精品解析：湖北省武汉市新洲区部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中质量检测数学试题

2024～2025学年度下学期期中新洲区部分学校高中一年级质量检测 数学试卷 考试用时：120分钟满分：150分考试时间：2025.04 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ） A. 2 B. -4 C. -2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量减法法则求出，再利用共线向量及平面向量基本定理列式计算作答. 详解】因，，则， 因A，B，D三点共线，则，即，，而， 则有，即，又与不共线，于是得，解得， 所以k的值是. 故选：B 2. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及模长计算公式即可求解． 【详解】， 则， 故选：C． 3. 角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由任意角的正弦定义，再由二倍角的余弦公式可算得，由此可得到答案. 【详解】由任意角的正弦定义可知， 由二倍角的余弦公式可得， 所以. 故选：B. 4. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. B. 12 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出直观图的面积，进而即可得到原图形的面积. 【详解】由斜二测画法可知， 所以， 所以， 所以， 故选：A. 5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中求出，然后在中利用正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数的定义可求得结果. 【详解】由题意得，， 在中，，，则， 在中，， 则， 由正弦定理得，，得， 中，，则， 所以. 故选：C 6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为． 7. 设函数，，，则可以是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知为函数的最大值和最小值，再写出自变量的取值，作差变形即可求解． 【详解】因为，且， 所以为函数的最大值和最小值， 不妨设，即， 所以， 又，所以， 所以当时，，即可以是3， 故选：A． 8. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，根据共线定理得出，结合基本不等式即可求解最小值． 【详解】因为，所以， 因为，，（，）， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，则， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的定义判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据复数代数形式的运算法则判断C、D. 【详解】复数虚部为，故A错误； 的共轭复数是，故B正确； ，故C错误； 因为，，所以，故D正确； 故选：BD 10. 已知向量，，记向量，的夹角为，则（ ） A. 若为钝角，则 B. 若为锐角，则 C. 当时，为直角 D. 当时，为平角 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由题意得且向量，不共线，从而可求出，对于B，由题意得且向量，不共线，从而可求出，对于C，通过计算进行判断，对于D，利用夹角公式求解即可. 【详解】对于A，因为为钝角，所以且向量，不共线， 由，得，得，由，不共线，得，得， 所以，且，所以A错误， 对于B，因为为锐角，所以且向量，不共线， 由，得，得，由，不共线，得，得， 所以，所以B正确， 对于C，当时，，所以，所以与不垂直，即不是直角，所以C错误， 对于D，当时，，所以， 因为，所以，即为平角，所以D正确. 故选：BD 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（ ） A. 关于的函数解析式为（） B. 点第一次到达最高点需用时5秒 C. 点再次接触水面需用时8秒 D. 当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出和，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确. 【详解】函数中，，所以， 时，，解得，所以， 所以，故A错误； 令时，得，则， 解得，所以的最小值为分钟，即用时秒， 所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误； 由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确； 当点运动2秒时，即时，，故D正确； 故选：CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，发现具有周期性,周期为3，由周期性求解即可. 【详解】， ， ，故周期为3， ， 故答案为： 13. 已知，，，点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共线可设，将转化为，从而得到，然后求二次函数的最小值即可. 【详解】因为点在直线上运动，设，所以， 因为，，所以，， ，， 所以 ， 当时，有最小值. 故答案为： 14. 直线与曲线和曲线分别相交于点，． （1）若，则的最大值为______； （2）若的最大值为，则的值为______． 【答案】 ①. ②. （）或（） 【解析】 【分析】应用辅助角公式及正弦的有界性即可求解；应用辅助角公式及正弦的有界性即可求解 【详解】当时， 当且仅当（）即（）取等号 （2） 其中的象限由点决定，且 所以 当且仅当（）取等号 依题意，，所以，所以（）或（） 故答案为：；（）或（） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足， （1）求； （2）求与的夹角余弦值； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出坐标，再根据模长公式计算即可； （2）应用夹角余弦公式计算求解； （3）应用投影向量公式及向量数量积公式计算求解. 【小问1详解】 因为向量，满足，， 所以， 故； 【小问2详解】 因为，， 所以， 又，， 所以， 故与的夹角余弦值为； 【小问3详解】 因为，则， 所以向量在向量上的投影向量坐标为. 16. 已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为． （1）求向量的坐标； （2）若对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法，结合复数的概念求出即可； （2）求出及在复平面内对应的点，再列式求得范围. 