精品解析：2025年山东省威海市威海经济技术开发区中考一模数学试题

2025年初四综合测试 数学 （时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 3．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 4．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，掌握数轴上点的特点是解题关键．观察数轴即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴数轴上点表示的数可能是， 故选：B． 2. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转得到另一个“巳”． 故选：B． 3. 中国拥有万公里大陆海岸线和万公里岛屿海岸线，海洋资源丰富．近年来，中国持续推动海上养殖业转型升级，“蓝色粮仓”日渐充实．中国已建设169个国家级海洋牧场；依赖网箱、物联网监测、“鱼脸识别”等高新技术，实现精准养殖，1个智能网箱每年至少能产出110万条鱼，只需要4个工人来操作．数据“110万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和a，n的值的取值要求是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：万． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A. 不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项符合题意； D. 不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 6. 如图，抛物线与轴交点的横坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为．已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握其性质并能准确画出图象是解决此题的关键．根据二次函数的性质，结合一元二次方程的根的分布，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的图象与轴交点的横坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为． 抛物线与轴的交点坐标为,抛物线与直线的交点坐标为,, ∵， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， 如图所示， 观察图象可知，, 故选：B． 7. 我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．例如：．若，那么的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算． 根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：， 根据新运算， 故选：D． 8. 如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系． 由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， 正方形的对角线的长为， 半径的长为， ∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 9. 如图，在中，点，分别是边，的中点，连接，，与交于点，连接，过点作，分别交、于点、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长交的延长线于点，利用平行四边形的性质相似三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质得到，得到，由得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、、、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出，，，进而得，，，，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解:原式 ， 故答案为:． 12. 图1是某品牌自行车放置在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练知识相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，根据三角形内角和定理求出，由得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 2022年春节贺岁档影片即将上映，小明、小红二人准备在《四海》、《奇迹》、《断桥》、《狙击手》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】用a表示《四海》，b表示《奇迹》，c表示《断桥》，d表示《狙击手》，列树状图求解． 【详解】解：用a表示《四海》，b表示《奇迹》，c表示《断桥》，d表示《狙击手》， 列树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中二人恰好选择同一部影片观看的有4种， ∴P（二人恰好选择同一部影片观看）==， 故答案为：． 【点睛】此题考查了列举法求事件的概率，正确掌握列举法的解题方法及概率的计算公式是解题的关键． 14. 如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．先求出二次一次方程组的解，再代入，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解： 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得，， ∴， 把代入得， ， 解得， 故答案为： 15. 某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案． 【详解】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为， ∴边数为：， ∴无人机飞行的总路程是：（米）， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数位于第一象限的图象上，．点是的重心，点也恰好在反比例函数的图象上，连接，延长与相交于点，那么点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 由题意得点关于直线对称，由可得的重心在直线：上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得点关于直线对称， ，点是的重心， 的重心在直线：上， 点在直线上， 联立得， 解得或， 点在第一象限， ， ， 点是的重心， ， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 先化简，再求值：，其中，且为整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 对原式通分、去括号化简，然后代入合适的的值，求解即可． 【详解】解： ； 且， 且 ，且为整数， ， 原式． 18. 某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 【答案】停车位的宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为，根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：停车位的宽为． 19. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）度 （2） 解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 20. 为有效解决近视和肥胖等青少年健康问题，2025年1月我市发布了《关于优化全市义务教育阶段学生课间活动时间的指导意见》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校想了解政策实行前后学生的近视率，随机从六、七年级抽查了40名学生1月份和4月份的视力情况．其中，1月份视力情况如表1，4月份视力情况如图1和图2（尚不完整）． 表1 视力 人数/人 4.5 4 4.6 10 4.7 12 4.8 8 4.9 4 5.0 2 设定视力4.9及以上为视力为良好，分析两次视力结果得到表2． 表2 平均数 众数 中位数 良好率 第一次 4.71 4.7 15% 第二次 4.8 4.8 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出，，的值； （2）若全校六、七年级学生以1250人计算，估计政策实行后视力达到良好的学生人数： （3）从多角度分析本次政策实行的效果． 【答案】（1）， 补全图2统计图如下： （2）政策实行后视力达到良好的学生人数约为人 （3） 解：根据表2可知：政策实行前平均视力为，政策实行后平均视力为； 政策实行前众数为，政策实行后众数为； 政策实行前中位数为，政策实行后中位数为； 政策实行前视力良好率为，政策实行后，视力良好率为； 综上所述，本次政策实行的效果很好． 【解析】 【分析】本题考查了统计图的应用，平均数，众数，用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据统计图数据求出的值，补全图2统计图即可； （2）用样本估计总体的方法计算即可； （3）根据表2数据分析即可． 【小问1详解】 解：根据表1得视力为的人数最多，有人， 众数为； 由图1得视力为的人数为人， 视力为的人数为人 ； ； 补全图2统计图略 【小问2详解】 解：（人）， 答：政策实行后视力达到良好的学生人数约为人； 【小问3详解】 略 21. 如图，是的外接圆，是直径，点是上的一个点，且，是延长线上的一点，连接，若恰好平分． （1）求证：为的切线． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 平分， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，得到由直径所对的圆周角是直角得到，继而得到，即可得到结论； （2）先证明，得到，计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 22. 小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． （1）根据以上数据，求圆心到地面的距离； （2）如图4，小明说：“当遮阳棚边缘的影子正好落在圆心处时，围墙的影子顶部与围墙顶端的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． （3）如图5，当遮阳棚边缘的影子正好落在点处时，求此时围墙的影长． 【答案】（1）圆心O到地面的距离为 （2） 小明的说法正确．理由如下： 如图，设光线的延长线交延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径，小明的说法正确； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质． （1）由题意可得：，，设，再利用勾股定理求解，从而可得答案； （2）如图，设光线的延长线交于，证明，可得，从而可得结论； （3）过作交于，过作于，证明四边形为矩形，可得，，证明，可得． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴圆心O到地面的距离为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 过作交于，过作于， ∵， ∴ 则由题意得四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， 答：围墙的影长． 23. （1）如图（1），四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，则的度数为______； （2）如图（2），将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点，若，求的长； （3）如图（3），当点在射线上运动时，把（2）中的正方形变为矩形，且，，连接，与交于点，连接．求，两点间的最短距离． 【答案】（1）；（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，推出，由得到，推出，即可得出结果； （2）根据正方形的性质得到，，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出 ，得到； （3）由折叠的性质得到，，即点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，则当点在上时，两点间的距离最短，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ，， ， ， ， 由折叠的性质得，， 由（1）得， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知， ， 点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，则当点在上时，两点间的距离最短，如图， ， 矩形， ， ， ，两点间的最短距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键． 24. 已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则，解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则，解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则，解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初四综合测试 数学 （时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 3．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 4．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 3. 中国拥有万公里大陆海岸线和万公里岛屿海岸线，海洋资源丰富．近年来，中国持续推动海上养殖业转型升级，“蓝色粮仓”日渐充实．中国已建设169个国家级海洋牧场；依赖网箱、物联网监测、“鱼脸识别”等高新技术，实现精准养殖，1个智能网箱每年至少能产出110万条鱼，只需要4个工人来操作．数据“110万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与轴交点的横坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为．已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．例如：．若，那么的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，分别是边，的中点，连接，，与交于点，连接，过点作，分别交、于点、，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 分解因式：______． 12. 图1是某品牌自行车放置在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则______度． 13. 2022年春节贺岁档影片即将上映，小明、小红二人准备在《四海》、《奇迹》、《断桥》、《狙击手》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为________． 14. 如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为_______． 15. 某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是_____米． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数位于第一象限的图象上，．点是的重心，点也恰好在反比例函数的图象上，连接，延长与相交于点，那么点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 先化简，再求值：，其中，且为整数． 18. 某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 19. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 20. 为有效解决近视和肥胖等青少年健康问题，2025年1月我市发布了《关于优化全市义务教育阶段学生课间活动时间的指导意见》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校想了解政策实行前后学生的近视率，随机从六、七年级抽查了40名学生1月份和4月份的视力情况．其中，1月份视力情况如表1，4月份视力情况如图1和图2（尚不完整）． 表1 视力 人数/人 4.5 4 4.6 10 4.7 12 4.8 8 4.9 4 5.0 2 设定视力4.9及以上为视力为良好，分析两次视力结果得到表2． 表2 平均数 众数 中位数 良好率 第一次 4.71 4.7 15% 第二次 4.8 4.8 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出，，的值； （2）若全校六、七年级学生以1250人计算，估计政策实行后视力达到良好的学生人数： （3）从多角度分析本次政策实行的效果． 21. 如图，是的外接圆，是直径，点是上的一个点，且，是延长线上的一点，连接，若恰好平分． （1）求证：为的切线． （2）已知，，求的长． 22. 小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． （1）根据以上数据，求圆心到地面的距离； （2）如图4，小明说：“当遮阳棚边缘的影子正好落在圆心处时，围墙的影子顶部与围墙顶端的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． （3）如图5，当遮阳棚边缘的影子正好落在点处时，求此时围墙的影长． 23. （1）如图（1），四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，则的度数为______； （2）如图（2），将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点，若，求的长； （3）如图（3），当点在射线上运动时，把（2）中的正方形变为矩形，且，，连接，与交于点，连接．求，两点间的最短距离． 24. 已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $