9.1.2 分层随机抽样 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章 统计 9.1 随机抽样 9.1.2 分层随机抽样 新课引入 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，即能保证抽样的公平性； 但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本. 抽样调查最核心的问题就是样本的代表性. 例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或者矮个子的情形. 这种”极端”样本的平均数会大幅度偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差. 思考：能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 新知讲解—分层随机抽样 问题1：树人中学高一年级有名学生,其中男生有名, 女生有名. 能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法 , 减少“极端”样本的出现,从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？ 性别是影响身高的其中一个主要因素。我们可利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本. 这样就能有效地避免“极端”样本. 新知讲解—分层随机抽样 问题2：树人中学高一年级有名学生,其中男生有名, 女生有名.抽取一个容量为的简单随机样本，应如何分配？ 即可按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配： 无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等，均为. 这种样本量的分配方式为比例分配. 还原整体的特征 男/女生样本量 新知讲解—分层随机抽样 按照性别变量 高一年级的学生 男生 女生 男生样本 女生样本 抽样 抽样 样本特征 总体特征 子总体1 子总体2 分层随机抽样 新知讲解—分层随机抽样 按照性别变量 高一年级的学生 男生 女生 男生样本 女生样本 抽样 抽样 样本特征 总体特征 子总体1 子总体2 分层随机抽样 按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体， 在每个子总体中独立地进行简单随机抽样， 再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本. 注：每一个子总体称为层. 新知讲解—分层随机抽样 分层随机抽样的前提和遵循的两条原则 （1）前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取； （2）遵循的两条原则：①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比. 设个总体被分成个子总体，选取的样本量为每个子总体中抽取的样本数分别为,则 典例分析—分层随机抽样 例1.(1)某政府机关在编人员共人，其中副处级以上干部人，一般干部人，工人人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取人， ①用下列哪种方法最合适( ) A.抽签法 B.随机数法 C.简单随机抽样 D.分层随机抽样 ②副处级以上干部抽取______人，一般干部抽取_____人，工人抽取_____人. 新知讲解—分层随机抽样的步骤 (1)分层 根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层; (3)定数 确定每一层应抽取的个体数目，并使每一层应抽取的个体数目之和为样 本容量; (4)抽样 按步骤确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为的 样本. (2)求比 ①根据总体的个体数和样本容量计算抽样比; ②计算层与层之间的比例; 分层随机抽样的步骤 典例分析—分层随机抽样 （2）①某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( ) A.15，5，25 B.15，15，15 C.10，5，30 D.15，10，20 ②某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(　　) A．9 B．10 C．12 D．13 ③防疫站对学生进行身体健康调查。红星中学共有学生1600名，根据学生性别采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本。已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是______. 学以致用—分层随机抽样 训练2.（1）某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组，并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表： 书法组 舞蹈组 乐器组 高一 x 20 30 高二 45 30 10 已知按兴趣小组类别用分层随机抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则 　　　　　⁠.  学以致用—分层随机抽样 训练2.（2）某学校在校学生有人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为，且，全校参加登山的人数占总人数的. 为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（ ） A.15人 B.30人 C.45人 D.60人 学以致用—分层随机抽样 训练2.（3）为了对某课题进行研究，分别从三所高校中用分层随机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校有名教授，高校有名教授，高校有名教授（其中）. （1）若两所高校中共抽取名教授，两所高校中共抽取名教授，求； （2）若高校中抽取的教授人数是高校和中抽取的教授总人数的，求三所高校教授的总人数. 新知讲解—分层随机抽样中的总体均值和样本均值 在分层随机抽样中，如果层数分为层，第层和第层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和. 第1层中各个个体的变量值设为，，样本中各个个体的变量值为， 第2层中各个个体的变量值设为，，样本中各个个体的变量值为， 在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总计平均数. 典例分析—分层随机抽样 例3.某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位：)的数据如下：     则这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间的估计值为________. 甲 6 6.5 7 7.5 8       乙 6 7 8 9 10 11 12   丙 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 8.2 学以致用—分层随机抽样 训练3.高二年级有男生人，女生人，按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为和.则下列论述错误的是（ ） A.若各层按比例分配抽取样本量为的样本，可以用×170.2＋×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值 B.若从男生、女生中抽取的样本量分别为和，可以用×170.2＋×160.8≈163.6(cm)来估计总体均值 C.若从男生、女生中抽取的样本量分别为和，则总样本的均值为×170.2＋×160.8≈163.6(cm) D.如果仅根据男生、女生的样本均值，无法计算出总样本的均值 新知讲解—分层随机抽样的效果 【探究】小明想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本平均数如下表所示，小明有了一个重要发现 . 你是否也有所发现? 新知讲解—分层随机抽样的效果 【探究】分层随机抽样的平均数与上一节样本量为的简单随机抽样的平均数用图形进行表示，其中红线表示整个年级学生身高的平均数。小明有了一个重要发现 . 你是否也有所发现? 发现1：分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的结果比较，分层抽样并没有明显优于简单随机抽样. 发现2：分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀. 分层差异大时，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样. 新知讲解—获取数据的途径 1、通过调查获取数据：简单随机抽样、分层随机抽样、系统抽样、整群抽样、不等概率抽样、自适应抽样、两阶段抽样 2、通过试验获取数据：没有现存的数据可查询，需通过对比试验获取样本观测数据，且需严格控制试验环境 3、通过观察获取数据：不能人为控制的自然现象，需借助专业策略设备，通过长久的持续的观察获取数据 4、通过查询获取数据：查询“二手数据”，如国家统计局公布的数据或出版的资料、专家的学术论文等 典例分析—获取数据的途径 例4.(1)为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是（　　） A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 (2)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是（　　） A.分层随机抽样 B.抽签法 C.随机数法 D.其他随机抽样 典例分析—获取数据的途径 训练4.(1)为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查.某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗？ 一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益.为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民.调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿.因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民. 典例分析—获取数据的途径 (2)为了创建“和谐平安”校园，某校决定在开学前将学校的电灯电路使用情况进行检查，以排除安全隐患，获取电灯电路的相关数据应该用什么方法？为什么？ 由于一个学校的电灯电路数目不算大，属于有限总体问题，所以应该通过调查获取数据，并且对创建“和谐平安”校园来说，必须排除任一潜在或已存在的安全隐患，故必须用普查的方法. 课堂小结 2.分层随机抽样的总体均值和样本均值 1.分层随机抽样的概念 3.获取数据的途径 $$