压轴题强化训练(五)-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学周周测（湖南专用）

压 轴 题 强 化 训 练(五) 2025中考 湖南 数学  1.(3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)交x轴于点A(－3，0)，B(1，0)， 交y轴于点C.以下结论：①a＋b＋c＝0；②a＋3b＋2c＜0；③当以点A， B，C为顶点的三角形是等腰三角形时，c＝；④当c＝3时，在 △AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP＋AP的最小值为.其中正确 的结论有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 2.(3分)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为6的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图2中的点E，G重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方 形EFGH的边长是____________.  6 3.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且点E在AD上，BE交PC于点F. (1)求证：BP＝BF； 证明：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°. ∵把△BPC沿PC折叠得到△GPC， ∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC.∵BE⊥CG，∴BE∥PG. ∴∠GPF＝∠PFB.∴∠BPF＝∠BFP.∴BP＝BF. (2)若AD＝25，且AE＜DE. ①求AE的长； 解：①当AD＝25时，∵∠BEC＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°. ∵∠AEB＋∠ABE＝90°，∴∠DEC＝∠ABE. ∵∠BAE＝∠EDC＝90°，∴△ABE∽△DEC. ∴.设AE＝m，∴DE＝25－m. ∴.解得m1＝9，m2＝16.∵AE＜DE，∴AE＝9. ②求tan∠PCB的值； 解：②由①可得DE＝16，∴在Rt△DCE中，CE＝＝20. 在Rt△ABE中，BE＝＝15.由折叠的性质得BP＝PG. ∴BP＝BF＝PG. ∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP.∴. 设BP＝BF＝PG＝n，∴. ∴n＝.∴BP＝.∵BC＝AD＝25，∴tan∠PCB＝. (3)当BP＝9时，请求出BE·EF的值. 解：连接FG.∵∠GEF＝∠PGC＝90°， ∴BF∥PG.由(1)知BF＝BP＝PG， ∴四边形BPGF是菱形，∴BP∥GF，BP＝GF＝9. ∴∠GFE＝∠ABE.∴△GEF∽△EAB.∴. ∴BE·EF＝AB·GF＝12×9＝108. 4.(10分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与y轴交于点C，且经过点A(－1，0)，B(4，0). (1)求抛物线的表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A(－1，0)，B(4，0)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4. (2)如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥y轴，交y轴于点D，交线段BC于点Q.连接CP.若△CDQ与△CPQ的面积比为1∶2，求点P的横坐标； 解：∵y＝－x2＋3x＋4，∴C(0，4). ∵B(4，0)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋4. 设P(m，－m2＋3m＋4)(0＜m＜4). ∵S△CDQ∶S△CPQ＝1∶2，∴DQ∶QP＝1∶2. ∴DQ＝DP＝m.∴Q. 又∵P，Q的纵坐标相同，∴－m2＋3m＋4＝－m＋4. 解得m＝或m＝0(舍去).∴点P的横坐标为. (3)如图2，点M与点C关于抛物线的对称轴对称.在线段BC上，是否存在点N，使得以C，N，M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 11 解：存在.∵C(0，4)，y＝－x2＋3x＋4，∴M(3，4).∴CM＝3.∵A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，CB＝4.设N(n，－n＋4).如图①，过点N作NH⊥y轴于点H.在Rt△CHN中，∠HCN＝45°，HN＝n，则CN＝n.∵CM⊥y轴，∴∠MCN＝45°.∴∠MCN＝∠ABC＝45°.∴当以 C，N，M为顶点的三角形与△ABC相似时，有△NCM∽△ABC和△MCN∽△ABC两种情况. 当△NCM∽△ABC时，，即. 解得n＝.∴N； 如图②，当△MCN∽△ABC时，，即. 解得n＝.∴N. 综上所述，存在点N，点N的坐标为或 13 本讲内容结束 $$