【小问1详解】 由为实数，得，则， 又为实数， 则，解得，因此，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，而，则， 复数在复平面内对应的点在第四象限， 于是，即，解得或， 所以的取值范围为． 17. 如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． （1）如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？ 【答案】（1）260米 （2）观赏步道，应均设计为长度是米 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式解得，所以，利用余弦定理即可求解； （2）由烧烤区的占地面积最大得到，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式，利用三角函数性质即可求解． 【小问1详解】 依题意知， 解得，所以， 当时， 当时， 故最长需要修建260米的隔离防护栏； 【小问2详解】 ， 当且仅当时取到等号，此时， 设（）， 在中，， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号 所以周长的最大值为，此时， 故观赏步道，应均设计为长度是米． 18. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值； （3）在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据数量积坐标运算公式，再应用三角恒等变换化简，结合正弦函数对称中心计算求解； （2）根据二倍角公式计算化简结合弦切转化计算求解； （3）先求出，再应用正弦定理结合三角函数值域求解周长范围. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 即函数的解析式为 所以对称中心的横坐标满足，，解得，， 所以函数的对称中心， 【小问2详解】 因为， 所以 即 所以，即 又由得， 所以， 又 所以 【小问3详解】 若，，即， 可得，，所以，解得 由正弦定理可得：，即， 所以 ， 即 而在锐角三角形中，，可得， 所以，即， 所以三角形的面积的取值范围为． 19. 如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，． （1）设，，，求的范围； （2）若，求的最小值； （3）若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的定义求解即可； （2）建立平面直角坐标系，设，则，，由数量积的坐标表示求解得到关于的函数结合基本不等式求解最值即可； （3）建立直角坐标系，由题意可得，，，即，假设存在点，使得最大，由，即有最大，设，当时，角度为0，此时不可能最大，故，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由，，且，， 故，， 所以 由，故 【小问2详解】 如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 设，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 【小问3详解】 如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，即 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为0，此时不可能最大，故 则 当且仅当，即时，等号成立， 即存在一点，使得最大，且此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度下学期期中新洲区部分学校高中一年级质量检测 数学试卷 考试用时：120分钟满分：150分考试时间：2025.04 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则k值是（ ） A. 2 B. -4 C. -2 D. 3 2. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 10 3. 角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. B. 12 C. 12 D. 24 5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，且，则与夹角为 A. B. C. D. 7. 设函数，，，则可以是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. D. 10. 已知向量，，记向量，的夹角为，则（ ） A. 若为钝角，则 B. 若为锐角，则 C. 当时，为直角 D. 当时，为平角 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（ ） A. 关于的函数解析式为（） B. 点第一次到达最高点需用时5秒 C. 点再次接触水面需用时8秒 D. 当点运动2秒时，距水面的高度为2米 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______． 13. 已知，，，点在直线上运动，则的最小值为______． 14. 直线与曲线和曲线分别相交于点，． （1）若，则的最大值为______； （2）若的最大值为，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足， （1）求； （2）求与的夹角余弦值； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标. 16. 已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为． （1）求向量的坐标； （2）若对应点在第四象限，求实数的取值范围． 17. 如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． （1）如果烧烤区是一个占地面积为平方米三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？ 18. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值； （3）在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 19. 如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，． （1）设，，，求的范围； （2）若，求的最小值； （3）若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$