精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年高一下学期4月期中学习能力摸底数学试题

重庆市第十八中学2024-2025学年（下）中期学习能力摸底 高一数学试题 （命题人：李中均 审题人：王文彬） 考试说明： 1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A B. C. D. 1 2. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 4. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，．则( ) A. B. C. D. 5. 如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 6. 在正方体中，与AB共面且与共面的棱的条数为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 7. 某人要制作一个三角形，要求它三条高的长度分别为，则此人能 A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 8. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若∥，则 C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角为钝角 10. 设，为复数，则下列结论中正确是（ ） A. B. C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若，则 11. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知中，，，，那么______. 13. 设复数满足，且，则=________________． 14. 已知一个正四棱台上、下底面边长分别为2和8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的直径______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，， （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 如图在直角梯形中，，，该梯形绕着直线旋转一周． （1）求所形成的封闭几何体的体积； （2）求所形成的封闭几何体的表面积． 17. 在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且． （1）求； （2）求的取值范围． 18. 如图，在平面四边形中，，，记，． （1）求的值； （2）若的面积为，的面积为，求的最大值． 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且． （1）判断的形状； （2）若的周长为，求的最小值； （3）若，求实数t的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2024-2025学年（下）中期学习能力摸底 高一数学试题 （命题人：李中均 审题人：王文彬） 考试说明： 1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法化简运算即可. 【详解】因为，所以. 故虚部为， 故选：. 2. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，，当时，与垂直， ，所以成立，此时， 不是的充分条件， 当时，成立， 是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 3. 在△ABC中，，，，则（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 4. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，．则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理并结合已知条件即可求解. 【详解】由正弦定理可得，. 故选：A. 5. 如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果 【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值. 故选：D 6. 在正方体中，与AB共面且与共面的棱的条数为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用共面的推论，分类列举出满足要求的直线，从而得解. 【详解】 与不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线， 与平行且与相交的有， 与相交且与平行有， 与相交也与相交的有， 所以满足的直线共有5条. 故选：B. 7. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】设三角形的面积为S，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为，，，则S=a×，即a=26S；同理可得另两边长b=22S,c=10S． 由余弦定理得cosA＝==<0，即A为钝角． 所以能作出一个钝角三角形． 8. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得出，可得出关于的方程组，即可解得实数的值；利用三角形的面积公式得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得，所以， ， 所以， ，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若∥，则 C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量模的计算公式判断A；由共线向量的坐标运算判断B；由向量垂直时数量积为0判断C；由向量的数量积判断D. 【详解】解：对于A，因为，，所以， ，解得或，故A错误； 对于B，因为∥，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，故C错误； 对于D，当时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确. 故选：BD. 10. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若为虚数，则也为虚数 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方运算及复数的模判断A；根据复数的向量表示及向量三角不等式，即可判断B；根据复数代数形式的除法运算及复数的概念判断C；根据复数模的几何意义判断D. 【详解】对于A，设，则， 又，故，故A错误； 对于B，设，对应的向量分别为，，则由向量三角不等式得， 所以恒成立，所以B正确， 因为为虚数，为实数，所以为虚数，故C正确； 为实数，又，所以为实数， 当时，可得，此时成立， 当时，为任意复数，故不成立，故D错误. 故选：BC. 11. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形中内切圆、外接圆的性质，利用正弦定理及三角形面积公式，依次判断各选项正误. 【详解】在中，内切圆半径为，得， 解得，故A选项正确； 又，由正弦定理得， 整理得，故B选项正确； ，又， 得， 则，故， 又， 解得，故C选项不正确. 因为，，由正弦定理可得， 所以，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知中，，，，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】题中已知角、边和边，求角，知三求一可以直接利用正弦定理求出sinA，然后利用边的关系，求出角大小． 【详解】由正弦定理得：，即，故或者， 又因为，所以，所以 【点睛】正弦定理可以解决两类问题： 已知三角形的两角和任意一边，这类问题比较简单只有一组解． 已知三角形的两边和其中一边的对角，这类问题较为复杂，可能会有多解，需要注意角的范围和三角形中边与角的对应关系． 13. 设复数满足，且，则=________________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出复数和的模长，再根据的关系进行转换，即可求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2和8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的直径______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，即可得到结果. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切， 则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，    即该正四棱台内半径最大的球半径，直径为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，， （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先将两边平方求出，再将平方求其值； （2）根据向量夹角公式求出向量与的夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 16. 如图在直角梯形中，，，该梯形绕着直线旋转一周． （1）求所形成的封闭几何体的体积； （2）求所形成的封闭几何体的表面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】(1)由旋转后的图形，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥，分别求出圆柱和圆锥的体积，即可得几何体的体积； (2)求出圆柱的侧面积、底面积及圆锥的侧面积，即可得所形成的封闭几何体的表面积． 【详解】(1) 由旋转后的图形，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥，过作垂足为，则， 故所形成的封闭几何体的体积. (2) 圆锥的母线长为 所形成的封闭几何体的表面积. 【点睛】方法点睛：对于平面图形绕任意直线旋转而成的立体的表面积、体积问题，首先应作出旋转图形，然后根据有关公式计算即可. 17. 在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算可得，再根据弦化切计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）化简得，再结合角的范围及三角函数的性质计算即可. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以， 所以，所以，因为，所以． 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 所以 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． 18. 如图，在平面四边形中，，，记，． （1）求的值； （2）若面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可； （2）根据题意，由（1）知，进而计算可求得的最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 所以，所以， 所以 【小问2详解】 由题意知，， 所以 ， 由（1）知，，所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且． （1）判断的形状； （2）若的周长为，求的最小值； （3）若，求实数t的最小值． 【答案】（1）为直角三角形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而； （2）根据点为的费马点，所以，再由面积关系得，利用均值不等式可得，利用向量的数量积可求得最小值； （3）设，，由得，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出，再结合，得到，从而由均值不等式得可求得的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 即，由正弦定理得. 所以，所以为直角三角形；. 【小问2详解】 由（1）知，所以的三个角都小于， 因为点为的费马点，所以. 由，得：， 整理得， 所以. 又的周长为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 当且仅当时，取等号，所以， 又因为 ， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由（2）知. 设，， 由得. 由余弦定理得： 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得，解得或者（舍去）， 所以实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $