精品解析：重庆市部分学校2024-2025学年高二下学期四月质量检测数学试题

2024—2025学年度2026届高二（下）四月质量检测 数学试题 一、单选题 1. 如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，那么之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图，结合变量间的相关关系和相关系数的定义，即可求解. 【详解】由散点图（1）可得，变量与变量之间呈现正相关，所以； 由散点图（2）可得，变量与变量之间呈现负相关，所以； 由散点图（3）可得，变量与变量之间不相关，所以， 所以. 故选：B. 2. 已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用正态曲线的对称性进行解答即可， 【详解】解：依题意，， 故选：D. 3. 在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现如图形状，被后人称为“三角垛”．已知＂三角垛＂的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设各层球数构成数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】归纳出数列的通项公式，利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】因为，，，， 以此类推可知，故， 因此，数列的前项和为. 故选：B. 4. 已知数列为等比数列且，设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 或18 B. C. 18 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出公比，进而可求得，再根据等差数列的前项和公式及等差数列的性质计算即可. 【详解】设数列的公比为，则，所以, 所以， 所以. 故选：C. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 200 B. 210 C. 220 D. 230 【答案】A 【解析】 【分析】根据，再根据二项展开式的通项公式求解中和的项即可 【详解】，又中含的项为，中含的项为，故展开式中含的项为，故展开式中的系数为200 故选：A 6. 在四面体中，，且，E，F分别为，的中点，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，连接，则，可得或其补角即为所求，然后根据条件可得为等腰直角三角形，即可得到答案. 【详解】 取的中点为，连接，则，所以或其补角即为所求 因为，且， 所以且，所以 所以与所成的角为 故选：B 7. 如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止，则下列说法错误的是（ ） A. 甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B. 甲乙两人在处相遇的概率为 C. 甲、乙两人相遇的概率为 D. 甲从M到达N处的方法有120种 【答案】D 【解析】 【分析】对于，甲经过到达，可分为两步：第一步：甲从经过的方法数：种，第二步：甲从到的方法数：种，利用分步计数原理求解；对于，试验发生包含的事件数是，甲经过的方法数为；乙经过的方法数也为，得到甲、乙两人相遇经点的方法数为，根据概率公式得到结果；对于，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在，2，3，相遇的走法有种方法，根据分类计数原理得到结果数，求得概率．对于，甲由道路网处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达处需走6步，由此能求出甲从到达处的方法； 【详解】解：对于，甲经过到达，可分两步： 第一步：甲从经过的方法数：种， 第二步：甲从到的方法数：种， 所以：甲经过的方法数为种，故正确； 对于，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 他们在，2，3，相遇走法有种方法； 甲、乙两人相遇的概率，故正确． 对于，甲由道路网处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达处需走6步， 共有种方法，故错误； 对于，由知：甲从到达处的方法有种，甲经过的方法数为：种， 同理，乙从到达处的方法有种，乙经过的方法数也为：种， 甲、乙两人相遇经点的方法数为：种， 甲、乙两人相遇经点的概率，故正确； 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到等可能事件的概率、分类计数原理、分步计数原理等基础知识，考查空运算求解能力等核心素养． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据勾股定理探索关系，再以为基底表示，结合可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C. 若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式可判断A；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，再通过计算即可判断B；先对h，a，y进行排列，再将p放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；按3，1分组和2，2分组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可判断D． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，5人两两握手，即从5人中随便选出2人握手，即共握（次），故B正确； 对于C，在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有（种），其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有（种），故C正确； 对于D，将4人按3，1分派，共种；将4人按2，2分派，共有种， 故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误． 故选：BC． 10. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 直线与平面所成角的正弦值最大值为 C. 当平面截直四棱柱所得截面面积为时， D. 四面体的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：证明出平面，进而证明；B选项：先用等体积法求出点A到平面的距离，根据P到平面的距离为定值，所以当BP最小，即P为AC的中点时，直线BP与平面所成的角最大，从而求出所成角的正弦值，从而可判断；C选项：根据几何体的对称性可知，或，故C选项错误；D选项：面积为定值，由平行关系得到P到平面的距离恒为定值，故可判断四面体的体积为定值. 【详解】当时，P为AC的中点，连接，，则， 因为平面，所以，又， 所以平面， 因为平面，所以，A正确. 因为四棱柱为直四棱柱，所以，因为平面， 平面，所以平面，则点P到平面的距离等于点A到平面的距离. 设点A到平面的距离为，由,可得, 即,又 设与交于点，连接，则， 则, ，则 所以 所以 设直线BP与平面所成的角为，，因为点P到平面的距离为定值， 则,所以当BP最小，即P为AC的中点时，直线BP与平面所成的角最大， 此时，所以，所以B正确. 