圆锥曲线综合问题——垂直与角度问题 课件-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线综合问题 ——垂直与角度问题 学习目标 1.通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合思想的应用. 2.能根据圆锥曲线的有关性质解决垂直与角度的问题 一、垂直关系 例1 已知椭圆,过右焦点F的直线与椭圆C交于两点A,B，且OA与OB垂直，求该直线的斜率。 思路：OA与OB垂直转化为 设,直线, 与椭圆方程联立得：, 则, 所以. 变式1 已知双曲线,过右焦点F的直线与双曲线C交于两点A,B，且以AB为直径的圆经过原点，求该直线的斜率。 设,直线, 与双曲线方程联立得：, 则 所以. 变式2 已知椭圆,过右焦点F(1,0)的直线与椭圆交于两点A,B，且OA,OB夹角为锐角，求该直线的斜率的范围。 ，且 原点在以AB为直径的圆外 变式3 试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆 ＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使AM=AN，其中点A(0,1)？若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 思路：设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只需AP⊥MN即可. 消y得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)， ∵AP⊥MN， 由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3) ＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1<k<1且k≠0. 故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l. 对于一些特殊图形，如等腰三角形， 隐含了垂直的条件，也可以转化为垂直问题解决。 你还能举出一些例子吗？ 6 垂直关系 方法总结： 1、垂直关系主要转化为斜率或者向量数量积 2、对于特殊的图形要发现隐含的垂直关系 二、角度关系 思路：角度关系常转化为斜率关系，倾斜角互补转化为斜率之和为0（或两直线斜率均不存在). 倾斜角作和差模型 变式2 已知抛物线,设不经过原点O的直线与抛物线交于A,B两点，设直线OA,OB的倾斜角分别为. 与抛物线方程联立得： 则 转化为两角和差公式 角度关系 方法总结： 1、角度关系主要转化为斜率关系 2、倾斜角作和差转化为两角和差的正切公式 思维提升 过点作直线交曲线于点M、N，点P为直线上一动点.问是否存在点P使为正三角形？若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由. 一、知识清单： 1.垂直关系问题 （1）垂直关系主要转化为斜率或者向量数量积，还有勾股定理 （2）对于特殊的图形要发现隐含的垂直关系 2.角度关系问题 （1）角度关系主要转化为斜率关系 （2）倾斜角作和差转化为两角和差的正切公式 二、方法归纳：直接法，数形结合. 三、常见误区：直线与圆锥曲线联立后化简不正确，几何关系不能正确转化为代数问题. 课堂小结 则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝， 由 ∴＝－， 故m＝－. ∴kAP＝. $$