2025年中考数学复习 反比例函数：平行四边形、菱形、矩形、正方形存在性问题专项训练

反比例函数：平行四边形、菱形、矩形、正方形存在性问题专项训练 反比例函数：平行四边形、菱形、矩形、正方形存在性问题专项训练 考点一 平行四边形存在性问题 1．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 3．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 4．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·贵州黔东南·一模）如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 6．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 考点二 菱形存在性问题 1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当四边形为菱形时，求点的坐标． 2．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与直线交于点，过点A 作轴于点B． (1)求k的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) (3)(2)中所作的垂直平分线与 交于点C，与 x轴交于点D，连接 、，求证：四边形是菱形． 3．（2023·山东济南·模拟预测）一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当四边形的面积为时，求此时点的坐标； (3)我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点是平面内一点，点在直线AB上，是否存在这样的点，，，使四边形是“美好菱形”？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，是轴上的一个定点，连接，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)若经过点的 直线交线段于点，且，求的值； (3)如图2，是一次函数与轴的交点，将直线沿轴正半轴平移，平移过程中，直线在第一象限与反比例函数的图象交于点（点不与点重合），与轴交于点．平移过程中，平面内是否存在某一点，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 考点三 矩形存在性问题 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·四川雅安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)连接，求； (3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由． 3．（2024·四川达州·一模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)连接，求； (3)是轴上一点，是平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·山东淄博·一模）反比例函数的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，我们可以利用这些性质解决问题：如图1，直线与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点， (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图2，当点为时，四边形是矩形，试求和的值． 5．（2024·山东济南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点O顺时针旋转得到，点B在反比例函数的图象上，连接．    (1)求k的值； (2)作关于直线对称的，点O，A，B的对应点分别为点，，，当反比例函数的图象恰好经过一边的中点时，求m的值； (3)若P为平面内一点，Q为双曲线上一点，是否存在点P和点Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·山东济南·模拟预测）综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求出图案中阴影部分的面积； (3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 考点四 正方形存在性问题 1．（2025·辽宁·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且），则称点A，B是一对“m阶差值点”． (1)在点，，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是________． (2)若点A，是一对“2阶差值点”，且点A在函数的图像上，求点A的坐标； (3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上，点M的纵坐标为t，且． ①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值； ②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． (4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线AB上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 2．（2023·安徽宿州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G． (1)求k的值． (2)连接，则图中是否存在与相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由． (3)点M在直线上，N是平面内一点，当四边形是正方形时，请直接写出点N的坐标． 3．（2025·山东济南·模拟预测）如图，直线AC与双曲线交于A（m，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C，直线AD与x轴交于点D（－11，0）， (1)请直接写出m，n的值； (2)若点E在x轴上，若点F在y轴上，求的最小值； (3)P是直线AD上一点，Q是双曲线上一点，是否存在点P，Q，使得四边形ACQP是正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题： （1）求点A，B的坐标； （2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值； （3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$反比例函数：平行四边形、菱形、矩形、正方形存在性问题专项训练 反比例函数：平行四边形、菱形、矩形、正方形存在性问题专项训练 考点一 平行四边形存在性问题 1．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 【详解】（1）解：把代入， 可得，解得， 反比例函数的解析式为； 把代入，可得， ， 把，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ， ， 如图，当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，即轴，且， 设点，则， 则可得， 整理得， 解得， ，， 即点D的坐标为或 2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：；   ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴，解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴，解得：，∴ 点D的坐标为； ②当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； ③当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 3．