当时，点P为AC上靠近点C的四等分点，过点P作的平行线分别交于 连接，由，所以，又 所以等腰梯形为平面截四棱柱所得截面图形. 易知，,等腰梯形的高，所以梯形的面积为， 由几何体的对称性可知，当平面截直四棱柱所得截面面积为时，或，C错误. 由上可知，平面，所以点P到平面的距离恒为定值， 因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，D正确. 故选：ABD. 11. 若对一切恒成立，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即，当，满足题意. 故选：AB. 三、填空题 12. 某公司收集了某商品销售收入（单位：万元）与相应的广告支出（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如图，并利用线性回归模型进行拟合．若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法错误的是________． ①决定系数变小 ②残差平方和变小 ③相关系数的值变小 ④自变量与因变量相关性变弱 【答案】①③④ 【解析】 【分析】回归效果越好，则决定系数越大，相关系数的绝对值越大，残差平方和越小. 【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 故决定系数会变大，更接近于1；残差平方和变小； 相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，即相关系数的值变大，自变量与因变量相关性变强，故①，③，④错误，②正确． 故答案为：①③④． 13. 在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个．要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束．若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品．若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出事件后，结合条件概率公式计算可求得结论. 【详解】设，分别表示第一次抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件， 设表示第二次抽到的小球的颜色是红的事件， 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲获得奖品的概率为： . 故答案为： 14. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，解出a1的结果． 【详解】a3的结果有四种，每一个结果出现的概率都是， 1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3， 2．a1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3， 3．a1→12→+1218＝a3， 4．a1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3， ∵a1+6＞a1，a1+12＞a1， ∴要使甲获胜的概率为， 即a3＞a1的概率为， ∴4a1﹣36＞a1，18≤a1， 或4a1﹣36≤a1，18＞a1， 解得a1≤12或a1≥24． 故答案为：. 【点睛】本题考查新定义问题，考查概率综合，意在考查学生的读题审题能力，考查转化能力，是中档题 四、解答题 15. 现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 数量y 200 260 280 350 420 440 500 （1）若y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据:） （2）某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求的概率． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用表中数据先求出平均数，再代入公式计算可求得，得出回归方程后进而可预测结果； （2）分别判断出有放回和无放回的分布模型，再分情况讨论即可计算出概率. 【小问1详解】 依题意可得； 又， 所以， 可知， 所以经验回归方程为， 将代入该方程可得预测第10天该地区门锁的销售数量为； 【小问2详解】 有放回时，随机变量对应的概率为； 无放回时，随机变量对应的概率为； 若，则有以下情况： 当时，，此时概率为； 当时，或，此时概率为; 因此可得的概率为. 16. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ （2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）列联表见解析，性别与对活动的喜爱程度无关． （2）①概率为；②的分布列见解析；数学期望 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，与2.706比较后得到结论； （2）①利用二项分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关． 【小问2详解】 ①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． ②的可能取值为， ， ， 的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望. 17. 已知椭圆的离心率为，E的左顶点N到点的距离为． （1）求椭圆E的标准方程． （2）过点M作斜率和为2的直线，，直线，分别与E交于A，B两点和C，D两点． （i）若（点B在点A的下方）的面积为，求直线的方程； （ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式可求得，再由离心率可得，由椭圆中的平方关系可得，由此可得椭圆E的标准方程； （2）（i）由面积可求得点B到直线的距离为，由此可设与直线平行且距离为的直线方程为，利用两平行直线的距离解出，代入验证可求得点坐标，再筛选符合题意的点即可求得直线的方程；（ii）设直线，与E的方程联立，消去y可得点的横坐标，另一方面， 设直线，与直线的方程联立，也可得点的横坐标，二者相等可得关于直线的斜率的方程， 同理直线的斜率也满足该方程，即，是该方程的两根，利用两根之为2可得之间的关系，由此可证得直线过定点. 【小问1详解】 由题意知椭圆E的左顶点的坐标为，则，解得， 又，，解得，，则椭圆E的标准方程为． 【小问2详解】 （i）易知直线MN的方程为，即，， 由的面积为，得点B到直线的距离为， 设与直线平行且距离为的直线方程为， 由，解得或． 当时，由，得， 显然，此时该直线与椭圆无交点； 当时，由，得，解得或 当点B的坐标为时，直线的斜率为2， 此时直线的斜率为0，此时直线与椭圆只有一个交点，不合题意； 当点B的坐标为时，直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，即； （ii）设，，直线，与E的方程联立，消去y得 ， 则，则． 设直线，与直线的方程联立，可得， 则，得， 同理，直线的斜率也满足该式，即，是关于x的方程的两个根， 则，得， 直线，即直线过定点． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求证. