2025年九年级数学中考二轮复习全等三角形解答题专题提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习 全等三角形解答题专题提升训练 1．如图，在中，，延长到D，使，E 是的中点．求证：． 2．如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 3．如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 4．如图，在四边形中，，相交于点为边上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． 5．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)①当点是的中点时，求； ②当，求CE． 6．如图，点E在正方形的边延长线上（），连接，于点F，交于点P，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)以点A为圆心、为半径的弧交于点G，连接、，证明的形状，并求的值． 7．如图，和是等边三角形，、交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断线段、、的数量关系，并说明理由． 8．如图，中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 9．如图1，等腰中，，点在上运动（不能经过、）． (1)过作，交于，证明：； (2)如图2，若，点运动到靠近点的三等分点处时，以为边在其右侧作等腰，是的中点，连接，求的长； (3)如图3，，以为斜边作等腰，连接．若，请用含的式子表示，直接写出答案． 10．如图，在菱形中，连接，过B作交于点E，过D作交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 12．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 13．如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持． (1)在中， ， ； (2)点P在边上运动， ①当时， ， ； ②当时，判断与的数量关系，并说明理由； ③当为等腰三角形时，直接写出的长． 14．如图，在中，，，点D是内一点，且． (1)求证：； (2)将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交于点F． ①依题意补全图形； ②若点F恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 15．如图，已知，，E、F是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定．如图所示，取的中点F，连接，证明是的中位线，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】证明：如图所示，取的中点F，连接， ∵，即点B为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵E、F分别是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 3．(1)16 (2)12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：如图： ∵点D在线段的垂直平分线上， ， 的周长为． 4．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先得到垂直平分线段，然后结合，即可得到； （2）首先得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）如图，连接、过点作于点，首先证明出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：， 垂直平分线段， ， 又， ； （2）解：垂直平分线段， ∴， 又， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∵， ， ， ； （3）解：如图，连接、过点作于点， 垂直平分线段， ， 又， ∴， ∴， ∴ 设，则， ， ∴， 又， ， ， ， 又， ∵， ， ， 在和中，由勾股定理得， ， ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ， ， 又， 在中，． 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，勾股定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．(1)见解析； (2)①；②． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，得出，即可得到结论； （2）①证明是等边三角形，得到； ②由题得到是等腰三角形，得出，求出，得到． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点，如图所示： 在中，是边上的高， 是直角三角形， 是边上的中线， 是斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）①解：∵点D是BC的中点， ， ， ， 是等边三角形， ； ②解：， 由（1）可知：， 是等腰三角形， 又， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：． 6．(1)见解析 (2) (3)等腰直角三角形， 【分析】（1）通过证明进行分析推理； （2）通过证明四点共圆，结合等腰直角三角形的性质分析求解； （3）通过证明，结合全等三角形的性质求得，从而确定的形状，通过证明，根据相似三角形的性质分析求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴； （2）解：连接 ∵，∴， 又∵， ∴四点共圆， 又（1）可得，且， ∴； （3）证明：是等腰直角三角形，理由如下： 连接 ∵以点A为圆心、为半径的弧交于点G，连接、，且四边形是正方形， 由题意可得与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； ∵，均为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，灵活运用圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是本题解题的关键． 7．(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，再证明，进而证明，则可证明； （2）过点A分别作的垂线，垂足分别为G、H，设交于M，由全等三角形的性质得到，再证明，得到，进而证明，得到，导角证明，则由平角的定义可证明结论； （3）在上取一点N使得，连接，证明，得到，再证明是等边三角形，得到，据此根据线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解；如图所示，过点A分别作的垂线，垂足分别为G、H，设交于M， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，在上取一点N使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 8．(1)； (2)的周长为 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解的垂直平分线交于点， ， ， ； （2）解：的周长 ， ，， 的周长． 9．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用角的等量代换证明即可； （2）连接，通过比值关系求出的长，利用判定出，，，推出，通过比值关系求出和的长，再通过勾股定理运算求解即可； （3）分类讨论点的位置，结合相似三角形的性质和勾股定理列出方程运算即可． 【详解】（1）证明：∵在等腰中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，如图所示： 在等腰中，， ∴， ∵点是靠近点的三等分点， ∴，； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作于点，则， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，； （3）∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ①当点在右侧时，如图， 过作交于点，则， 由（1）知， ∴， ∴，， 过作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； ②当点在左侧时，如图， 过作交于点，则，此时， 同理可得， ∴， ∴，， 过作于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； 综上，或． 【点睛】本题为几何综合题，涉及到了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，合理作出辅助线和利用分类讨论思想是解题的关键． 10．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，，由可得，再证，即可证明； （2）连接交于O，由菱形的性质可得，，结合可证，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接交于O， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 12．(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 13．(1)，45 (2)①15，60；②，理由见解析；③或3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及分类等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据勾股定理求得，根据“等角对等边”得出的值； （2）①根据，，得出，进一步得出结果； ②可证得，从而得出； ③分三种情形讨论：当时，可推出，从而得出，，进一步得出结果；当时，可得出，进一步得出结果；当时，点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，45； （2）解：①∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：15，60； ②，理由如下： 由①知，， ∵，， ∴， ∴； ③分以下三种情况： 如图， 当时， 由②知，，， ∴， ∴，， ∴； 如图， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ∴，， ∴点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在， 综上所述：或3． 14．(1)见详解 (2)①见详解；② 【分析】（1）设，则，即可得解． （2）①根据题意作图即可；②过点C作于点M，交于点N，证得，再证，得到，得到M为中点， N为中点，即可得解． 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）设， ∵，， ∴， ∴． （2）① ②，证明如下： 过点C作于点M，交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵F恰是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点，， ∴， ∴N为中点， ∴． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理： （1）利用证明即可； （2）利用三角形的内角和定理和全等三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$