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示： ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，得证四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是2， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是1； ∵反比例函数的图象过点A． ∴； （3）解：依题意，反比例函数的图象过点A． 设， ∴， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∴点D的纵坐标为， ∵点D在反比例函数的图象上， 把代入，得， 解得， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得 解得， ∴直线解析式为， 依题意，得， ∴， 整理得 ∴， ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点 ∵反比例函数的图象过点A． ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 4．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 5．（2024·贵州黔东南·一模）如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，设，    ∵平行四边形中，边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：根据题意，设， ∵， ∴设点到的距离为，则， ∴， ∵点位于第三象限，即，且， ∴，则， ∴． 6．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)，， 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入， 得：， ； ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， ∴把代入反比例函数， 得：， ∴， 则将和分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 根据图象可知： ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， 不等式的解集为：或． （3）解：①以为对角线时：， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， 点坐标为． ②当为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， 点坐标为， ③以为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， ∴点坐标分别为． 满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 考点二 菱形存在性问题 1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当四边形为菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得，， ． 如图，当四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 2．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与直线交于点，过点A 作轴于点B． (1)求k的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) (3)(2)中所作的垂直平分线与 交于点C，与 x轴交于点D，连接 、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)证明见解析． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线； （3）证明：设垂直平分线与OA交于点E， 由作图易知： ， 轴于点， ∴， ， ， 又∵ ， ， ， ∴四边形是菱形. 3．（2023·山东济南·模拟预测）一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；6 (2) (3)或 【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：， ， 点在反比例函数图象上， ； （2）当时，，解得， 当时，， 一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 为线段上的点， ∴设，则， 则有， 解得，或舍去 ； ∴； （3）设点，， 由（2）可知：点，点， ∴， 由题意知，为菱形的边， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 由平移规则和得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：或或或． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当四边形的面积为时，求此时点的坐标； (3)我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点是平面内一点，点在直线AB上，是否存在这样的点，，，使四边形是“美好菱形”？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， ，                      ， 反比例函数的表达式为：， 则， 解得：，， ； （2）解：如图1，过点作轴，交于， 设点的坐标为， ， 的解析式为：， 当时，， ， ， ， 设的解析式为：， 则，解得：， 的解析式为：， ， ， 四边形的面积为， ， ， ， 解得：，（舍； ； （3）解：存在，理由如下： 由菱形的定义知，或， （Ⅰ）当点F在点A下方时，则只能， 过点B作垂直，交于点Q，则三角形为等腰直角三角形． 过点作轴于，过点作轴，过点作轴， 则， ，， ， 的解析式为， ， 解得：或（舍， ， ， ， 过点作轴，过点作轴， ， ， ， （Ⅱ）当点F在点A上方时，则只能，此时， 由（Ⅰ）知， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，是轴上的一个定点，连接，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)若经过点的 直线交线段于点，且，求的值； (3)如图2，是一次函数与轴的交点，将直线沿轴正半轴平移，平移过程中，直线在第一象限与反比例函数的图象交于点（点不与点重合），与轴交于点．平移过程中，平面内是否存在某一点，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴ ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 联立，解得：或， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设与轴交于点， ∴， ∴，， ∴， 过点作轴，过点作轴，则：，    ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 设直线与轴交于点，当时，， ∴， 由勾股定理，得：， 设直线沿着轴正半轴平移个单位长度，则：平移后的直线的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， 当点在点左侧时，则：，    过点作轴， ∵平移， ∴， ∴， ∴，， 当四边形为菱形时，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得：或（舍去）； ∴，， ∴； 当在点右侧时，则：，    同法可得：， ∴，解得：（舍去）或（舍去）； 故此种情况不存在； 综上：． 