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算，分别讨论，，，不等式和的解集，即可得单调减区间和单调增区间. （2）令，令，可得函数，利用导数结合已知条件判断的单调性，求得的最小值，证明其最小值大于即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时， 时，单调递减， 时，单调递增， 当时，令得或， ①当时，，，在上单调递减， ②当时， 或时，单调递减， 时，单调递增， ③当时， 或时，单调递减， 时，单调递增， 综上可得，时在上递减，在上递增， 时在上递减， 时在，上递减，在上递增， 时在，上递减，在上递增. 【小问2详解】 设，，， 上式子化：， ，， 可得：时，单调递增，时单调递减， ，，，，， . 19. 新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． （1）从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望； （2）从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值； （3）已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 【答案】（1）分布列见解析，5 （2） （3）25个 【解析】 【分析】（1）列出的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望即可； （2）由题意可得这人中只有1人得到2个书签，所以，利用错位相减法求和即可； （3）设得到1个书签的人数为，则得到书签的总个数，利用二项分布的概率公式列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意得书签的总数的所有可能取值为4，5，6，7，8， 其中，， ，， ， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 . 【小问2详解】 因为这人得到书签的总数为个（）， 所以其中只有1人得到2个书签， 所以， 则 所以 两式相减得 ， 所以． 【小问3详解】 在这20名学生中，设得到1个书签的人数为，则得到2个书签的人数为， 所以得到书签的总个数， 此时得到书签的总个数为的概率为， 所以，整理得，解得， 而，，所以，所以， 所以需要赠送书签总个数概率最大为依据，王老师应该提前准备25个书签比较合理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度2026届高二（下）四月质量检测 数学试题 一、单选题 1. 如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，那么之间的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 3. 在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现如图形状，被后人称为“三角垛”．已知＂三角垛＂的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设各层球数构成数列，则数列的前项和为（ ） A B. C. D. 4. 已知数列为等比数列且，设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 或18 B. C. 18 D. 2 5. 展开式中的系数为（ ） A. 200 B. 210 C. 220 D. 230 6. 在四面体中，，且，E，F分别为，的中点，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止，则下列说法错误的是（ ） A. 甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B. 甲乙两人在处相遇的概率为 C. 甲、乙两人相遇的概率为 D. 甲从M到达N处的方法有120种 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C. 若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 10. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则下列结论正确的是（ ） A 当时， B. 直线与平面所成角的正弦值最大值为 C. 当平面截直四棱柱所得截面面积为时， D. 四面体的体积为定值 11. 若对一切恒成立，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 某公司收集了某商品销售收入（单位：万元）与相应广告支出（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如图，并利用线性回归模型进行拟合．若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法错误的是________． ①决定系数变小 ②残差平方和变小 ③相关系数的值变小 ④自变量与因变量相关性变弱 13. 在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个．要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束．若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品．若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为________． 14. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是________ 四、解答题 15. 现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 数量y 200 260 280 350 420 440 500 （1）若y与x线性相关，求出y关于x经验回归方程，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据:） （2）某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求的概率． 16. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ （2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 17. 已知椭圆的离心率为，E的左顶点N到点的距离为． （1）求椭圆E的标准方程． （2）过点M作斜率和为2的直线，，直线，分别与E交于A，B两点和C，D两点． （i）若（点B在点A的下方）的面积为，求直线的方程； （ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求证. 19. 新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． （1）从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望； （2）从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值； （3）已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $