第4章 图形的相似 单元测试　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列四组图形中，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（a、b均不为0），那么a：b=（　　） A．9：8 B．8：9 C．1：17 D．17：1 3．如图，AB∥CD∥EF，若AC=10，AE=15，DF=6，则BD的长为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 4．如图，△ABC∽△DAC，∠B=35°，∠D=115°，则∠BAD的度数为（　　） A．115° B．125° C．150° D．155° 5．如图，嘉嘉测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC=3m,再选一点D，连接AD，CD，作BE∥AD，交CD于点E，测得CD=10m,DE=6m,则AB=（　　） A．4m B．5m C．4.5m D．3.5m 6．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：OA′=1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：9 7．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF分别与直线l1，l2，l3交于点A，B，C和点D，E，F．若AB=2BC，EF=3，则DE的长是（　　） A． B．3 C．6 D．9 8．如图，D是等边△ABC边上的点，AD=3，BD=5，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，D，E为边AB上的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，H为AF与DG的交点．若EF=4，则HG的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 10．如图，DE是△ABC的中位线，点F为DE上一点，且EF=2DF，CF的延长线交AB于点G，若DG=1，则AG的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 11．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E是BC上一点，BE=2，连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，AM平分∠EAF交CD于点M，则△AEM的面积为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内部一点，连接AE、BE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，点F落在BE的延长线上，BE的延长线交AD于点M，连接CF交BD于点N，若AM：AB=1：3，则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．已知=，则的值为 ______． 14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，已知，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为 ______． 15．如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．若，则的值是 ______． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，点E是BC边上的点，AE与CD交于点F． （1）若AC2=CE•CB，求∠AFC= ______°； （2）连接BF，已知点E是BC的中点，若AC=4，BC=6，则BF= ______． 17．如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD=3CD=3，DE=AB=2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE=______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）当BP=3，求CD的值． 19．如图，在△ABC中，点D在AB上，，点E，F分别在CD，BC上，∠BAF=∠CAE． （1）求证△ABF∽△ACE； （2）若AB=5，AC=4，BC=6，，则DE= ______． 20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEF=90°，在线段AE上取点G，使EG=EB，连接FG． （1）若AB=4，BE=2，求DF的长，以及四边形GECF的周长； （2）设四边形GECF的周长为m,AB的长为a,求m与a的数量关系； （3）∠EFG可能等于30°吗？若不能，请说明理由；若能，请求出tan∠BAE的值． 21．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，CE=BF，点Q在线段AB上，且AE2=AQ•AB． 求证：（1）∠CAE=∠BAF； （2）△ACE∽△AFQ． 22．如图，△ABC中，D、E分别为AB，AC上两点，满足∠A+∠ABD+∠ACE=90°，P为BE的中点，且OP⊥AC． （1）求证：AE•AB=AD•AC； （2）当△ADE和△BCD相似的时候，求证：BC=CE． 北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、D 2、A 3、B 4、C 5、C 6、D 7、C 8、A 9、A 10、D 11、D 12、A  二．填空题（共5小题） 13、； 14、a； 15、； 16、90；4； 17、；  三．解答题（共5小题） 18、（1）证明：AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠APD=∠B， ∴∠CPD+∠APB=180°-∠APD=180°-∠B ∵∠BAP+∠APB=180°-∠B， ∴∠BAP+∠APB=∠CPD+∠APB， ∴∠BAP=∠CPD， ∴△ABP∽△PCD． （2）解：∵AB=5，BC=8，BP=3， ∴PC=BC-BP=8-3=5， ∵△ABP∽△PCD， ∴=， ∴CD===3， ∴CD的长为3． 19、（1）证明：∵，∠DAC=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴∠ACD=∠ABC， 又∵∠BAF=∠CAE． ∴△ABF∽△ACE； （2）解：∵△ACD∽△ABC， ∴， ∵AB=5，AC=4，BC=6， ∴CD=， ∵，BC=6， ∴BF=2， ∵△ABF∽△ACE， ∴， ∴， ∴CE=， ∴DE=CD-CE=， 故答案为：． 20、解：（1）∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠CEF=90°， ∵∠B=90°， ∴∠AEB+∠BAE=90°， ∵∠CEF=∠BAE， ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABE∽△ECF， ∴AB：CE=BE：CF， ∴4：2=2：CF， ∴CF=1， ∴DF=3， ∵∠C=90°， ∴EF==， ∴=3， ∴四边形GECF的周长=2+2+1+3=8； （2）连接AF，∵∠AEF=90°， ∴AF2=AE2+EF2， ∴AD2+DF2=AB2+BE2+CE2+CF2， ∴DF2=EG2+EF2=FG2， ∴m=GE+EC+CF+FG=BE+EC+CF+DF=2a； （3）设AB=1，BE=EG=x, 则EC=1-x,CF=x（1-x）， ∵∠EFG=30°， ∴FG=2x, 列方程得，2x+x（1-x）=1， 解得x=， ∵BE＜1， ∴tan∠BAE=x=． 21、证明：（1）在等腰三角形ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE=∠BAF； （2）由（1）知：△ACE≌△ABF， ∴AE=AF，∠CAE=∠BAF， ∵AE2=AQ•AB，AC=AB， ∴=，即=， ∴△ACE∽△AFQ． 22、（1）证明：延长PO交AC于点H，则PH⊥AC， 在△ABC中，∠CBO+∠BCO=90°， ∴BD⊥CE， ∵P为BE的中点， ∴BP=OP， ∴∠BOP=∠ABD， ∵∠BOP+∠POE=∠ACE+∠COH=90°，且∠POE=∠COH， ∴∠BOP=∠ACE=∠ABD， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∴，即AE•AB=AD•AC； （2）证明：∵∠A+∠ABD=∠BDC， ∴∠A≠∠BDC， ∵△AED∽△BDC， ∴∠A=∠CBD， ∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠CBD+∠ABD=∠ABC， ∴∠BDC=∠ABC， 由条件可知∠BEC=∠BDC， ∴∠ABC=∠BEC， ∴BC=CE． 学科网（北京）股份有限公司 $$