5.4 二次函数与一元二次方程（第2课时图象法求一元二次方程的近似解）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程 第2课时 图象法求一元二次方程的近似解 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数图象与x轴交点横坐标和对应一元二次方程根的关系；会利用二次函数的图象确定一元二次方程根的范围，求一元二次方程的近似解。 经历观察图像、缩小取值范围、估算近似解的过程，体会数形结合和逼近的数学思想，提高观察、估算能力。 感受数形之间的联系，养成严谨的估算习惯，体会解决问题方法的多样性。 知识回顾 1.你能说说二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的关系吗？ 如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点,那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 基本 关系 对应 情况 两个公共点 两个不相等实数根 Δ>0 一个公共点 两个相等实数根 Δ=0 没有公共点 没有实数根 Δ<0 2.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，你能说出它与x轴的 交点的坐标？一元二次方程x2-2x-3=0的实数根是什么? 它们之间有什么关系？ 交点坐标是（-1，0），（3，0） 一元二次方程x2-2x-3=0的实数根是： x1 =-1， x2 =3 知识回顾 交点的横坐标就是一元二次方程x2-2x-3=0的实数根。 这是一元二次方程的另外一种解法---图像法. 如图，由二次函数y=x2-x-5的图象你能说出它与x轴的 交点的坐标吗？一元二次方程x2-2x-3=0的实数根是什么吗? 下面我们来研究利用二次函数的 图象求一元二次方程的近似解。 不能，只能知道近似值。 导入新课 用描点法或数学软件画出二次函数y=x2-x-5的图象。 利用图象，能求一元二次方程x2-x-5=0的解吗？ 因为函数图象与x轴有两个交点，交点的横坐标大约是-1.8和2.8， 由于在画图和观察过程中存在误差， 所以得到的往往是二次方程根的近似值 所以一元二次方程x2-x-5=0的近似解是x1≈-1.8，x2≈2.8。 一般地，画出二次函数的图象，如果图象与x轴有公共点，求出公共点的横坐标(或横坐标的近似值)，就得到相应的一元二次方程的解(或近似解)。 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. （1）由图可知： 当x=-2时，y 0; 当x=-1时, y 0。 当x由-2增加到-1时，图象由x轴的 上方穿过x轴下降到x轴的下方。 所以方程x2-x-5=0的较小根x1在 与 之间。 ＞ ＜ -2 -1 为确定x1的近似值，在-2与-1之间， 再取x=-1.5，此时y= ＜0， 所以x1在-2与-1.5之间。 -1.25 (2)能否再进一步缩小x1 所在的范围? 在-2和-1.5之间再取若干个自变量x 的值,求出所对应的函数值(保留 小数点后两位),列表如下①: x -2 -1.85 -1.75 -1.5 y 1 0.27 -0.19 -1.25 从表中数据可以看出,当x=-1.85时,y>0, 当x=-1.75时,y<0, x -2 -1.85 -1.75 -1.5 y 1 0.27 -0.19 -1.25 当自变量为-1.85时的函数值大于0. 当自变量为-1.75时的函数值小于0. 所以 x1 在-1.85和-1.75之间。 所以较小根x1 精确到0.1的近似值为x1≈-1.8。 (3)能否确定另一个根x2所在的范围? 同理,在2<x<3范围内取若干个自变量x的值,列表如下: x 2 2.75 2.85 3 y -3 -0.19 0.27 1 所以较大根x2在2.75和2.85之间, 精确到0.1的近似值为x2≈2.8。 (4)在求得方程x2-x-5=0的一个根x1≈-1.8后,有没有更 简单的方法得到方程的另一个根x2呢? 根据一元二次方程根与系数的关系可得： x1+x2=1 x2≈2.8。 还有其他解法吗？ 利用图象法求一元二次方程的实根方法总结 1、找交点: 先根据抛物线与x轴的交点，确定出交点的横坐标的大致范围，即得到一元二次方程实数根的大致范围； 2、中值法: 然后利用取平均数的方逐步缩小实数根所在的范围，这样，实数根所在在范围的两端的值越来越接近根的值，从而确一元二次方程的近似实数根。 方法归纳 例1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。已知点A 的横坐标的近似值为0.7,根 据图象直接写出方程ax2+bx+c=0的两个 近似解。 解：由图象可知对称轴是直线x=2， 已知点A 的横坐标的近似值为0.7根 由对称轴性可知另一个的交点横坐标是3.3。 ∴方程ax2+bx+c=0的两个近似解是x1=0.7，x2=3.3。 典例讲解 1.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)的根的个数是( )。 A.0 B.1 C.2 D.1或2 C 跟踪练习 例2、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的 近似根(精确到0.1)。 解：画出函数y=x2-2x-1的图象， 由图象可知方程有两个根， 一个在一1和0。另一个在2和3之间。 先求-1和0之间的根， 当x=-0.4时，y=-0.04; 当x= -0.5时,y=0.25; 典例讲解 因此,x=-0.4(或x=-0.5)是方程的一个近似根， 同理，x=2.4(或x=2.5)是方程的另一个近似根。 