精品解析：2025年重庆市渝中区中考二模数学试题

2024-2025学年度下期九年级二调考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据实数的大小比较方法比较各数大小，进而可求解．本题考查实数的大小的比较，解答的关键是要熟知比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：根据实数大小的比较方法，得， ∴最大的数是， 故选：C． 2. 下列图片分别是新能源汽车“智己”“理想”“极氪”“蔚来”的徽标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3. 正比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的计算，掌握待定系数法是关键． 根据题意，把点代入，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， 故选：C ． 4. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，找到从左面看到的图形即可．会从不同方向看出几何体的图形是解题的关键． 【详解】解：图2的左视图为： ， 故选：B． 5. 如图，中，D、E分别在、上，，，则与的面积之比为（ ） A. 1：9 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2 【答案】A 【解析】 【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD：DB＝1：2， ∴AD：AB＝1：3， ∴S△ADE：S△ABC＝1：9． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，解不等式可得：，只有在取值范围内，所以的值可能是． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 则的值可能是． 故选：A． 7. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 85 B. 81 C. 73 D. 71 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要根， 故选：B ． 8. 如图，中，，点在上，过点，且与相切于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，连接，过点作于点，根据切线的性质可得，可证是角平分线，可得，运用锐角三角函数的计算得到，由此得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵过点，且与相切于点， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，掌握切线和锐角三角函数的计算方法是关键． 9. 如图，四边形中，，，，交延长线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形；连接，过点作于点，先证明，得出，进而证明是等边三角形，根据，设，则，得出，解，进而求得，然后根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵ 设，则 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ 故选：A． 10. 已知，是常数，化简和的结果中的一次项系数分别为和，且．下列说法： ①若，则与互为相反数； ②若，则的最小值为； ③若，均为正整数，则有6个不相等的值． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，二元一次方程组的应用，二次函数的性质．利用多项式乘多项式的法则计算结合题意求得，即，①根据，求得，可判断；②求得，，利用二次函数的性质求解即可判断；③由，均为正整数，，可得到，，，，列出7个二元一次方程组，分别求得和的值，据此求解，可判断． 【详解】解：， ， 由题意得，， ∵， ∴， ∴，即， ①若， ∴， 整理得， ∴与互为相反数，①说法正确； ②若， ∴， 整理得，即， ∴， ∴， ∵，开口向上， ∴当，随的增大而增大， ∴当时，的最小值为，②说法正确； ③∵，均为正整数，， ∴或或或或或或， 解得或或或或或或， 当时，无意义， ∴或0或或或3或5，共有6个不相等的值，③说法正确． 综上，三个结论都是正确的， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 有3个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这3个试剂瓶中任意抽取2个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据题意列出表格，求得所有等可能结果，找出符合题意的结果数，根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：醋酸与稀盐酸是是酸性溶液，碳酸钠溶液不是酸性溶液 列表如下， 醋酸 稀盐酸 碳酸钠 醋酸 醋酸，稀盐酸 醋酸， 碳酸钠 稀盐酸 醋酸，稀盐酸 碳酸钠，稀盐酸 碳酸钠 醋酸，碳酸钠 碳酸钠，稀盐酸 共有6种等可能结果，其中抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的有两种， ∴抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是 故答案为：． 13. 如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据已知可得，根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案：． 14. 关于的不等式组只有4个整数解，且关于的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了含字母参数的一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确计算、讨论．先分别解该不等式组和分式方程求得所有满足条件的整数的值，再求和计算． 【详解】解：解不等式组， 得， 可得其4个整数解为：，，， ， 解得； 解方程得， ， 且， 解得且， 且， 所有满足条件的整数的值为：，0，2， ， 即所有满足条件的整数的值之和为1， 故答案为：1． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在______（填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为______． 【答案】 ①. 上 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，点和圆的位置关系．根据题意画出图形，即可得解． 【详解】解：点如图所示，则点在上； 如图，线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 故答案为：上；或． 16. 在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取． 例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是______（写一种情况即可），共有______种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）． 【答案】 ①. 6、7 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用．按照定义判断列方程求解即可． 详解】解：， 当提取2个数和时，不妨设， 则， 时，，则，则（舍去）， 时，，则（舍去）， 时，，则，则（舍去）， 时，，则（舍去）， 时，，则（舍去）， 时，，则，则（符合题意）， 时，，则，则（舍去）， 当提取3个数、和时，不妨设， 则， 时，，则，则（符合题意）， 时，，则（舍去）， 时，，则（舍去）， 当提取4个数时， 因为， 则必定提取1、2， （舍去）， （舍去）， （舍去）， （符合题意）， （舍去）， （舍去）， 综上，提取数字可以是6、7或1、4、10或1、2、3、7共3种． 故答案为：6、7（答案不唯一）；3． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值后计算乘法，最后计算减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用表示，单位：分）分为，，，四个等级，分别是： ．；．；．；．． