2025年中考数学二轮复习课件：专题二 靶向提升· 与圆有关的位置关系

2025年数学中考复习 专题二 靶向提升 与圆有关的位置关系 2 重难点突破 经典试题解析 中考链接 核心素养培优 3 重难点突破 01 4 重点1 切线的性质 1.切线的性质有三条：（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；（2） 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（3）经过切点且垂直于切线 的直线必经过圆心。 2.由定理可知常见辅助线作法：（1）见切点，连半径，得垂直；（2） 无切点，作垂直，得相等（由圆心作切线的垂线段，则圆心到切线的距离 等于圆的半径）。 2025年 中考复习 · 数 学 5 重点2 切线的判定 1.切线的判定必须满足两个条件 （1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径。 图2-25-1 2025年 中考复习 · 数 学 6 2.与切线的判定有关的辅助线 （1）直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明半径垂直于直 线即可。简记：有公共点，连半径，证垂直，得切线。 （2）直线与圆未标明公共点，则由圆心作已知直线的垂线段，证明 垂线段长等于半径。简记：无公共点，作垂直，证相等，得切线。 2025年 中考复习 · 数 学 7 经典试题解析 02 8 知识点1 与切线性质有关的证明和计算 例1 （2024·大同）如图2-25-2，直线与相切于点， 为 的直径，过点作，垂足为点，延长交直线于点 。 图2-25-2 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 9 思路分析（1）连接，根据切线的性质可得出 ，结合题意可 证，即得出 ，再根据等边对等角可得出 ，即得出，即平分 ； （2）设的半径为，则， ，再根据 勾股定理求解即可。 （1）求证：平分 ； （2）若，，求 的半径。 2025年 中考复习 · 数 学 解 （1）证明：如图2-25-3，连接 。 图2-25-3 直线与相切于点 ， 。 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 11 ， ， 。 ， ， ，即平分 。 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 （2）解：设的半径为，则， 。 在中， ， ， 解得 ， 的半径为4。 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 13 知识点2 与切线判定有关的证明和计算 图2-25-4 例2 （2024·青岛）如图2-25-4，已知是 的直径，点，在上，且，点 是线段 延长线上一点，连接并延长交射线于点 ， 的平分线交射线于点， 。 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 14 思路分析（1）连接 ，根据等弧所对的圆周角相等得到 ，即可得到 ，然后根据角平分线及外角 的性质得到 ，根据 即可证明； （2）设的半径为，根据勾股定理列方程求出 的值，然后证明 ，利用相似三角形的性质，即可得到结果。 （1）求证：是 的切线； （2）若，，求 的长。 2025年 中考复习 · 数 学 解 （1）证明：如图2-25-5，连接 。 图2-25-5 ， 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 16 。 又 ， ， ， ， ， 。 平分 ， 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 ， ， 。 又是 的半径， 是 的切线。 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 （2）解：设的半径为，则 ， 在中， ， 即 ， 解得 ， ， 。 又 , ， ，即 ， 解得 。 1 2 2025年 中考复习 · 数 学 19 中考链接 03 20 1.（2024·保定）如图2-25-6，直线与相切于点，是 的 直径，点，在上，且位于点两侧，连接，，分别与 交于点 ，，连接, 。 图2-25-6 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 21 （1）求证： ； 证明： 直线与相切于点 ， ， 。 是 的直径， ， ， 。 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 22 （2）若的半径，，，求 的长。 解： ， ， ， 。 由（1）得, , , , 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 23 。 ， 。 ， ， ， ，即 ， 。 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 图2-25-7 2.（2023·洛阳）如图2-25-7，内接于 ， ，过点作的垂线交于点，并与 的延长线交于点，作，垂足为，交于点 。 （1）求证： ； 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 25 证明：如图，连接 ， 。 ， ， ， 。 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 26 （2）若的半径，，求线段 的长。 解： ， 为 的直径， ， ， 在中， 。 ， , ， 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 27 ， ， ， 。 如图，连接, ，则 ， ， 。 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 图2-25-8 3.（2022·玉林）如图2-25-8，是 的直径， 是的切线，，是的弦，且 ， 垂足为，连接并延长，交于点 。 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 29 （1）求证： ； 证明：是 的切线， 。 ， ， ， 。 ， 。 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 （2）若的半径,，求线段 的长。 解：如图，连接 。 为 的直径， ， 。 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 31 ， ， ， 。 ， 在中， 。 ， ， ， ， ， 。 1 2 3 2025年 中考复习 · 数 学 核心素养培优 04 33 图2-25-9 1.（2024·甘孜）如图2-25-9，在中，弦 的长 为，点在上，， ， 所 在的平面内有一点。若，则点与 的位置关 系是( ) C A.点在上 B.点在内 C.点在 外 D.无法确定 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 34 图2-25-10 2.（2024·福建中考）如图2-25-10，已知点,在 上， ，直线与相切，切点为 ， 且为的中点，则 等于( ) A A. B. C. D. 图2-25-11 3.（2024·丽水中考）如图2-25-11，，是 的 切线，切点分别为，，点，在 上。若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 35 4.（2024·泰安中考）如图2-25-12，是的直径，是 的切线， 点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长 与 相交于点。若，，则 的长为____。 图2-25-12 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 36 图2-25-13 5.（2024·武汉中考）如图2-25-13， 为等腰三角 形，是底边的中点，腰与半圆相切于点 ，底 边与半圆交于， 两点。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 37 （1）求证：与半圆 相切； 证明：如图，连接，，作交于 。 为等腰三角形，是底边 的中点， ，平分 。 与半圆相切于点 ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 ， ， 与半圆 相切。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （2）连接。若，，求 的值。 解：由（1）可知， ， , ， , ， ， 。 又,， ， 在中， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 40 ， 解得 ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 图2-25-14 6.（2024·河源）如图2-25-14，是 的直径， 点，在上，平分 。 （1）求证： ； 证明：平分 ， 。 又 ， ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 42 （2）延长交于点，连接交于点，过点作 的切线交 的延长线于点。若，，求 的半径。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 43 解：， ， 设，,则 ， 。 ， ， ， ， ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 如图，取的中点，连接 ， 。 ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 45 ， 。 。 是 的切线， ， ， 解得 ， 的半径为 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 图2-25-15 7.（2024·赤峰中考）如图2-25-15，在 中， ，，经过， 两点，与斜边 交于点，连接并延长交于点，交 于点 ，过点作，交于点 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 47 （1）求证：是 的切线； 证明：如图，连接，延长，交于点，连接, 。 , , 是等腰直角三角形， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 。 是 的直径， , , , 。 , ,即 。 是 的半径， 是 的切线。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 （2）若，，求 的长。 解： ， 。 。 , 。 , ， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 50 。 ， ， 。 在等腰直角三角形中， , ， 解得 ， ， 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 。 在中， , 。 又 ， , , ， 。 1 2 3 4 5 6 7 2025年 中考复习 · 数 学 后会有期 THANK YOU 20XX $$