6．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)3 (3)点的坐标为或． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 解得，， ； （2）直线交反比例函数的图象于另一点， 点与点关于原点对称， ， ，； 过作轴，过作于，过作于， ，， 的面积四边形的面积的面积； （3），； 中点的坐标为，， 设点，点， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，，， ， ， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，，， ， 解得或（此时，点在直线上，不合题意舍去） ； ③当为菱形的对角线时，， ， 此方程组无实数根，这种情况不存在， 综上所述，点的坐标为或． 考点三 矩形存在性问题 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)P点坐标为，Q点坐标 或P点坐标为，Q点坐标． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴， ∵， 解得或， ∵A在第三象限， ∴，． （2）解：把，分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 故关于x的不等式的解集是：或． （3）存在 分类讨论： 解：①为矩形对角线时，如图 ∵，，， 设，则， ， ， 时，为矩形的边，此时为矩形， ， 代入解得或 P点坐标为， 设Q点坐标为， ， 解得 得到Q点坐标． P点坐标为，Q点坐标 ②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∵，，， 设，， 当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∴， 则Q点坐标：， 此时为矩形，得， 代入得到， 解得，，， 则P点坐标为，Q点坐标． 2．（24-25九年级上·四川雅安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交于点C，D，延长交反比例函数图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)连接，求； (3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)9 (3)存在， 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点 D的纵坐标为2， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为 设直线的解析式为， ∵点A 在直线上， ∴， 解得 ∴直线的解析式为 联立得 解得 或 ∴，； （2）解：由（1）可知， ∵， ； （3）解：在x轴上存在两点M，N，使以点 E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下： ∵设， ∴， ∵， ∴， ∴四边形 是平行四边形，当 时， ∴，即或， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴此时平行四边形为矩形， ∵点M在点N 的左侧， ∴， ∴矩形周长为 3．（2024·四川达州·一模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)连接，求； (3)是轴上一点，是平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为； (2) (3)存在，点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：将点的坐标为代入直线中， 得， 解得：， ， ， 反比例函数解析式为， 由， 得或， 点的坐标为； （2）解：如图1，作轴于点，轴于点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：存在，当点在的正半轴上时，如图2，设点的坐标为， 过点作轴于点， ，， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 当点在的负轴上时，如图2，设点的坐标为， 过点作轴于点， 同理证得点的坐标为， 当四边形或是矩形四边形时，， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或或． 4．（2024·山东淄博·一模）反比例函数的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，我们可以利用这些性质解决问题：如图1，直线与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点， (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图2，当点为时，四边形是矩形，试求和的值． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2)， 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，证明如下： 反比例函数是中心对称图形，且与正比例函数交与点、， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：点在的图象上， ， ， 过点作轴于点，则，， 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ， ∵， ． 5．（2024·山东济南·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点O顺时针旋转得到，点B在反比例函数的图象上，连接．    (1)求k的值； (2)作关于直线对称的，点O，A，B的对应点分别为点，，，当反比例函数的图象恰好经过一边的中点时，求m的值； (3)若P为平面内一点，Q为双曲线上一点，是否存在点P和点Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)点Q的坐标为或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到，    ∴，， 过点B向x轴的垂线，交x轴于点C， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴点B在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为， ∵与关于直线对称， ∴，，， 当反比例函数过边的中点时， 边的中点是， ∴，解得； 当反比例函数过边的中点时， 边的中点是， ∴，解得； 由上可得，或； （3）解：存在．理由如下： 如图，过点Q作轴于点J，过点B作轴于点K，   ，， ∴， 设点Q的横坐标为a， ，， ∴， ，即， ∴， ， 点Q在上， ∴， 解得或， 点Q的坐标为或． 6．（2024·山东济南·模拟预测）综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求出图案中阴影部分的面积； (3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 【详解】（1）解：把代入得， 则反比例函数的表达式为； （2）解：连接菱形的对角线，交轴于点，则轴， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形，， ， ， 轴于点，且是的中点， ， ， ； （3）解：设直线的表达式为， 代入点和点，得：， ①当时，设直线的表达式为，代入点得， 联立， 得：（舍），， 当时，， ； ②当时，设直线的表达式为，代入点， 得：，联立，得：（舍）， 当时，， ， 综上所述，点坐标为或． 