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的成绩为：1，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 八年级等级的学生成绩为：，，，，，，，． 八、九年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校八年级有200名学生、九年级有180名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数是多少？ 【答案】（1），，； （2）见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小． （1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到的人数为人，根据八年级级名学生竞赛成绩在组的数据共有8个，得出组人数的占比为，进而求得组的占比为，得出组人数是，进而根据八年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为； （2）根据八年级学生与九年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比九年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）用样本估计总体，分别求出九年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校九、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【小问1详解】 解：从九年级名学生的竞赛成绩可以看出，九年级的成绩众数是分， ； 八年级等级的学生成绩为：，，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩在组的人数为， ∴组的占比为 ∴从扇形统计图中可知：组的占比为， ∴ 则组人数为人 八年级名学生竞赛成绩在组和组的共有人， 中位数为第和名的成绩分别为和， ∴； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与九年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比九年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 【小问3详解】 解：八年级参加竞赛的人中成绩为等的有人，九年级参加竞赛的人中成绩为等的有11人， 估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数是人． 19. 某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知垂线的尺规作图方法和菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据已知推理过程，结合菱形的判定定理和线段垂直平分线的性质和判定定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：经过的中点，且， ，， ，，， ． ， 于点， ． ， ． ， 四边形是菱形． 20. 如图，正方形中，点是的中点，点是边上任意一点（与点，点不重合），点在边上，连接，交射线于点，已知，，设，，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1），； （2）图见解析，当时，的最小值为0；在区间内，随的增大而减小； （3）时的取值范围为． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识． （1）分和两种情况求得，证明，利用相似三角形的性质求得； （2）根据函数关系式列表，描点，连线，作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象下方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 当时，， 当时，， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 综上，，； 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 6 3 0 3 8 4 2 描点，连线，图象如下： ； 当时，的最小值为0；在区间内，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：联立方程组， 解得或（舍去）， 观察图象，时的取值范围为． 21. 某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． （1）求甲组每天生产多少个套盒？ （2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 【答案】（1）甲组每天生产个套盒 （2）增加人员前，甲组有名工人 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个，由此列一元一次方程求解即可； （2）设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个，由此列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲组每天比乙组少生产200个套盒， ∴设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个， ∴， 解得，， ∴， ∴甲组每天生产个套盒； 【小问2详解】 解：甲组生产4天，则剩下的任务数量为：（个）， ∴甲、乙两组各分得（个）， ∵甲、乙两小组每天生产的数量比为， ∴设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个， ∵甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天， ∴， 解得，， 经检验：是方程的解， ∴增加2名工人后，甲组每天生产数量为个/天，乙组每天生产数量为个/天， ∴甲组每人每天可生产个， ∴甲组原有人数为（人），即增加人员前，甲组有名工人． 22. 某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） （1）求椅面与地面之间的距离； （2）为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 【答案】（1）椅面与地面之间的距离为 （2）不能，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据题意得到，如图所示，过点作于点，则即为椅面与地面之间的距离，在中，，由此即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点，作点作于点，根据解直角三角形的计算得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：与椅面的夹角为时，， ∴， ∵与地面保持平行， ∴， 如图所示，过点作于点，则即为椅面与地面之间的距离， 在中，， ∴， ∴椅面与地面之间的距离为； 【小问2详解】 解：不能，理由如下， 如图所示，延长交于点，过点作于点，作点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，假设此时能将椅背调节至最大角度到处，即， ∴，且， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴假设有误， ∴此时不能将椅背调节至最大角度到处． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）四边形是平行四边形求点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则，，则，直线的解析式为，则，根据四边形是平行四边形，得，即，由此即可求解； （3）根据题意，设，如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接，当于抛物线对称轴相切时的最最大，则，设，且，，，点是三角形的内心，则，由此列式得，求解即可． 