压轴题强化训练(六)-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学周周测（湖南专用）

压 轴 题 强 化 训 练(六) 2025中考 湖南 数学  1.(3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作 DF⊥AB于点F，交AC于点E.已知AE＝4，EC＝6，则的值为(　　) A. B. C. D. B 2.(3分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－6分别与x轴、y轴相交于A，B两点，E，F分别是正方形OACD的边OD，AC上的动点，且DE＝AF，过原点O作OH⊥EF，垂足为H，连接HA，HB，则△HAB 面积的最大值为____________.  26＋10 3.(10分)定义：若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c的图象恒过定点M(x0，y0)，则称M(x0，y0)为抛物线L的“不动点”.已知：若抛物线L：y＝ax2－2ax＋x＋1(a＜0)与y轴交于点B，顶点为C. (1)求抛物线L的不动点坐标； 解：∵y＝ax2－2ax＋x＋1＝ax(x－2)＋x＋1， ∴当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝3. ∴抛物线L：y＝ax2－2ax＋x＋1(a＜0)恒过 定点(0，1)和(2，3). 故抛物线L：y＝ax2－2ax＋x＋1(a＜0)的不动点坐标为(0，1)和(2，3). (2)若抛物线L的对称轴是直线x＝2，对称轴与x轴交于点A. ①求抛物线L的表达式； 解：①∵抛物线L：y＝ax2－2ax＋x＋1， ∴抛物线L的对称轴是直线x＝－＝2. 解得a＝－. ∴抛物线L的表达式为y＝－x2＋2x＋1. ②如图，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值. 解：②如图，抛物线的对称轴交x轴于点A，过 点P作PE∥y轴，交直线AB于点E，则A(2，0). 当x＝0时，y＝1，∴B(0，1).设直线AB的表达式 为y＝kx＋n，则解得 ∴直线AB的表达式为y＝－x＋1.设P， 则E.令y＝－x2＋2x＋1＝0，解得 x＝2±.∴D(2＋，0).∵P是第一象限抛物线上 的一个动点，∴0＜t＜2＋.∵PE＝－t2＋ 2t＋1－＝－t2＋t，∴S△ABP＝S△BPE－ S△APE＝t·(t－2)＝－t2＋t＝ －.∴当t＝时，△ABP的面积最大，最大值为. 4.(10分)【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图1，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继 承和发展.“弦图”，在三国时期被赵爽发明，是证明____________的几何方法(填序号).  ①勾股定理；②完全平方公式；③平方差公式. 2002年国际数学家大会的会徽 著名的“赵爽弦图” 图1 ① 解：【阅读经典】① 【动手操作】如图2，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”.组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形ABCD的面积为____________.  图2 解：【动手操作】49 [∵正方形ABCD的边长AB＝12－5＝7，∴S正方形ABCD＝AB2＝72＝49.] 49 【问题探究】兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图3，E为正方形ABCD内一点，△BCE满足BE2＋CE2＝BC2，将△BCE绕点C顺时针旋转90°，得到△DCE'. (1)连接BD，若E为BD的中点，则四边形DECE'为_________(填形状)；  图3 解：【问题探究】正方形 正方形 【问题解决】 (2)若BE，E'D的延长线交于点M，连接AC，O，F分别为AC，CD的中点. ①请找出OM和FE'的数量关系并写出直线OM和直线FE'的夹角(锐角)，请仅就图4的情形说明理由； 图4 解：①∵BE2＋CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°. 由旋转，得∠CE'D＝∠CEB＝90°，∠ECE'＝90°，CE'＝CE. ∴四边形CE'ME是正方形. 如图，连接CM，AM，延长MO， E'F交于点N，设E'N交CM于点H. ∵四边形ABCD和四边形CE'ME都是正方形， ∴AC＝CD，CM＝CE'，∠ACD＝∠MCE'＝∠CME'＝45°. ∴∠ACD－∠DCM＝∠MCE'－∠DCM，即∠ACM＝∠DCE'. ∵，∴△ACM∽△DCE'.∴∠AMC＝∠DE'C＝90°. ∵O，F分别为AC，CD的中点， ∴OM＝OC＝AC，E'F＝CF＝CD.∴OM＝E'F. ∵OM＝OC，∴∠NMH＝∠ACM. ∵E'F＝CF，∴∠CE'F＝∠DCE'.∴∠NMH＝∠CE'F. ∵∠MHN＝∠CHE'，∴△MNH∽△E'CH.∴∠MNE'＝∠MCE'＝45°. ②若DM＝1，AB＝5，请直接写出BE的长. 图4 解： ②BE的长为3或4. 本讲内容结束 $$