考点四 正方形存在性问题 1．（2025·辽宁·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且），则称点A，B是一对“m阶差值点”． (1)在点，，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是________． (2)若点A，是一对“2阶差值点”，且点A在函数的图像上，求点A的坐标； (3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上，点M的纵坐标为t，且． ①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值； ②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． (4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线AB上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)点A的坐标是或； (3)①；②存在，a的值是1或； (4)或． 【详解】（1）解：对于点，， ∵， ∴点，不是一对“3阶差值点”； 对于点，， ∵， ∴点，是一对“3阶差值点”； 对于点，， ∵， ∴点 不是一对“3阶差值点”． 故答案为：； （2）根据题意，可设， ∵点，是一对“2阶差值点”， ∴，整理可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴点A的坐标为或； （3）①∵抛物线的对称轴为， ∴， 将代入，可得， ∴点， ∵点M，C是一对阶差值点， ∴，解得， ②存在， 根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”， 当点C，M是一对“1阶差值点”时，如下图， 则有，解得， ∴， 过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 将点代入， 得； 同理当点在点C上方时，如下图， 可得， 将点代入， 得 ． 综上所述，a 的值是1或； （4）若点，是一对“m阶差值点”， 则有， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 又，可得， ∴， 又∵直线过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点， 即直线经过由组成的正方形区域（含边界），如图， 当时， 令，则有， 此时，解得，即m的取值范围为； 当时， 令，则有， 此时，解得，即m的取值范围为． 综上所述，m的取值范围为或． 2．（2023·安徽宿州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G． (1)求k的值． (2)连接，则图中是否存在与相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由． (3)点M在直线上，N是平面内一点，当四边形是正方形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，，，，；证明见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点B的坐标为， ∴，，． ∵是旋转得到的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点F的坐标为． ∵的图象经过点F， ∴， 解得． （2），，，． 选． 证明：∵点G在AB上， ∴点G的横坐标为8， ∴点G的坐标为， ∴． ∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴． （3）由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，四边形是正方形， 当点M在点F上方时，如图所示：过点M作轴，交于点L， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵，， ， ∵点G的坐标为， ∴设点， ∴，， 解得：， ； 当点M在点F下方时，如图所示：过点M作轴，交延长线于点L， 同理可得， ∴， ∴， ∴点， ∵，， ， ∵点G的坐标为， ∴设点， ∴，， 解得：， ， 综上可得：点N的坐标为或． 3．（2025·山东济南·模拟预测）如图，直线AC与双曲线交于A（m，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C，直线AD与x轴交于点D（－11，0）， (1)请直接写出m，n的值； (2)若点E在x轴上，若点F在y轴上，求的最小值； (3)P是直线AD上一点，Q是双曲线上一点，是否存在点P，Q，使得四边形ACQP是正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2) (3)存在点P，Q（-2，-3），使得四边形ACQP是正方形 【详解】（1）解：∵直线AC与双曲线交于A（m，6），B（3，n）两点， ∴， ∴m=1，n=2； （2）解：如图，作点A关于y轴对称点A1，作点B关于x轴对称点B1，则A1F=AF，B1E=BE， ∴， 即当点A1、F、E、B1四点共线时，的值最小，最小值为A1B1的长， 由（1）得：点A（1，6），B（3，2）， ∴点A1（-1，6），B1（3，-2）， ∴， 即的最小值为； （3）解：存在点P，Q，使得四边形ACQP是正方形，理由如下： 设直线AD的解析式为， 把点A（1，6），点D（－11，0）代入得： ，解得：， ∴直线AD的解析式为， ∵点D（－11，0）， ∴OD=11， ， 同理得直线AB的解析式为， 当y=0时，，即x=4， ∴点C（4，0）， ∴OC=4， ∴CD=15，，， ∴∠CAD=90°， ∴当AP=PQ=CQ=AC=时，四边形ACQP是正方形， 设点P， ∴，解得：， ∴点P坐标为或， 设点Q（x，y）， 当点P坐标为时，PQ=CQ= ， ，解得：或， ∴点Q（-2，-3）或（1，6）（舍去）； 当点P坐标为时，PQ=CQ= ， ∴，解得： 或； ∴点Q（10，3）（舍去）或（1，6）（舍去）； 综上所述，存在点P，Q（-2，-3），使得四边形ACQP是正方形． 4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题： （1）求点A，B的坐标； （2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值； （3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）. 【详解】解：（1）∵线段的长是方程的一个根， 解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴， ∴A（9，0）， ∵， ∴B（0，）； （2）∵， ∴E（-6，0）， 设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入， 得：，解得：， ∴AB的表达式为：， ∵点C是EF的中点， ∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6， 则C（-3，6）， ∵反比例函数经过点C， 则k=-3×6=-18； （3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形， 如图，共有5种情况， 在四边形DM1P1N1中， M1和点A重合， ∴M1（9，0）， 此时P1（9，12）； 在四边形DP3BN3中，点B和M重合， 可知M在直线y=x+3上， 联立：， 解得：， ∴M（1，4）， ∴P3（1，0）， 同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）. 故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形， 点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$