小问1详解】 解：抛物线与轴交于点对称轴， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线解析式为，令，则， 解得，， ∴， 令，则， ∴， 当时，，即顶点坐标为， ∵点在线段上，点与点关于对称轴对称， ∴设，则，， ∴， 这直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，，， ∵，，， ∴或， ∴当时，，即； 当时，，即； ∴四边形是平行四边形求点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点是对称轴上一动点， ∴设， 如图所示，取的外接圆圆心，连接并延伸，交于点，交抛物线对称轴直线榆点，连接， ∴， ∴当于抛物线对称轴相切时的最最大，则， 设，且， ∴，， ∵点是三角形的内心， ∴， ∴， 由得，，则， 由得，， 整理①②得，， ∴， 解得，，， ∵（不符合题意，舍去），， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与特殊四边形的计算，两点直线的距离公式，三角形外接圆的基础知识的综合运用，数形结合分析是关键． 24. 已知，中，，，点在边上，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，点在边上，，与分别相交于点和点，若，求的度数； （2）如图2，点在边的反向延长线上，点与点重合，是的中点，与相交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）若，，将沿翻折到所在平面内，得到，点为线段上一动点，点是的中点，连接，．直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得为等腰直角三角形，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由旋转的性质得出为等腰直角三角形，即可得出，求出，最后由三角形内角和定理结合对顶角相等即可得解； （2）连接、，作交的延长线于，由旋转的性质可得为等腰直角三角形，，，证明，得出，证明，得出，证明是的中位线，得出，即可得出，证明点、、、四点共圆，由圆周角定理可得，从而得出为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得证； （3）由等腰直角三角形的性质可得，结合题意得出，由题意结合由折叠的性质可得为等腰直角三角形，即，，作等腰直角，则，，，证明，得出点在定直线上，作点关于的对称点，连接、，作交于，由轴对称的性质可得，，从而可得，推出当、、在同一直线上，且时，取得最小值，为，作交的延长线于，证明为等腰直角三角形，得出，从而求出，证明四边形为矩形，得出，即可得解． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，连接、，作交的延长线于， ∵将绕点逆时针旋转得到，点与点重合， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：∵中，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由题意可得，为等腰直角三角形， 由折叠的性质可得：为等腰直角三角形， ∴，， 如图，作等腰直角，则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在定直线上， 作点关于的对称点，连接、，作交于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、在同一直线上，且时，取得最小值，为， 作交的延长线于， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆周角定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下期九年级二调考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图片分别是新能源汽车“智己”“理想”“极氪”“蔚来”的徽标，其中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 正比例函数图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 5. 如图，中，D、E分别在、上，，，则与的面积之比为（ ） A. 1：9 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 7. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 85 B. 81 C. 73 D. 71 8. 如图，中，，点在上，过点，且与相切于点，连接．若，，则的长为（ ） A 6 B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，，交的延长线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是常数，化简和的结果中的一次项系数分别为和，且．下列说法： ①若，则与互为相反数； ②若，则的最小值为； ③若，均为正整数，则有6个不相等的值． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 有3个外观完全相同的不透明试剂瓶，分别装有相同体积的醋酸、稀盐酸和碳酸钠溶液，小明从这3个试剂瓶中任意抽取2个，抽到的试剂瓶里都是酸性溶液的概率是______． 13. 如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则______． 14. 关于的不等式组只有4个整数解，且关于的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在______（填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为______． 16. 在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取． 例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是______（写一种情况即可），共有______种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2） 18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用表示，单位：分）分为，，，四个等级，分别是： ．；．；．；．． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的成绩为：1，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 八年级等级的学生成绩为：，，，，，，，． 八、九年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校八年级有200名学生、九年级有180名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数是多少？ 19. 某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 20. 如图，正方形中，点是的中点，点是边上任意一点（与点，点不重合），点在边上，连接，交射线于点，已知，，设，，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 21. 某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． （1）求甲组每天生产多少个套盒？ （2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 22. 某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） （1）求椅面与地面之间的距离； （2）为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在线段上，点与点关于对称轴对称，过点作轴交抛物线于点，直线交轴于点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）若点是对称轴上一动点，当最大时，直接写出点的坐标． 24. 已知，中，，，点在边上，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，点在边上，，与分别相交于点和点，若，求的度数； （2）如图2，点在边反向延长线上，点与点重合，是的中点，与相交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）若，，将沿翻折到所在平面内，得到，点为线段上一动点，点是的中点，连接，．直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $