精品解析：河南省开封市杞县2024-2025学年九年级下学期第二次联考数学试题

2024-2025学年九年级第二次质量检测 数 学 （时间：100分钟 分数：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在，，0，，这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行解答即可． 【详解】解：，， 因为， 所以， 则最小的实数是． 故选：B． 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 3. 中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤（注：1斤＝0.5千克），为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“1300亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据“1300亿”用科学记数法表示为； 故选：A． 4. 在一次定点投篮比赛（每人投10次）中，甲组6位同学投中的次数分别为4，5，6，6，7，8，记录员在誊抄时，误把其中的4抄成了9，那么该同学所誊抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：∵误把其中的4抄成了9，6的个数不变， ∴不变的统计量是众数． 故选D． 5. 如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质及补角的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据平行线的性质得出的度数，再根据邻补角的定义得出的度数即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 6. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据，，求出，根据“圆内接四边形的对角互补”求出即可，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：D． 7. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（ ） A. 3万元 B. 4万元 C. 万元 D. 6万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元） 答：原计划每间教室的建设费用是万元， 故选：C． 8. 如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. (7， 0) 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解直角三角形，坐标与图形，勾股定理，先求出，则由勾股定理得到，解直角三角形得到，根据线段中点的定义得到，则解直角三角形可得；由平移的性质可得，，则，求出，解得到，则，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵C是斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， 由平移的性质可得，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从图象中获取条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．先求出和，作，利用等面积法求出，再用勾股定理求出，即可求出点坐标． 【详解】解：当点运动到点处时，， ∴， 当点运动到点处时，， ∴， 过点作于点，如图， 当点运动到点处时，最短， 由等面积得：， ∴， ∴点的纵坐标为， 在中，， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点坐标， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式次数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，熟记“一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”是解题关键． 【详解】解：单项式次数是3， 故答案为：3． 12. 不等式组的解集为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，掌握确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”是解题的关键． 先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”确定出不等式组的公共解集即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：，，共2种， ∴所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为 ． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，为上一点，连接，，交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形的面积比等于相似比的平方，平行四边形的对边平行且相等，平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似，据此解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， 故答案为：． 15. 抛物线（）的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：；若，是图象上的两点，则；；若方程没有实数根，则；．其中结论正确的是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，故错误；根据抛物线开口向下，顶点为，对称轴为，可知点到对称轴的距离越大，对应的值越小，因为，所以，故错误；根据二次函数的对称性可知抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以可得，故正确；因为方程没有实数根，所以抛物线与直线无交点，因为抛物线顶点为，所以可知，故正确；由可知，又因为，所以可得，故正确． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 即， 故错误； 抛物线顶点为，对称轴为， ，， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 又，抛物线开口向下， ， 故错误； 对称轴， 可得：， 当时，， 抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为， 与轴的另一个交点在点和之间， 当时，，即， 故正确； 方程没有实数根， 抛物线与直线无交点， 抛物线顶点为，， 抛物线开口向下， ， 故正确； 由可知，又， ，即， 故正确． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算； （1）先化简绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，再合并即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式计算整式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），如表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 200 250 摸到黑球的频率 （1）表中_________，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_________． （2）请估计袋中白球的个数； 【答案】（1）， （2）3个 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率，已知概率求数量．理解在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率是解题关键． （1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）设白球有x个，根据摸出黑球的概率列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，随着试验次数的增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右，所以估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是． 【小问2详解】 解：设袋中白球有x个，根据题意得： ， 解得， 经检验是原方程的根， ∴估计袋中白球的个数为3个． 18. 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： A超市 B超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱； （2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ （3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． 【答案】（1） （2）当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱 （3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、列出函数关系式是解题的关键． （1）根据“在超市购物实付金额”和“在超市购物实付金额”计算并比较大小即可得出结论； （2）根据“在超市购物实付金额购物金额”写出关于的函数表达式，根据题意分别写出当和时关于的函数表达式，并通过比较与的大小确定的取值范围即可； （3）分别计算在超市购物金额为100元、160元时对应的优惠率进行说明即可． 【小问1详解】 解：当购物金额为90元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额90元， ∵， ∴当购物金额为90元时，选择超市更省钱；当购物金额为120元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额(元)， ， ∴当购物金额为120元时，选择超市更省钱． 故答案为：． 【小问2详解】 当时，在超市购物实付金额； 当时，在超市购物实付金额； 当时，在超市购物实付金额； ∴在超市购物实付金额， 当时，； 当时：； 当时： 若，解得； 若，解得； 若，解得． 综上，当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱． 【小问3详解】 在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大． 举例说明如下： 当在超市购物金额为100元时，返40元， 实付金额为(元)，优惠率为； 当在超市购物金额为160元时，返40元， 实付金额为(元)，优惠率为， ∴在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大． 19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交于点D． （1）求k的值； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，菱形的性质，进行数形结合的思想做题是解题的关键． （1）把代入反比例函数解析式即可解答； （2）求得菱形的边长，说明的面积为菱形面积的一半，再计算，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数解析式， 可得，解得； 【小问2详解】 解：根据勾股定理可得， 四边形是菱形， ， 设菱形在边上的高为， ， ． 20. 天王寺善济塔位于河南省新乡市，元朝至元四年(公元1267年)创建，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，制订了测量方案，测量数据如下表(不完整)： 课题 测量善济塔的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX， 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案及数据 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平的处测得塔顶的仰角为，向前走米到达点处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪，的高度为米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台顶部测得塔顶的仰角为，测得塔底端处的俯角为，高台的高度为米，测角仪的高度为米 参考数据 ，，，， ，，， 说明 所有的点均在同一平面内 （1）任务一：请判断上述哪种方案的误差较小； （2）任务二：请你帮小组的同学求出善济塔的高度.(结果精确到0.1) 【答案】（1）方案一误差较小 （2）依第一种方案可得善济塔的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键． （1）根据两次地面观测可知方案一误差较小； （2）根据方案一给出的测量数据，设塔高为，令从塔底到测角仪第一次位置点的水平距离为，根据正切的定义，得出关于的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由于方案二测得塔底端B处的俯角，而不一定与底面垂直，故会产生误差， 从两次地面观测方案一误差较小； 【小问2详解】 解：设塔高为，令从塔底到测角仪第一次位置点的水平距离为 根据方案一给出的测量：①在处测得仰角，测角仪高，故 ②向前走到处测得仰角，此时与塔的水平距离为，仍有测角仪高，故 将代入上式， ∵，即 ∴ 米 答：善济塔的高度约为23.8 m. 21. 在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c为常数）． （1）写出一组b，c的值，使抛物线与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （2）若抛物线经过，． ①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； ②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围． 【答案】（1） 解：，理由如下： 由题意， ∵抛物线与x轴有两个不同的交点 ∴ 即 可取，代入 则，满足题意． （2）①，；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线与x轴有两个不同的交点，从而，进而可以举例得解； （2）①依据题意，由抛物线经过，，进而建立方程组计算可以得解析式，又化成顶点式即可得解； ②由题意，对于，令，可得，又点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，可得或，进而可得或，从而根据二次函数的性质进行分类讨论即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由题意，抛物线经过， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴顶点为 ②由题意，对于 令，则 ∴ ∵点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度 ∴或 ∴当时，；或当时， ∴或 a、当在，之间时 ∵抛物线开口向下 又当时，y取最大值为4 ∴ b、当在，之间时 ∴抛物线开口向下 又对称轴是直线，且 ∴此时y随x的增大而增大 ∴ 综上，且． 22. 如图，已知及外一点P． （1）用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母． ①作出线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线． （2）在（1）的条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C． ①求证：是的切线； ②若，求的长． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2）①连接， ∵是的直径， ∴， 即于点B， ∴是的切线． ② 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，准确作图和添加辅助线是解题的关键． （1）按照要求进行作图即可； （2）①连接，由是的直径得到，即于点B，即可证明结论成立；②连接，由勾股定理求出，设，结合垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：①略 ②连接， ∵，， ∴， ∵为的垂直平分线 ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得：． ∴． 23. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 【答案】 教材呈现：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 基础应用：； 推广证明：作直径，连接， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴； 拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数．添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 教材呈现：分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 基础应用：利用三角形内角和定理求得，利用公式，代入数据求解即可； 推广证明：作直径，连接，利用圆周角定理求得，，推出，即，同理，，据此即可证明结论成立； 拓展应用：连接，作于点，证得四边形是矩形，利用勾股定理求得和，证明，利用三角函数的定义求得，再根据，据此即可求解． 【详解】解：教材呈现：略 基础应用：∵中，，， ∴， 由题意得， ∴， 解得； 推广证明：略 拓展应用：连接，作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级第二次质量检测 数 学 （时间：100分钟 分数：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在，，0，，这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤（注：1斤＝0.5千克），为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“1300亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在一次定点投篮比赛（每人投10次）中，甲组6位同学投中的次数分别为4，5，6，6，7，8，记录员在誊抄时，误把其中的4抄成了9，那么该同学所誊抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 5. 如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（ ） A. 3万元 B. 4万元 C. 万元 D. 6万元 8. 如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. (7， 0) 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式次数是______． 12. 不等式组的解集为__________ 13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是____________________． 14. 如图，在菱形中，为上一点，连接，，交于点，若，则______． 15. 抛物线（）的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：；若，是图象上的两点，则；；若方程没有实数根，则；．其中结论正确的是__________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），如表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 200 250 摸到黑球的频率 （1）表中_________，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_________． （2）请估计袋中白球的个数； 18. 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： A超市 B超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱； （2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ （3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． 19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交于点D． （1）求k的值； （2）连接，求的面积． 20. 天王寺善济塔位于河南省新乡市，元朝至元四年(公元1267年)创建，为七级六角形砖塔，该塔是第七批全国重点文物保护单位.某校数学“综合与实践”小组的同学把“测量善济塔的高度”作为一项课题活动，制订了测量方案，测量数据如下表(不完整)： 课题 测量善济塔的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX， 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案及数据 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平的处测得塔顶的仰角为，向前走米到达点处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪，的高度为米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台顶部测得塔顶的仰角为，测得塔底端处的俯角为，高台的高度为米，测角仪的高度为米 参考数据 ，，，， ，，， 说明 所有的点均在同一平面内 （1）任务一：请判断上述哪种方案的误差较小； （2）任务二：请你帮小组的同学求出善济塔的高度.(结果精确到0.1) 21. 在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c为常数）． （1）写出一组b，c的值，使抛物线与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （2）若抛物线经过，． ①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； ②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围． 22. 如图，已知及外一点P． （1）用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母． ①作出线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线． （2）在（1）的条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C． ①求证：是的切线； ②若，求的长． 23. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $