2025年九年级数学中考二轮复习特殊四边形的折叠问题专题提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习 特殊四边形的折叠问题专题提升训练 1．如图，在菱形纸片中，，点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，求的度数． 2．已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 3．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处．已知折痕．且． (1)求证： (2)求阴影部分面积． 4．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，四边形是正方形，分别是边上两点，将正方形沿所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点交于点，连接，试猜想和的数量关系，并加以证明． 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 深入探究：（2）善思小组对图1继续研究并提出新的问题：试判断和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题． 拓展延伸：（3）勤学小组制作了如图2所示的矩形分别是上两点，将矩形沿所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点交于点，连接，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 5．回顾情景，数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片边长分别为，． 动手实践： 如图1，小华将矩形纸片折叠，点A落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开，得到正方形，矩形． (1)折痕的长为______；（用含a的式子表示） (2)如图2，若P为线段上的任意一点，Q为的中点，小芳继续将矩形纸片沿经过P，Q两点的直线折叠，使点C落在折痕上的点G，折痕与折痕交于点H，小芳同学不断改变点P的位置，发现四边形是某种特殊四边形． ①请你判断四边形的形状，并给予证明； ②若，求四边形的周长．（用含a的式子表示） 6．在矩形中，，点E，F分别在线段上，且， (1)如图1，当时，试判断与是否等长，为什么？ (2)若，沿射线方向平移线段，得到线段． ①如图2，点G在的延长线上，点H在线段上，时，试求的长． ②如图3，点G，H分别在线段上，沿将四边形折叠，点A落在线段上的点F处，点B落在点M处，若，试求的值． 7．综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)作判断 操作一：对折长方形纸片，使与重台，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在长方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______度． (2)迁移探究：嘉琪将长方形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图．当点在上时，______度，______度； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 8．在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为． (1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E． ①当时，点D的坐标是 ； ②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标； (2)如图2，动点D，G分别在边，上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式． 9．如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为点，点的对应点为点，点不得超过对角线，连接． (1)当时，求线段的长度； (2)当时，求线段的长度； (3)在折叠过程中，直接写出线段的最小值． 10．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，求证：． （3）如图④，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 11．数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片，，，点为长方形纸片边上一动点，连结，将沿折叠，点落在点处． (1)的长为________． (2)如图①，当点在线段上时，求的长． (3)如图②，在（1）的条件下，当点与点重合时，沿将折叠得，与交于点，则的面积是________． 12．如图，把矩形纸片进行折叠． (1)如图1，若折叠后C点和A点重合，折痕交边，分别于点E，F，连接，交于点O．求证：四边形为菱形； (2)如图2，若折叠后C点落在边上的N点处，折痕交边于点M．已知该矩形纸片的长为，宽为．求的长． 13．将一矩形放在直角坐标系中，为原点，在x轴上，，． (1)如图（1），在上取一点，将沿折叠，使点落在上的，求点的坐标； (2)如图（2），在点、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作交于点，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，设T ①探求：与之间的函数关系式． ②指出变量x的取值范围． 14．如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，． (1)问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ； (2)类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值． 15．在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． (1)如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． (2)如图2，在（1）条件下连接，则 ． (3)如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考二轮复习特殊四边形的折叠问题专题提升训练》参考答案 1． 【分析】设交于点F，由是的垂直平分线，得，由菱形的性质得，，，则，求得，由折叠得，则，于是得到问题的答案．此题重点考查菱形的性质、翻折变换的性质、线段的垂直平分线等知识，求得是解题的关键． 【详解】解：设交于点F， ∵是的垂直平分线， ∴ ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠得， ∴． 2．（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． （1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可求解周长； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的周长为：； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的折叠、相似三角形的判定与性质，勾股定理． （1）矩形的特点是四个角均为直角，折叠的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中两锐角互余可得，进而可证明； （2）根据，设，，求出，由折叠的性质得到，求出，利用相似三角形的性质得到，再利用勾股定理求出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：折叠矩形的一边，使点落在边上的点处， ， ，， ， ∴； （2）解：， 设，， ， ． ， 即， ， ． 在中，由勾股定理，得，即， ，（不合题意，舍去）， ∴， ∴阴影部分面积为． 4．（1），见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质、图形折叠的性质、勾股定理以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练运用这些性质和定理，通过合理添加辅助线、设未知数构建等式来解决问题． （1）利用正方形的性质，得出，再结合折叠的性质，得到，进而得到； （2）通过过点作于点，利用正方形的性质、已知条件证明，再证明，进而得出线段的数量关系； （3）设，根据矩形折叠的性质，在中运用勾股定理列出方程，求解未知数，再利用折叠性质和勾股定理逐步求出其他线段长度，最终得到所求线段的长度． 【详解】解：（1） 理由：∵四边形是正方形， ， ， 由折叠可知， ， ； （2）理由：如答图，过点作于点，则， ， ∵， ∴， ， ∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ， ， ； （3）如图设．设， 由折叠性质知：， 在中， ， ， 解得：， ， ， 由折叠性质知：， ， 又在中，， ∴， 在中，， ∴在中，， ， 又， ， 的长． 5．(1) (2)①四边形是平行四边形，理由见解析；②． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，然后运用勾股定理即可解答； （2）①根据折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定可得、，即可说明四边形是平行四边形；②先说明四边形是菱形，，然后根据菱形的周长公式即可解答． 