压轴题强化训练(四)-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学周周测（湖南专用）

压 轴 题 强 化 训 练(四) 2025中考 湖南 数学  1.(3分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0＜x＜12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间函数关系的是(　　) A A B C D 2.(3分)如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，F是AE的延长线上一点，且∠ACF＝∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G.若AB ＝，AD＝4，tan∠ABC＝2，则BG的长为________.  3.(10分)如图1，抛物线y＝x2－4mx＋4m2＋2m－4(m是常数)的顶点为P，直线l：y＝x－4. (1)求证：点P在直线l上； 证明：∵y＝x2－4mx＋4m2＋2m－4＝(x－2m)2＋2m－4，∴P(2m，2m－4).令x＝2m，代入直线l的解析式，得y＝2m－4，∴点P在直线l上. (2)如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A，B两点，M，N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由. 解：MN恒过一定点.当m＝0时，y＝x2－4， 令y＝0，则x＝±2.∴A(2，0).设M(m，m2－4)， N(n，n2－4)，直线MN的解析式为y＝kx＋b. 联立得x2－kx－4－b＝0. ∴m＋n＝k，mn＝－4－b.过点M作ME⊥x轴于点E， 过点N作NF⊥x轴于点F.∴∠AEM＝∠NFA＝90°. ∵MA⊥AN，∴∠MAE＋∠NAF＝90°，∠MAE＋ ∠AME＝90°.∴∠AME＝∠NAF.∴△MAE∽△ANF. ∴.∵AE＝2－m，ME＝m2－4，AF＝n－2， NF＝n2－4，∴.∴2(m＋n)＋mn＋5＝0.∴2k－b＋1＝0.∴k＝.∴直线MN的解析式为y＝x＋b＝b－x.∴当x＝－2时，y＝1.∴直线MN经过定点(－2，1). 4.(10分)【阅读理解】如图1，点P为线段AB上一点，且PA＞PB，如果＝k，那么点P是线段AB的一个黄金分割点，比值k＝叫作黄金分割比. (1)如图1，若线段AB的长为4，P是线段AB的黄金分割点(PA＞PB)，则PB的长为____________；(结果保留根号)  6－2 6－2　[∵AB＝4，P是线段AB的黄金分割点(PA＞PB)，∴＝k.∵k＝，∴.解得PA＝2－2.∴PB＝AB－PA＝6－2.] (2)如图2，用边长为20的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试证明：G是AB的黄金分割点； 证明：如答图1，延长EA，CG交于点M.∵四边形 ABCD为正方形，∴DM∥BC.∴∠EMC＝∠BCG. 由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG.∴∠ECM＝ ∠EMC.∴EM＝EC.∵DE＝10，DC＝20，∴EC＝ ＝10.∴EM＝10.∴DM＝10＋10. ∴tan∠DMC＝.∴tan∠BCG＝，即.∵AB＝BC，∴，∴G是AB的黄金分割点. (3)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比.如图3，AB是☉O的直径，点C在☉O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和☉O于点D，E，连接OE，AB＝2DE，OD＝2. ①求弦CE的长； ②在直线AB或CD上是否存在点P(点C，D除外)，使△POE是黄金三角形?若存在，直接写出DP的长；若不存在，说明理由. 10 解：①∵AB是☉O的直径，AB＝2DE，∴OA＝OC＝ OE＝DE，则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC. 设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x. 又∵∠BOC＝108°，∴∠CDB＋∠OCD＝108°， 即x＋2x＝108°.解得x＝36°.∴∠CDB＝36°. ∴∠OEC＝∠OCE＝72°.∴∠COE＝180°－∠OCE－∠OEC＝36°.又∵OE＝OC，∴△COE是黄金三角形.∵∠COB＝108°，∴∠COD＝72°.又∠OCD＝2x＝72°，∴∠OCD＝∠COD，∠ODC＝36°. 11 ∴OD＝CD.∴△COD是黄金三角形.∴. ∵OD＝2，∴OC＝－1.∵CD＝OD＝2，DE＝OC ＝－1，∴CE＝CD－DE＝2－(－1)＝3－. ②存在.如答图2，有三个符合条件的点P1，P2，P3， 则DP的长为－1或＋1或3－. 12 本讲内容结束 $$