压轴题强化训练(二)-（配套课件）【中考2号】2025年中考数学周周测（湖南专用）

压 轴 题 强 化 训 练(二) 2025中考 湖南 数学  1.(3分)如图，E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接 DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF的长为(　　) A.　　　　　　 B.3　　　　　　 C.　　　　　　 D.4 B 2.(3分)我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2＋b1x＋c1与y2＝a2x2＋b2x＋c2同时满足＋(b2＋b1)2＋|c2－a1|＝0，(b1－b2)2 025≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数.对于任意非零实数r，s，点P(r，t)与点Q(s，t)(r≠s)始终在关于x的函数y1＝x2＋2rx＋s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数，则函数y2的图象始终经过某两个定点. 这两个定点的坐标分别为_____________________.  (0，1)， 3.(10分)如图，在☉O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连接AD交CF于点G，连接AC，连接BC交AD于点N，过点C的切线交BA的延长线于点H. (1)求证：AD∥HC； 证明：∵点C，D是的三等分点， ∴. ∵CE是☉O的直径，∴CE⊥AD. ∵HC是☉O的切线，∴HC⊥CE.∴AD∥HC. (2)若＝2，求tan∠ABC的值； 解：连接OA.∵，∴∠ABC＝∠CAD＝∠BAD.∵CE⊥AD，∴∠AGC＝∠AGF＝90°. 又∵AG＝AG，∴△CAG≌△FAG(ASA).∴CG＝FG.设CG＝a，则FG＝a.∵＝2，∴OG＝2a.OA＝OC＝3a.在Rt△AOG中，由勾股定理，得OA2＝AG2＋OG2，即(3a)2＝AG2＋(2a)2.∴AG＝a.∴tan∠FAG＝.∴tan∠ABC＝tan∠FAG＝. (3)若☉O的半径为5，AH＝，求△ANB的周长. 解：连接CD.∵AD∥HC，FG＝CG，∴AH＝AF. ∵∠HCF＝90°，∴AC＝AH＝AF＝.设CG＝x， 则FG＝x，OG＝5－x.由勾股定理，得AG2＝OA2－ OG2＝AC2－CG2，即25－(5－x)2＝()2－x2，解得x＝1.∴AG＝3，即AD＝6.∵，∴∠DAC＝∠BCD.又∵∠CDN＝∠ADC， ∴△CDN∽△ADC.∴.∴DN＝，∴AN＝AD－DN＝.∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，∴△ANB∽△ACD.∴，即，∴△ANB的周长为. 4.(10分)如图，抛物线y＝ax2＋bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A的坐标为(3，－3)，点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18. (1)求该抛物线对应的函数表达式； 解：∵对称轴为直线x＝－，∴b＝－a①.将点 A(3，－3)代入y＝ax2＋bx，得9a＋3b＝－3②，联立①②解得 ∴该抛物线对应的函数表达式为y＝x2－3x. (2)求点B的坐标； 解：设B.如图1，过点A作EF⊥y 轴于点E，过点B作BF⊥EF于点F. ∴F(m，－3)，E(0，－3)，则OE＝3，AE＝3， AF＝m－3，BF＝m2－3m＋3.∴S△AOB＝S四边形OEFB －S△OEA－S△AFB＝m××3×3－(m－3) ＝18.解得m＝6或m＝－3(舍去).∴点B的坐标为(6，6). 9 (3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1.问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四 边形.∵A(3，－3)，B(6，6)，∴C.设直线OB的表达式 为y＝kx，∴6k＝6.解得k＝1.∴直线OB的表达式为y＝x.设 P(t，t).如图2，当BP为平行四边形的对角线时，BC∥A1P， BC＝A1P.∵AC＝BC，∴AC＝A1P，由对称性可知AC＝A1C， AP＝A1P，∴AP＝AC.∴ .解得t＝±.∴点P的坐标为或； 如图3，当BC为平行四边形的对角线时，BP∥A1C，BP ＝A1C，由对称性可知，AC＝A1C，∴BP＝AC， ∴. 解得t＝＋6或t＝－＋6. ∴点P的坐标为或. 综上所述，点P的坐标为或或或 . 12 本讲内容结束 $$