【详解】（1）解：∵，四边形为正方形， ∴， 在中，． 故答案为：． （2）解：①四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ∵， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 6．(1)等长，理由见解析 (2)①4② 【分析】（1）证明，即可得出结果； （2）①平移得到，证明，列出比例式进行求解即可； ②证明四边形为平行四边形，得到，设设，则：，进而得到，相似三角形的性质，得到的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，比例关系求出的长，进而得到的长，求出的长，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：等长，理由如下： ∵， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，平行四边形的性质，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 7．(1) (2)，   ，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； 根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可知，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出、、，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 取的中点为，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，， ； ，， ， ， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得，， ，， ， ， ； （3）解：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ； 当点在点的上方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 8．(1)①；②点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①由折叠的性质得出，则可得出答案； ②连接．证明，得出，设，则，由勾股定理可求出点坐标，证出，由可得出答案； （2）连接，设，则，设，则，解得．由梯形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：①∵正方形边长为 2 ，点的坐标为， ， ∵将沿直线折叠， ， 又 ∵， ， ， ∴点的坐标是， 故答案为：； ②如图，连接， ∵点是线段的中点， ， 由折叠的性质可得， 又 ∵， ， 在和中， ， ∴， ， 设点的坐标为，则， ， ， 在中，， ， 解得， ∴点的坐标为， ， ， 又， ， ， ， ∴点的坐标为． （2）解：如图，连接， 设，则． 设，则， 在中，， ， 解得， ， 设，则， 在中，． 在中，， 由折叠可知垂直平分， ， ，即， 解得：， ， ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．(1)cm (2) (3) 【分析】（1）连接，，由矩形的性质和折叠的性质易得，则，，由此可得四边形是平行四边形，则可得，，根据勾股定理求出的长，进而可得的长． （2）由折叠的性质可得，．再根据证明，则可得，进而可得，又由，可得，则可得，，根据勾股定理求出的长，即可求出的长． （3）由于折叠过程中长始终等于的长，由 可得，当和落在上时, 有最小值为1. 【详解】（1）解：如图，当于点时，连接，， 在矩形中，，， ． ， ，，， ． ． 又， 四边形是平行四边形 ，， ， ． （2）解：如图，当时，延长交于点，延长交于点， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：在折叠过程中， 中， , 即, ， , 当和落在上时, . 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由【模型呈现】知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 作于，连接， 则四边形是矩形， ∴，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接，，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， 由【模型呈现】知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴，，， 则， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，三角形全等的判断与性质，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键． （1）根据勾股定理求值即可； （2）根据折叠的性质得，再设，，再由勾股定理列方程求解即可； （3）根据折叠的性质得出，则，设，则，再由勾股定理列方程求解出，再由即可求出的面积． 【详解】（1）解：为长方形， 为直角三角形， ，， ． （2）由折叠可知，， ， ， 设， 则，， ， 在中，， 即， 整理得， 解得． 的长为． （3）由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 整理得， 解得， ， ，， ． 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （1）令、相交于点O，根据折叠的性质得出，，，通过证明，得出，即可求证四边形为菱形； （2根据勾股定理求出，则，进而得出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，令、相交于点O， ∵矩形折叠使A，C重合，折痕为 ，，， ∵， ， 在和中， ， ∵，， 四边形为菱形； （2）解：∵矩形纸片的长为，宽为， ∴，， 由折叠可得：， 在中， ，， 在中，， 解得， 故的长是． 13．(1)E点的坐标为； (2)见解析； (3)①；②． 【分析】本题是四边形综合题，考查了图形的翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，函数解析式的求法等知识，综合性较强，难度适中，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． （1）先根据折叠的性质得出，在 中，运用矩形的性质及勾股定理得出，然后在中，由勾股定理得，解方程求出 的长，进而求出点E的坐标； （2）先由折叠的性质得出，由平行线的性质得出，则'，根据等角对等边得到，则 ； （3）①由T，得出 ，，，在 中，根据勾股定理得出，即，整理可求出y与x的函数关系式； ②在(1)中给出的情况就是x的最小值的状况，可根据的长求出x的最小值，当x取最大值时，平分，即与A重合，四边形为正方形，可据此求出此时x的值，有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：如图(1)，将沿折叠，使O点落在边上的D点， ， 在中，，，， ． 在中，，，，， ，即， 解得 ， 点的坐标为． （2）如图（2），将沿 折叠，使O点落在边上点， ，， ， ， ． （3）T， ，，， 在 中， ， ，即， 整理，得 ； 结合（1）可得时，x最小，从而． 当平分 时， 最大即x最大， 此时G点与F点重合，四边形为正方形， 即x最大为6，从而 ， 故自变量x的取值范围是． 14．(1)①；②1 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得证；②证明四边形四边形是平行四边形，得出，即可得证； （2）作于，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，从而推出，即可得解； （3）作交的延长线于，作于，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出，即，再由勾股定理求出，从而得出，结合（2）的结论即可得解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作于， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵（k为常数）， ∴； （3）解：如图，作交的延长线于，作于，连接， ， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， 由（2）的结论可得：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与 、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 15．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据余角的性质证明，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （3）过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，，根据勾股定理求出，根据，即可得出，最后求出x的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：垂直平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$