易知， 又因为为方程的解，故有， 代入可得，故所求取值范围为． 故选：A. 63．（多选）（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数，，若存在，，使得成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【解题思路】由，得，结合函数的单调性可得，由此判断AB，进而可得，构造函数，应用导数求其最大值即可判断CD. 【解答过程】由，得， 则，，， 两边同时取对数可得：， 又函数在单调递增， ∴，即，故A正确， 由，若，则， 此时，，，B错误； 所以，故， 设，则， 由，，可得，故在单调递增， 由，，可得，故在单调递减， 故，因此的最大值为，故C正确，D错误. 故选：AC. 64．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 【解题思路】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果. 【解答过程】因为，若，则， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 65．（24-25高二下·浙江杭州·开学考试）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)设且，请判断与的大小，并证明. 【解题思路】（1）求出导函数，利用导数法求得的单调区间即可． （2）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系． 【解答过程】（1）的定义域为，，， 令得，令得且， 即在区间和上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以的增区间为，减区间为，． （2），证明如下： 令，则定义域为，， 令，则， 则当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，所以在，上单调递增， 因为且，所以或， 所以恒成立，即，所以. 【知识清单9 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 题型十四 导数在实际问题中的应用 66．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 【解题思路】根据题意，列出利润关于的函数，再利用导数求得函数取得最大值时对应的即可. 【解答过程】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D. 67．（24-25高二下·全国·课后作业）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设速度为，甲、乙两城距离为，比例系数为k，求出总费用，再利用导数求最值可得答案. 【解答过程】设速度为，甲、乙两城距离为，比例系数为k， 则总费用． 由已知条件，得，，． 令，解得， 当时，；当时，． 当时，最小， 要使总费用最少，速度应为． 故选：A. 68．（多选）（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（    ） A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212 C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50 【解题思路】设，利用函数表示出运费，求导数，利用导数求出最小值及对应的，即可得解. 【解答过程】设，铁路上的运费为， 公路上的运费为， 则由到的总运费为. 则. 令，解得，(舍). 当时，，当时，. 故当时，取得最小值，， 即当在距离点为的点处修筑公路至时总运费最小， 此时，，点M到C的公路运费是50， 故选：BD. 69．（24-25高二下·福建福州·期中）如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为 1 cm时，这个纸盒的容积最大. 【解题思路】设剪下的小正方形的边长为，根据条件得到，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【解答过程】设剪下的小正方形的边长为， 由题知纸盒的容积为， 则，令，得到（舍）或， 所以当时，，当时，， 则的增区间为，减区间为 所以在处取到最大值，最大值为. 故答案为：. 70．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【解题思路】（1）根据给定函数模型写出解析式. （2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值. 【解答过程】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 题型十五 导数中的新定义问题 71．（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解. 【解答过程】对于A， ， ， 由，得 ，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于B， ， ， 由，得 ， 因为，，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于C， ， ， 由，得 ， 令 ， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值，且， 所以无解， 所以函数不存在“二倍阶值点”； 对于D， ， ， 由，得， 令 ，， 所以在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知在上存在零点， 所以方程有解， 所以函数存在“二倍阶值点”. 故选：C. 72．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，然后直接解方程可判断BCD；根据零点存在定理可判断A. 【解答过程】对于A选项，，， 令， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点， 所以，函数有“巧值点”； 对于B选项，，则， 由可得，即，矛盾， 所以，函数没有“巧值点”； 对于C选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”； 对于D选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”. 故选：B. 73．（多选）（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】分析可知，，，.对于A：分析可知在内的值域为，即可得出矛盾，进而分析判断；对于B：利用导数判断的单调性，结合题意分析判断；对于C：整理可得，举反例说明即可；对于D：求导，根据题意分析说明即可. 【解答过程】由题意可知：，， 等价于，； 且，， 等价于，. 对于选项A：因为，，则在内的值域为， 可知不存在，使得恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A错误； 对于选项B：因为， 对于，则，可知在内单调递减， 且当趋近于时，趋近于0，可知； 对于，则且， 可知当，满足题意， 所以符合“双向奔赴”函数，故B正确； 对于选项C：因为，，则， 对于，，， 取特值，可知， 不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C错误； 对于选项D：因为，，， 对于，此时， 可得，且； 对于，此时， 可得，， 可知当，满足题意， 所以符合“双向奔赴”函数，故D正确； 故选：BD. 74．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为 . 【解题思路】 求出和，继而求出和，根据曲率的计算即可得答案. 【解答过程】因为，故，， 故， 故，即曲线在点处的曲率为， 故答案为：. 75．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围． (2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 【解题思路】（1）将问题转化为与有交点，求导后可得单调性，进而确定图象，结合图象可求得结果； （2）①令，采用同构法可得，令，结合导数知识可求得图象，结合单调性可将问题转化为与有两个不同交点，结合单调性可求得的范围； ②根据与的两个不同交点为，采用比值代换的方式，令，将表示为关于的函数的形式，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得结论. 【解答过程】（1）由题意知：与的公共定义域为， 令，即，， 令，若与为“契合函数”，则与有交点. ， 当时，，，即；当时，； 当时，，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示，    由图象可知：当时，与有交点， 即当与为“契合函数”时，的取值范围为. （2）①由题意知：与的公共定义域为， 令，则，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示：    令，则， 由得：， 在上单调递增，又与为“契合函数”，与至少有一个交点， 与有两个不同交点，，， ，解得：，即实数的取值范围为. ②由①得：与的两个不同交点为，且， ，即，，， 令，则由知：，， ，整理可得：，， ， 令，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增，，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$