或根据一元二次方程根与系数的关系可得： x1+x2=1 x2≈2.4。 典例讲解 2.用二次函数y=x2-8x+6的图象,求方程x2-8x+6=0的近似解。 解:作出二次函数y=x2-8x+6的图象，如图所示， 由图象可知，方程有两个根，一个在0和1之间，另一个在7和8之间. 先求0和1之间的根，当x=0.8时，y=0.24;当x=0.9时，y=-0.39;因此，x=0.8是方程的一个近似根， 同理，x=7.2是方程的另一个近似根. 所以方程x2-8x+6=0的两个近似根是0.8或7.2. 跟踪练习 例3、函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是____________； 不等式ax2+bx+c>0的解集是____________； 不等式ax2+bx+c<0的解集是____________. x1=-1，x2=3 x<-1或x>3 -1<x<3 典例讲解 3.如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点， 坐标是__________.方程ax2+bx+c=0的根是______. 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点， 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ y O x 1 (2, 0) 2 0 当a>0时，ax2+bx+c<0无解； 当a<0时，ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 跟踪练习 拓展延申 例4、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1)和(-1,0)。下列结论:①a-b+c=0;②b2>4ac;③当a<0时，抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧;④抛物线的对称轴为 x=一,其中结论正确的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0), ∴a-b+c=0,故①正确; (2)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1), ∴a+b+c=1,又a-b+c=0,两式相加， 得2(a+c)=1,a+c=; 两式相减,得2b=1,b=； b2-4ac=-4a(-a)= -2a+4a2=(2a-)2 当2a-=0,即a=时,b2-4ac=0,故②错误; 拓展延申 (3)当a<0时，b2-4ac=(2a-)2>0, ∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点, 设另一个交点的横坐标为x 则-1×x= ==-1,x=1-, ∵a<0,∴->0,∴x=1->1， 即抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧，故③正确; (4)抛物线的对称轴为x=-=-.故④正确. 故选B. 拓展延申 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0。 其中正确结论的有( )。 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①③④ B 跟踪练习 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是( )。 A.c>0 B.2a+b=0 C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0 A 当堂检测 2.根据上述表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围正确的是( )。 A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 C 当堂检测 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集; (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根， 求k的取值范围。 解:(1)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),可得x1=1,x2=3; (2)依题意因为ax2+bx+c>0 取值范围为1＜x＜3; 当堂检测 (4)由顶点(2,2)设方程为a(x-2)2+2=0, 二次函数与x轴的2个交点为(1,0),(3,0), （3）当x＞2时，y随x的增大而减小； 当堂检测 ∴a=-2,∴抛物线方程为y=-2(x-2)2+2, ∴y=-2(x-2)2+2-k是原曲线下移k个单位， 当k<2时，曲线与x轴有两个交点。故k<2。 课堂小结 利用函数图象求方程ax2+bx+c=0的根的近似值. 直接画出函数y=ax2+bx+c的图象,则图象 与x轴交点的横坐标就是方ax2+bx+c=0的根。 其步骤一般为:(1)作出二次函数y=ax2+bx+c的图象; (2)观察图象与x轴交点的个数; (3)若图象与x轴有交点,估计出图象与x轴交点的横坐标 即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值. 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $